13基本不等式

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1、2a bab 3.4基 本 不 等 式 : ICM2002會(huì)標(biāo)趙爽:弦圖 A D B CEFGHb a2 2a b基本不等式1: 一般地,對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b,我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。 2 2 2a b ab A B CDE(FGH)a b如 何 證 明 ? 基本不等式2:( 0, 0)2a bab a b 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。注意:(1)兩個(gè)不等式的適用范圍不同,而等號(hào)成立的條件相同(2) 稱(chēng)為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù) 稱(chēng)為它們的算術(shù)平均數(shù)。ab 2a b 如 何 證 明 ? 基本不等式的幾何解釋?zhuān)喊胂褻D不大于半徑A BEDCa b 例1.(1) 已知 并指出等號(hào)成立的條件.

2、 10, 2,x x x 求證(2) 已知 與2的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由. abbaab 尋找,0(3) 已知 能得到什么結(jié)論? 請(qǐng)說(shuō)明理由. abbaab ,0應(yīng)用一:利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關(guān)系 練習(xí)2:若 ,則( )(1)(2)(3)B練習(xí)1:設(shè)a0,b0,給出下列不等式其中成立的是 等號(hào)能成立的是 。21)1( aa 4)1)(1)(2( bbaa4)11)()(3( baba 2212)4( 22 aa ,lglg,1 baPba )2lg(),lg(lg21 baRbaQ QPRA 、RQPB 、QPRC 、RQPD 、(1)(2)(3)(4) 3.4 基 本 不 等 式 :

3、2a bab 應(yīng)用二:解決最大(小)值問(wèn)題 例2、已知 都是正數(shù),求證(1)如果積 是定值P,那么當(dāng) 時(shí),和 有最小值(2)如果和 是定值S,那么當(dāng) 時(shí),積 有最大值yx, yxyx yxP2 yx 241 Sxy(1)一正:各項(xiàng)均為正數(shù)(2)二定:兩個(gè)正數(shù)積為定值,和有最小值。 兩個(gè)正數(shù)和為定值,積有最大值。(3)三相等:求最值時(shí)一定要考慮不等式是否能取“”,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤小結(jié):利用 求最值時(shí)要注意下面三條:)0,0(2 baabbaxy 2、(04重慶)已知?jiǎng)tx y 的最大值是 。1、當(dāng)x0時(shí), 的最小值為 ,此時(shí)x= 。2 1xx 1 )0,0(232 yxyx61 3、若實(shí)數(shù) ,且 ,

4、則 的最小值是( ) A、10 B、 C、 D、yx, 5 yx yx 33 36 64 318D 4、在下列函數(shù)中,最小值為2的是( ) A、 B、C、 D、)0,(55 xRxxxy )101(lg1lg xxxy)(33 Rxy xx )20(sin1sin xxxy C _212(4) ;8,2,8,8,)3( );,2loglog)(1(2) 8),(sin16sin)1(.6 2 min22 22 2其中正確命題的有的最小值是時(shí)當(dāng)中則設(shè) 的值域是,則設(shè);最小值是 xxy yxxxxxyRx axxfx Zkky xa (4) 例3、(1)用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園,問(wèn)這

5、個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短。最短籬笆是多少?(2)一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一矩形菜園,問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),菜園的面積最大。最大面積是多少? 例4、某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋貯水池,其容積為4800立方米,深為3米,如果池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的造價(jià)為120元,怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少? 例1、甲、乙兩電腦批發(fā)商每次在同一電腦耗材廠以相同價(jià)格購(gòu)進(jìn)電腦芯片。甲、乙兩公司共購(gòu)芯片兩次,每次的芯片價(jià)格不同,甲公司每次購(gòu)10000片芯片,乙公司每次購(gòu)10000元芯片,兩次購(gòu)芯片,哪家公司平均成本低?請(qǐng)給出證明過(guò)程。解:設(shè)第一、第二次購(gòu)芯片的價(jià)格

6、分別為每片a元和b元 ,22000010000 baba 的平均價(jià)格為那么甲公司兩次購(gòu)芯片 baba 11 2100001000020000 均價(jià)格為乙公司兩次購(gòu)芯片的平 例4、 求函數(shù) 的最小值45 22 xxy 構(gòu)造積為定值,利用基本不等式求最值思考:求函數(shù) 的最小值)3(31 xxxy 構(gòu)造和為定值,利用基本不等式求最值例5、已知 ,求 的最大值 10 x 21 xx 的最小值求且為正實(shí)數(shù)為正常數(shù)已知例yx ybxa,y,xba 11 ,的最小值求且為正實(shí)數(shù)為正常數(shù)變題ybxa yx,y,xba , 1abyx abyxabxyxyabybxa 4 42211的最小值為即誤 2)( ,222 ),0,0( ,2 max 222222 22nmbyax nmybxabyax nmnyx mbayxba 即則滿(mǎn)足已知實(shí)數(shù)誤5)( ,52 )()()( 9,13 max 222222 222222 czbyax zcybxaczbyax ,zyxcba即則已知誤 )(.3 4 ,0,0,0,0.2 )( ),(1.1 222222444 2 cbaabccacbbacba acadbcbdbcad dcba bayx Ryxybxaba 證明:求證:已知求證:,是正數(shù),且、已知等式利用基本不等式證明不

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