《復(fù)變函數(shù)論第三版鐘玉泉第五章》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《復(fù)變函數(shù)論第三版鐘玉泉第五章（28頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,復(fù)變函數(shù),華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,*,*,第一節(jié) 解析函數(shù)的洛朗展式,1. 雙邊冪級數(shù),2. 解析函數(shù)的洛朗展式,3. 洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系,4. 解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的洛朗展式,5. 典型例題,第五章 解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點,9/29/2024,1,1. 雙邊冪級數(shù),定義,稱級數(shù),（1）,為雙邊冪級數(shù)（1）的系數(shù)。雙邊冪級數(shù),為,雙邊冪級數(shù),，其中復(fù)常數(shù),負(fù)冪項部分,非負(fù)冪項部分,主要部分,解析部分,注: 主要部分與解析部分同時收斂稱冪級數(shù)收斂,9/29/2024,2,若,收
2、斂域為,的收斂半徑為R,,收斂域為,時收斂,,兩收斂域無公共部分,,兩收斂域有公共部分,H:,這時,級數(shù)(1)在,圓環(huán),H,:,r,<|,z-a,|<,R,收斂于和函數(shù),f,(,z,)=,f,1,(,z,)+,f,2,(,z,),9/29/2024,3,定理,設(shè)雙邊冪級數(shù)(1)的收斂圓環(huán)為,,,H:,r,<|,z-a,|<,R,(,r,≥0,,R,≤+∞),,則(1) 級數(shù)在H內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂于:,,,f,(,z,)=,f,1,(,z,)+,f,2,(,z,).,(2),f,(,z,) 在,H,內(nèi)解析.,在,H,內(nèi)可逐項求導(dǎo),p,次(,p,=1,2,…).,(4) 函數(shù),f,(,z,)
3、可沿,H,內(nèi)曲線,C,逐項積分.,9/29/2024,4,定理5.2 (洛朗定理) 在圓環(huán)H:,r,<|,z,-,a,|<,R,,,,(,r,≥0,,R,≤+∞)內(nèi)解析的函數(shù),f,(,z,)必可展成雙邊,,冪級數(shù),其中,(2),2. 解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式,定義,,(2)式稱為,f,(,z,),在點,a,處的,羅朗展式,，(3)稱為其,羅朗系數(shù),，而(2)右邊的級數(shù)則稱為,羅朗級數(shù),。,(3),注: 泰勒級數(shù)是羅朗級數(shù)的特殊情形。,3. 洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系,9/29/2024,5,例1,求函數(shù) 分別在圓環(huán) 及
4、 的洛朗級數(shù)。,(1)在圓環(huán) 內(nèi)， ,于是有洛朗級數(shù),(2),在圓環(huán) 上, ,,于是有洛朗級數(shù),解,9/29/2024,6,例2,求函數(shù) 在 內(nèi)的洛朗級數(shù)。,例3,求函數(shù) 在 內(nèi)的洛朗級數(shù)。,例4,求函數(shù) 在 內(nèi)的洛朗級數(shù)。,9/29/2024,7,4. 解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的洛朗展式,定義,如果,
