開放大學(xué)離散數(shù)學(xué)形考2

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1、 姓 名：陳旭光 離散數(shù)學(xué)作業(yè)2 學(xué) 號：87 得 分： 教師簽名： 離散數(shù)學(xué)集合論部分形成性考核書面作業(yè) 本課程形成性考核書面作業(yè)共3次，內(nèi)容主要分別是集合論部分、圖論部分、 數(shù)理邏輯部分的綜合練習(xí)，基本上是按照考試的題型（除單項選擇題外） 安排練 習(xí)題目，目的是通過綜合性書面作業(yè)，使同學(xué)自己檢驗學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄 弱知識點，重點復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握.本次形考書面作業(yè)是第一次作業(yè)，大家要 認真及時地完成集合論部分的綜合練習(xí)作業(yè). 要求：學(xué)生提交作業(yè)有以下三種方式可供選擇： 1 .可將此次作業(yè)用A4紙打印出來，手工書寫答題，字跡工整，解答題要有 解答過程，完成作

2、業(yè)后交給輔導(dǎo)教師批閱. 2 .在線提交word文檔 3 .自備答題紙張，將答題過程手工書寫，并拍照上傳. 一、填空題 1 .設(shè)集合 A {1,2,3}, B {1, 2},則 P(A)-P(B )= {{1,2},{2,3},{1,3},{1,2.3}}, A B={{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}. 2 .設(shè)集合A有10個元素，那么A的幕集合P(A)的元素個數(shù)為— 1024. 3 .設(shè)集合 A={0, 1,2, 3} , B={2, 3, 4, 5} , R 是 A 到 B 的二元關(guān)系, R { x, y x A且y B且x, y A B} 則 R 的有序

3、對集合為 {{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}. 4 .設(shè)集合 A={1,2, 3, 4 }, B={6, 8, 12} , A 到 B 的二元關(guān)系 R= { x,y y 2x, x A, y B} 那么 R 1= {{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}} . 5 .設(shè)集合 A= {a, b, c, d} , A 上的二元關(guān)系 R={< a, b>, , , }, 則R具有的性質(zhì)是 反自反性. 6 .設(shè)集合 A= {a, b, c, d} , A 上的二元關(guān)系 R={< a, a >, , ,

4、 }, 若在R中再增加兩個元素 , ，則新得到的關(guān)系就具有 對稱性. 7 .如果Ri和R2是A上的自反關(guān)系，則R1UR2, RiAR2, R1-R2中自反關(guān)系 有 2 個. 8 .設(shè)人={1,2}上的二元關(guān)系為R={< x, y>|x A, y A, x+y =10},則R的自反 閉包為{<1,1>,<2,2>} . 9 .設(shè)R是集合A上的等價關(guān)系，且1 , 2,3是A中的元素，則R中至少包 含 <1,1>,<2,2>,<3,3>等元素. 10 .設(shè) A={1 , 2}, B={a, b}, C={3 ,4, 5},從 A 到 B 的函數(shù) f

5、={<1, a>, <2, b>},從 B 到 C 的函數(shù) g={< a,4>, < b, 3>},則 Ran（g f）= {4,3}. 二、判斷說明題（判斷下列各題，并說明理由.） 11 若集合 A = {1 , 2, 3}上的二元關(guān)系 R={<1, 1>, <2, 2>, <1,2>},則 1 1） R是自反的關(guān)系； （2） R是對稱的關(guān)系. 解：（1）結(jié)論不成立. 因為關(guān)系R要成為自反的，其中缺少元素<3, 3>. 論不成立. 因為關(guān)系R中缺少元素<2, 1> 2 .設(shè)人={1 , 2, 3}, R={<1 , 1>, <2, 2>, <1, 2> , <2, 1>},則

6、R 是等價 關(guān)系. 解：不是等價關(guān)系 因為3是A的一個元素，由于<3,3>不在R中，R不具有自反性，等價關(guān) 系R必須有（對A中任意元素a, R含 ）,所以R不是A上的等價關(guān)系！ 3,若偏序集的哈斯圖如圖一所示, 則集合A的最大元為a,最小元不存在. 解：錯誤，按照定義，圖中不存在最大元和最小元 4．設(shè)集合 A={1, 2, 3, 4} ， B={2, 4, 6, 8} ，，判斷下列關(guān)系 f 是否構(gòu)成函數(shù) f： A B ，并說明理由． (1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>} ； (2) f={<1, 6

