《高等代數(shù)第八章 7第七節(jié) 矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等代數(shù)第八章 7第七節(jié) 矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 七 節(jié) * 矩 陣 的 有 理 標(biāo) 準(zhǔn) 形 前 一 節(jié) 中 證 明 了 復(fù) 數(shù) 域 上 A一 個(gè) 若 當(dāng) 形 矩 陣 . 這 一 節(jié) 將 對(duì) P來 討 論 類 似 的 問 題 . 我 們 證 明 P上 必 相似 于 一 個(gè) 有 理 標(biāo) 準(zhǔn) 形 矩 陣 . 定 義 8 對(duì) 數(shù) 域 P上 的 一 個(gè) 多 項(xiàng) 式 d()=n+a1n-1+an稱 矩 陣 121100 010 001 000 aaaaA nnn (1)為 多 項(xiàng) 式 d()的 伴 侶 陣 . 容 易 證 明 ， A的 不 變 因 子 (即 E-A的 不 變 因 子 )是)(,1,1,1 1 dn 個(gè) (見 習(xí) 題 3) 定 義 9
2、 下 列 準(zhǔn) 對(duì) 角 矩 陣 sAAAA 21 (2)其 中 Ai分 別 是 數(shù) 域 P上 某 些 多 項(xiàng) 式 di() (i=1,2, ,s)的 伴 侶 陣 ， 且 滿 足 d1()| d2()|ds() ， A就 稱 為 P上 的 一 個(gè) 有 理 標(biāo) 準(zhǔn) 形 矩 陣 . 引 理 (2)中 矩 陣 的 不 變 因 子 為 1,1, ,1, d1(),d2(),ds() ，其 中 1 的 個(gè) 數(shù) 等 于 d1(), d2(), , ds() 的 次 數(shù) 之 和n減 去 s. 證 明 因 為 ss AEAEAEAE 2211 進(jìn) 而 用 初 等 變 換 將 E-A變 成 )(11 id由 于 每
3、 個(gè) Ei-Ai的 不 變 因 子 為 1,1, ,1, di() ， 故 可用 初 等 變 換 把 它 變 成 )(11)(11)( 11 21 sddd (3) 在 矩 陣 (3)上 再 進(jìn) 行 一 些 行 或 列 互 換 ， 則 可 變 成 )()(2)(11 1 sddd 由 于 d1() | d2() | |ds() ， 故 它 是 E-A的 標(biāo) 準(zhǔn) 形 ，而 1,1, ,1, d1(),d2(),ds()是 它 的 不 變 因 子 . 定 理 14 數(shù) 域 P上 n n方 陣 A在 P上 相 似 于 唯一 的 一 個(gè) 有 理 標(biāo) 準(zhǔn) 形 矩 陣 ， 稱 為 A的 有 理 標(biāo) 準(zhǔn) 形
4、 . 證 明 設(shè) A的 (E-A的 )不 變 因 子 為 1,1, ,1, d1(),d2(),ds() ， 其 中 d1(),d2(),ds() 的 次 數(shù)1， 且 1的 個(gè) 數(shù) d1(),d2(),ds()的 次 數(shù) 之 和 減 去s， 設(shè) di()的 伴 侶 陣 是 Bi ， 則 作 如 引 理 所 述 ， B的 不 變 因 子 與 A的 不 變 因 子 完 全 相同 ， 故 B相 似 于 A ， 即 B是 A的 有 理 標(biāo) 準(zhǔn) 形 矩 陣 . 又 B是 由 A的 不 變 因 子 唯 一 決 定 ， 故 B由 A唯 一決 定 . 證 畢 . sBBBB 21 定 理 15 設(shè) A是 數(shù) 域 P上 n維 線 性 空 間 V的 線 性 變 換 ，則 在 V中 存 在 一 組 基 ， 使 A在 該 基 下 的 矩 陣 是 有 理標(biāo) 準(zhǔn) 形 ， 并 且 這 個(gè) 有 理 標(biāo) 準(zhǔn) 形 由 A唯 一 決 定 的 ， 稱為 線 性 變 換 A的 有 理 標(biāo) 準(zhǔn) 形 . 把 定 理 14的 結(jié) 論 變 成 線 性 變 換 形 式 的 結(jié) 論 就成 為 例 設(shè) 3 3矩 陣 A的 初 等 因 子 為 (-1)2, (-1) ， 則 它的 不 變 因 子 是 1, (-1), (-1)2 ， 它 的 有 理 標(biāo) 準(zhǔn) 形 為 210 100 001A1 A2
高等代數(shù)第八章 7第七節(jié) 矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形
