2020-2021學年高三數(shù)學一輪復習知識點專題6-5 數(shù)列的綜合應用

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1、專題6.5 數(shù)列的綜合應用 【考情分析】 1.理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式及其應用。 2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系。 3.會用數(shù)列的等差關系或等比關系解決實際問題。 【重點知識梳理】 知識點一 等差數(shù)列和等比數(shù)列比較 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 ＝常數(shù) ＝常數(shù) 通項公式 判定方法 (1)定義法； (2)中項公式法：?為等差數(shù)列； (3)通項公式法：(為常數(shù),)? 為等差數(shù)列； (4)前n項和公式法：(為常數(shù), )? 為等差數(shù)列； (5) 為等比數(shù)列，且，那么數(shù)列 (，

2、且)為等差數(shù)列 (1)定義法 (2)中項公式法： ()? 為等比數(shù)列 (3)通項公式法： (均是不為0的常數(shù)，)?為等比數(shù)列 (4) 為等差數(shù)列?(總有意義)為等比數(shù)列 性質(zhì) (1)若，，，，且，則 (2) (3) ，…仍成等差數(shù)列 (1)若，，，，且，則 (2) (3)等比數(shù)列依次每項和()，即 ，…仍成等比數(shù)列 前n項和 時，；當時，或. 知識點二 數(shù)列求和 1. 等差數(shù)列的前n和的求和公式：. 2．等比數(shù)列前n項和公式 一般地，設等比數(shù)列的前項和是，當時，或；當時，（錯位相減法）. 3. 數(shù)列前n項和 ①重要公式：（1） （

3、2） （3） （4） ②等差數(shù)列中，； ③等比數(shù)列中，. 【典型題分析】 高頻考點一 數(shù)列在數(shù)學文化與實際問題中的應用 【例1】(2020重慶八中模擬)某地區(qū)2018年人口總數(shù)為45萬．實施“二孩”政策后，專家估計人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：從2019年開始到2028年，每年人口總數(shù)比上一年增加0.5萬人，從2029年開始到2038年，每年人口總數(shù)為上一年的99%. (1)求實施“二孩”政策后第n年的人口總數(shù)an(單位：萬人)的表達式(注：2019年為第一年)； (2)若“二孩”政策實施后的2019年到2038年人口平均值超過49萬，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實施，問到

4、2038年結(jié)束后是否需要調(diào)整政策？(參考數(shù)據(jù)：0.9910≈0.9) 【解析】(1)由題意知，當1≤n≤10時，數(shù)列{an}是首項為45.5，公差為0.5的等差數(shù)列，可得an＝45.5＋0.5(n－1)＝0.5n＋45，則a10＝50； 當11≤n≤20時，數(shù)列{an}是公比為0.99的等比數(shù)列，則an＝500.99n－10. 故實施“二孩”政策后第n年的人口總數(shù)an(單位：萬人)的表達式為 an＝ (2)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和．從2019年到2038年共20年，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4 950(1－0.9

5、910)≈972.5. 所以“二孩”政策實施后的2019年到2038年人口平均值為≈48.63，則＜49， 故到2038年結(jié)束后不需要調(diào)整政策． 【方法技巧】數(shù)列實際應用中的常見模型 (1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差． (2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比． (3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，則應考慮考查的是第n項an與第n＋1項an＋1的遞推關系還是前n項和Sn與前n＋1項和Sn＋1之間的遞推關系． 【變式探究

6、】（2020安徽省銅陵中學模擬）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：“今有蒲草第一天長高3尺，莞草第一天長高1尺．以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2倍．問第幾天蒲草和莞草的高度相同？”根據(jù)上述的已知條件，可求得第________天時，蒲草和莞草的高度相同(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關數(shù)據(jù)：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)． 【答案】3 【解析】由題意得，蒲草的高度組成首項為a1＝3，公比為的等比數(shù)列{an}，設其前n項和為An；莞草的高度組成首

7、項為b1＝1，公比為2的等比數(shù)列{bn}，設其前n項和為Bn.則An＝，Bn＝，令＝，化簡得2n＋＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝＝1＋≈3，即第3天時蒲草和莞草高度相同。 高頻考點二　等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題 【例2】(2018高考北京卷)設{an}是等差數(shù)列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通項公式； (2)求ea1＋ea2＋…＋ean. 【解析】　(1)設{an}的公差為d. 因為a2＋a3＝5ln 2， 所以2a1＋3d＝5ln 2. 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2. (2)因

8、為ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2， 所以{ean}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． 所以ea1＋e a2＋…＋ean＝2＝2(2n－1)＝2n＋1－2. 【方法技巧】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略 (1)分析已知條件和求解目標，為最終解決問題設置中間問題，例如求和需要先求出通項、求通項需要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的順序． (2)注意細節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的． 【變式探究】（2020

9、江西省瑞昌市第二中學模擬）設公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2，a5，a11成等比數(shù)列，且a11＝2(Sm－Sn)(m＞n＞0，m，n∈N*)，則m＋n的值是 . 【解析】設等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)， 因為a2，a5，a11成等比數(shù)列， 所以a＝a2a11， 所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)， 解得a1＝2d， 又a11＝2(Sm－Sn)(m＞n＞0，m，n∈N*)， 所以2ma1＋m(m－1)d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d， 化簡得(m＋n＋3)(m－n)＝12， 因為m＞n＞0，m，n∈N*，

10、 所以或 解得或(舍去)，所以m＋n＝9. 高頻考點三 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題 【例3】(2020湖北黃岡中學模擬)設函數(shù)f(x)＝＋，正項數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝f，n∈N*，且n≥2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)對n∈N*，求證：＋＋＋…＋<2. 【解析】(1)由an＝f， 所以an＝＋an－1，n∈N*，且n≥2， 所以數(shù)列{an}是以1為首項，以為公差的等差數(shù)列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)＝. (2)證明：由(1)可知 ＝＝4， Sn＝＋＋＋…＋ ＝4[＋＋…＋(－)] ＝4 ＝2－<2，得證． 【方

11、法技巧】數(shù)列與其他知識交匯問題的常見類型及解題策略 (1)數(shù)列與函數(shù)的交匯問題 ①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題； ②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，掌握遞推數(shù)列的常見解法． (2)數(shù)列與不等式的交匯問題 ①函數(shù)方法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關于正實數(shù)的不等式，通過對關于正實數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式； ②放縮方法：數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到； ③比較方法：作差或者作商比較． 【變式探究】 (2020湖南岳陽一模)曲線y＝x＋ln x(n∈N*)在x＝處的

12、切線斜率為an，則數(shù)列的前n項的和為 ． 【解析】對y＝x＋ln x(n∈N*)求導，可得y′＝＋，由曲線y＝x＋ln x(n∈N*)在x＝處的切線斜率為an，可得an＝＋＝n.所以＝＝－，則數(shù)列的前n項的和為1－＋－＋…＋－＝. 【答案】 【舉一反三】(2020浙江杭州模擬)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個零點，則a5＝ ，b10＝ ． 【解析】因為an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個零點，所以an，an＋1是方程x2－bnx＋2n＝0的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關系，可得anan＋1＝2n，an＋an＋1＝bn，由anan＋1＝2n，可得an＋1an＋2＝2n＋1， 兩式相除可得＝2， 所以a1，a3，a5，…成公比為2的等比數(shù)列，a2，a4，a6，…成公比為2的等比數(shù)列，又由a1＝1，得a2＝2，所以a5＝122＝4，a10＝224＝32，a11＝125＝32，所以b10＝a10＋a11＝32＋32＝64. 【答案】4　64