7、>, <3, 4>, <2, 2>} ； (3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>} ． 解：(1)不構(gòu)成函數(shù)，因為它的定義域 Dom⑴wA (2) 也不構(gòu)成函數(shù)，因為它的定義域 Dom⑴wA (3) 構(gòu)成函數(shù)， 首先它的定義域 Dom(f) ={1, 2, 3, 4}= A ， 其次 對于A中的每一個元素a,在B中都有一個唯一的元素b,使＜2口＞ f 三、計算題 1．設(shè) E {1,2,3,4,5}, A {1, 4}, B {1, 2, 5}, C {2,4} ，求： (1) (A B) ~C； (2) (A B)- (B A) (3) P

8、(A)－ P(C)； (4) A B． 解： (1) (A B) ~C={1} {1,3,5}={1,3,5} (2) (A B)- (B A) = {1,2,4,5}-{1}={2,4,5} (3) P(A) = { ， {1} ， {4} ， {1,4}} P(C) = { ， {2} ， {4} ， {2,4}} P(A)－ P(C)={{1} ， {1,4}} (4) 4) A B = (A B)- (B A)={2,4,5} 2．設(shè) A={{1},{2},1,2} ， B={1,2,{1,2}} ，試計算 (1) (A B) ； (2) (APB) ; (3) AX

9、B. 解： ( 1)( A B) ={{1},{2}} (2) (APB) ={1,2} (3) A 電= {<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2} >,<2,1>,<2,2>,<2,{1,2}>} 3 .設(shè)人={1 , 2, 3, 4, 5}, R={|x A, y A且 x+y 4} , S={|x A, y A 且 x+y<0},試求 R, S, R?S, S?R, R-1, S-1 , r(S), s(R). 解：R={<1,1>,<

10、1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} S= R?S= S?R= R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>} S1 = r(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>} s(R)={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} 4 .設(shè)人={1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, R是 A 上的整除關(guān)系,B={2, 4, 6}. (1)寫出關(guān)系R的表示式； (2 )畫出關(guān)系R的哈斯圖； (3)求出集合B的最大元、最小元. 解： (1) R={<1,1>

11、,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>, <2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>} 關(guān)系代的哈斯圖 (2) (3)集合B沒有最大元，最小元是2. 四、證明題 1．試證明集合等式： A (B C)=(A B) (A C)． 解：設(shè)，若x A (B C),則x A或x B C 即x A或x B且x A或x C 即xAB且xAC 即 x T=(A B) (A C) 所以 A (B C) (A B) (A C) 反之若 x

12、(A B) (A C),則 x A B 且 x A C 即x A或x B且x A或x C 即x A或x B C 即 x A (B C) 所以 (A B) (A C) A (B C) 因此 A (B C)=(A B) (A C) 2．試證明集合等式 A (B C)=(A B) (A C) ． 解：設(shè) S=A (B C),T = (A B) (A C)若 x S,則 x A 且 x B C 即 x A 且 x B 或 x A 且 x C， 也即 x A B 或 x A C 即 x T 所以 S T 反之，若 x T ，則 x A B 或 x A C 即x A且x B或x A且x

13、 C 也即 x A 且 x B C 即 x S 所以 T S 因此 T=S. 3 .對任意三個集合A, B和C,試證明：若A B = A C,且A ，則B = C． 解：設(shè) x A, y B則＜x,y＞ AxB, 因為 AxB = AxC ,故＜乂,丫＞ AxC,則 y C, 所以 B C， 設(shè)x A, z C,則 ZxB, 因為 AxB = AxC ，故 AxB, 則 z B 所以 C B 故得 A=B 4 .試證明：若R與S是集合A上的自反關(guān)系，則RAS也是集合A上的自 反關(guān)系． 解：Ri 和 R2 是自反的， x A, R2,則<乂，x> R1CR2, 所以是Ri AR2自反的。