2、于n∈N*，存在正整數(shù)k，使an＋k＝an
按其他標(biāo)準(zhǔn)分類
有界數(shù)列
存在正數(shù)M，使|an|≤M
擺動(dòng)數(shù)列
從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列
(3)數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．
知識(shí)點(diǎn)2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式
(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式an＝f(n)來表達(dá)，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)數(shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，
3、那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．
(3)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝
【必會(huì)結(jié)論】
1．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，
則an＝
2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則
若an最小，則
3．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．
【典型題分析】
高頻考點(diǎn)一 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式
例1. （2020新課標(biāo)Ⅱ）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石
4、板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A. 3699塊 B. 3474塊 C. 3402塊 D. 3339塊
【答案】C
【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，
則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，
設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分
別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，
所以，
即
即，解得，
所以.
【舉一反三】 (2018全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝2an＋1，則S6＝__
5、______．
【解析】因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.
【答案】－63
【變式探究】（2020湖北省襄樊一中模擬）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則{an}的通項(xiàng)公式an＝ ．
【解析】由Sn＝an＋，得當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝an－1＋，兩式相減，整理得an＝－2an－1，又當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝a1＋，所以a1＝1，所以{an}是首項(xiàng)為1，公
6、比為－2的等比數(shù)列，故an＝(－2)n－1.
【答案】(－2)n－1
高頻考點(diǎn)二 由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式
例2. （2020福建省莆田一中模擬）在數(shù)列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，則an＝ ．
【解析】a1＝2，an＋1＝an＋2n－1?an＋1－an＝2n－1?an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，則an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1
＝＋2＝2n－1＋1.
【答案】2n－1＋1
【變式探究】（2020廣東省汕頭一中模擬）若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則
7、數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝ ．
【解析】由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得＝(n≥2)．
所以an＝…a1
＝…1＝，(*)
又a1也滿足(*)式，所以an＝.
【答案】
高頻考點(diǎn)三 數(shù)列的單調(diào)性
例3. （2020江西省鷹潭一中模擬）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】因?yàn)閍n＋1－an＝－＝，由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知，對(duì)任意n∈N*，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n對(duì)任意n∈N*恒成立，所以k∈(
8、0，＋∞)．故選D.
【答案】D
【變式探究】（2020陜西省安康一中模擬）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(n＋1)，則此數(shù)列的最大項(xiàng)是第________項(xiàng)．
【答案】9或10
【解析】∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)＝，
當(dāng)n＜9時(shí)，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當(dāng)n＞9時(shí)，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，
∴該數(shù)列中有最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第9，10項(xiàng)．
高頻考點(diǎn)四 數(shù)列的周期性及應(yīng)用
例4. （2020新課標(biāo)Ⅱ）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱
9、其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（ ）
A. 11010…… B. 11011…… C. 10001…… D. 11001……
【答案】C
【解析】由知，序列的周期為m，由已知，，
對(duì)于選項(xiàng)A，
，不滿足；
對(duì)于選項(xiàng)B，
，不滿足；
對(duì)于選項(xiàng)D，
，不滿足；
【變式探究】（2020四川省瀘州一中模擬）等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且a＝a，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)n的值為( )
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
【解析】由a＝a，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，
因?yàn)閐＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，
又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.
因?yàn)閐＜0，所以{an}是遞減數(shù)列，
所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，顯然前5項(xiàng)和或前6項(xiàng)和最大，故選C.
【答案】C
2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題6-1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示