5、f,(,z,)在點,a,的某一去心鄰域,K,-{,a,}： 0<|,z,-,a,|<,R,內(nèi)解析，點,a,是,f,(,z,)的奇點，則稱為,f,(,z,)的,孤立奇點,.,如果,a,為,f,(,z,)的一個孤立奇點，則,f,(,z,)在點,a,的某一去心鄰域,K-,{,a,}：0<|,z-a,|
6、 在 內(nèi)的洛朗級數(shù)。,例3,試問函數(shù) 能否在 內(nèi)展成,洛朗級數(shù)？,9/29/2024,9,第二節(jié),解析函數(shù)的有限孤立奇點,2. 孤立奇點的性質(zhì),3. Picard定理,4 . Schwarz引理,1. 孤立奇點的分類,9/29/2024,10,1. 孤立奇點的分類,如,a,為,f,(,z,),的孤立奇點,則,f,(,z,),在,a,的某去心鄰域,K-{,a,},內(nèi)可以展成羅朗級數(shù),則稱,為,f,(,z,),在點,a,的,正則部分,,而稱,為,f
7、,(,z,),在點,a,的,主要部分,。,定義,設(shè),a,為,f,(,z,)的孤立奇點. (1)如果,f,(,z,),在點,a,的主要部分為零,則稱,a,為,f,(,z,),的,可去奇點,;(2)如果,f,(,z,),在點,a,的主要部分為有限多項,,設(shè)為,則稱,a,為,f,(,z,),的,m,階極點,，一階極點也稱為,簡單極點,；,(3),如果,f,(,z,),在點,a,的主要部分有無限多項,則稱,a,為,f,(,z,),的,本性奇點,.,9/29/2024,11,定理,若,a,為,f,(,z,),的孤立,奇點,，則下列三條是等價的,。,因此，它們中的任何一條都是可去奇點的特征。,(2),(1
8、),f,(,z,),在點,a,的主要部分為零,;,(3),f,(,z,),在點,a,的某去心鄰域內(nèi)有界,。,2.,可去奇點的性質(zhì),9/29/2024,12,證,,(1),?,(2).,由(1)有,因此,(2),?,(3).,因,(3),?,(1).,因主要部分的系數(shù),其中 , 可任意小，故,9/29/2024,13,Schwarz引理,如果函數(shù),f,(,z,)在單位圓|,z,|<1內(nèi)解析,并且滿足條件,f,(0)=0,|,f,(,z,)|<1(|,z,|<1)，則在單位圓|,z,|<1內(nèi)恒有|,f,(,z,)|≤|,z,|,且有 .,3.,
9、施瓦茨(Schwarz)引理,如果上式等號成立,或在圓|,z,|<1內(nèi)一點,z,0,≠0,,處前一式等號成立,則(當(dāng)且僅當(dāng)),,,其中,α,為一實常數(shù).,9/29/2024,14,4. 極點的性質(zhì),定理,如果,f,(,z,)以,a,為孤立奇點，則下列三條是等價的。因此，它們中的任何一條都是m階極點的特征。,(1),f,(,z,),在,a,點的主要部分為,(2),f,(,z,),在點,a,的某去心鄰域內(nèi)能表示成,其中,λ,(,z,),,在點,a,的鄰域內(nèi)解析,且,λ,(,a,),≠,0,以點,a,為,m,階零點。,注意,第(3)條表明：,f,(,z,)以點,a,為,m,階極點的充要條件是,以點,
10、a,為,m,階零點。,定理,,f,(,z,)的孤立奇點,a,為極點,?,9/29/2024,15,定理,,f,(,z,)的孤立奇點,a,為本性奇點,?,5. 本性奇點的性質(zhì),定理,若,z,=,a,為,f,(,z,)的本性奇點,且在點,a,的充分小去心鄰域內(nèi)不為零,則,z,=,a,亦必為,的本性奇點.,9/29/2024,16,奇點,孤立奇點,非孤立奇點,支點,可去奇點,極點,本性奇點,（單值函數(shù)的）,（多值函數(shù)的）,9/29/2024,17,定理,如果,a,為,f,(,z,),的本性奇點,則對于,,任何常數(shù),A,,,不管它是有限數(shù)還是無窮,都有一個收斂與,a,的點列,{,z,n,},,使得,6
11、.,Picard,(皮卡)定理,定理5.9(,皮,卡(大)定理),如果,a,為,f,(,z,),的本性奇,點,則對于每一個,A,≠∞,,,除掉可能一個值,A,=,A,0,外,必有趨于,a,的無限點列,{,z,n,},使,f,(,z,n,)=,A,(,n,=1,2,…).,9/29/2024,18,第三節(jié) 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì),定義,設(shè)函數(shù),f,(,z,),在無窮遠(yuǎn)點(去心)鄰域,,,N,-{,∞,}：+∞>|,z,|>,r,≥0,,內(nèi)解析,則稱點,∞,為,f,(,z,),的一個,孤立奇點,.,設(shè)點,∞,為,f,(,z,),的孤立奇點,利用變換,,,于是,在去心鄰域:,(5.12),內(nèi)解析
12、，則,9/29/2024,19,(1),對于擴充,z,平面上無窮遠(yuǎn)點的去心鄰域,,N-{,∞,},,有擴充,z,/,平面上的原點的去心鄰域,;,(2),在對應(yīng)點,z,與,z,/,上,函數(shù),(3),或兩個極限都不存在.,注：,9/29/2024,20,定義,,若,z,/,=0,為,的可去奇點(解析點)、,m,級極點或本性奇點,則相應(yīng)地稱,z,=,∞,為,f,(,z,),,的可去奇點(解析點,)、,m,級極點或本性奇點.,設(shè)在去心鄰域 內(nèi)將,展成羅朗級數(shù):,9/29/2024,21,定理,/,(對應(yīng)于定理5.3)f(z)的孤立奇點z=∞為可去奇點的充
13、要條件是下列三條中的任何一條成立:,,(1)f(z)在 的主要部分為零;,,(2),,(3)f(z)在 的某去心鄰域N-{∞}內(nèi)有界.,9/29/2024,22,定理,/,(對應(yīng)于定理5.4),f,(,z,),的孤立奇點,z,,=∞為m級極點的充要條件是下列三條中的任何一條成立:,(1),f,(,z,)在,z,=∞的主要部分為,(2),f,(,z,),在,z,,=∞的某去心鄰域N-{∞}內(nèi)能表成,(3),g,(,z,),=1/,f,(,z,),以,z,,=∞為m級零點(只要令g(,∞,)=0).,其中 在,z,,=∞的鄰域N內(nèi)解析
14、,且,9/29/2024,23,定理5.5’(對應(yīng)于定理5.5) f(z)的孤立奇點∞為極點的充要條件是,定理5.6’(對應(yīng)于定理5.6) f(z)的孤立奇點∞為本性奇點的充要條件是下列任何一條成立:,,(1)f(z)在z=∞的主要部分有無窮多項正冪不等于零,廣義不存在(即當(dāng)z趨向于∞時,,f(z)不趨向于任何(有限或無窮)極限).,(2),9/29/2024,24,第四節(jié) 整函數(shù)與亞純函數(shù),1. 整函數(shù),2. 亞純函數(shù),9/29/2024,25,在整個z平面上解析的函數(shù)f(z)稱為整函數(shù).,(5.14),設(shè),f(,z)為一整函數(shù),則f(z)只以z=∞為孤立奇點,且可設(shè),1. 整函數(shù)
15、,9/29/2024,26,定理5.10 若,f,(z)為一整函數(shù),則,,(1)z=∞為,f,(z)的可去奇點的充要條為:,f,(z)=,c.,,,(2)z=∞為,f,(z)的m級極點的充要條件:,f,(z)是一個m次多項式,(3)z=∞為,f,(z)的本性奇點的充要條件為:展式(5.14)有無窮多個,c,n,不等于零.(我們稱這樣的,f,(z)為超越整函數(shù)).,9/29/2024,27,定義5.6 在z平面上除極點外無其他類型奇點的單值解析函數(shù)稱為亞純函數(shù).,2. 亞純函數(shù),定理5.11 一函數(shù),f,(z)為有理函數(shù)的充要條件為:,f,(z)在擴充平面z平面上除極點外沒有其它類型的奇點.,定義5.7 非有理的亞純函數(shù)稱為超越亞純函數(shù),9/29/2024,28,
復(fù)變函數(shù)論第三版鐘玉泉第五章
