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1、 3.4基 本 不 等 式 一 、 新 課 引 入上 圖 是 北 京 召 開 的 第 24屆 國 際 數(shù) 學(xué) 大 會(huì) 的 會(huì) 標(biāo)， 會(huì) 標(biāo) 是 根 據(jù) 中 國 古 代 數(shù) 學(xué) 家 趙 爽 設(shè) 計(jì) 的 ， 它是 由 四 個(gè) 全 等 的 直 角 三 角 形 拼 接 而 成 。 顏 色 的明 暗 使 它 看 上 去 像 一 個(gè) 風(fēng) 車 ， 代 表 中 國 人 民 熱情 好 客 。 “風(fēng) 車 ” 中 有 哪 些 圖 形 ， 這些 圖 形 的 面 積 有 什 么 相 等關(guān) 系 和 不 等 關(guān) 系 ？2 2S a b 正 方 形 ABCD 直 角 三 角 形正 方 形 SS ABCD 4 abba 222
2、 abS 24 直 角 三 角 形 不 等 式 ： 一 般 地 ， 對(duì) 于 兩 個(gè) 正 數(shù) a、 b， 我 們 有當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ， 等 號(hào) 成 立 。2 2 2a b ab A B CDE(FGH)a b證 明 推 導(dǎo) 1： v問 ： 何 時(shí) 相 等 ？ 結(jié) 論 ： 一 般 地 ， 對(duì) 于 任 意 實(shí) 數(shù) a、 b， 我 們 有 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ， 等 號(hào) 成 立2 2 2a b a b 當(dāng) a,b為 任 意 實(shí) 數(shù) 時(shí) ， 還 成 立 嗎 ？此 不 等 式 稱 為 重 要 不 等 式2 2 2a b a b 2.代 數(shù) 意 義 ： 兩 個(gè) 正 數(shù) 幾 何 平 均 數(shù) 小
3、 于 等 于 它 們 的 算 術(shù) 平 均 數(shù) ( 0, 0)2a bab a b （ 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ， 等 號(hào) 成 立 ）二 、 新 課 講 解 算 術(shù) 平 均 數(shù)幾 何 平 均 數(shù)1.思 考 :如 果 當(dāng) 用 去 替 換 中 的 ,能 得 到 什 么 結(jié) 論 ? 0,0 ba ,a b2 2 2a b a b ba, 基 本 不 等 式 oa bA BPQ 1.如 圖 ,AB是 圓 o的直 徑 ， Q是 AB上 任一 點(diǎn) ， AQ=a,BQ=b,過 點(diǎn) Q作 垂 直 于 AB的 弦 PQ， 連 AP,BP,半 徑 AO=_ab2 ba 幾 何 意 義 ： 圓 的 半 徑 大 于
4、等 于 圓 內(nèi) 半 弦長 你 能 用 這 個(gè) 圖 得 出 基 本不 等 式 的 幾 何 解 釋 嗎 ? 2.PQ與 AO的 大 小 關(guān) 系 怎 樣 ?則 半 PQ=_, 基 本 不 等 式 ： 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a =b時(shí) ， 等 號(hào) 成 立 .當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ， 等 號(hào) 成 立 .2 2 2 (a b ab a R 、 b ）重 要 不 等 式 ： ( 0, 0)2a bab a b 注 意 ：（ 1） 不 同 點(diǎn) ： 兩 個(gè) 不 等 式 的 適 用 范 圍 不 同 。（ 2） 相 同 點(diǎn) ： 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ， 等 號(hào) 成 立 。 2100 mxy例 1 用 籬 笆 圍
5、一 個(gè) 面 積 為 的 矩 形菜 園 , 問 該 矩 形 的 長 、 寬 各 為 多 少 時(shí) , 所 用 籬 笆 最 短 ， 最 短 的 籬 笆 是 多 少 ?2100m三 、 應(yīng) 用解 : (1)設(shè) 矩 形 菜 園 的 長 為 ,寬 為 , 則 , 籬笆 的 長 為 . xm 100 xyymmyx )(2 1002 yx等 號(hào) 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) 成 立 ,此 時(shí)因 此 ,這 個(gè) 矩 形 的 長 和 寬 都 是 10m時(shí) ,所 用 的 籬 笆 最 短 ,最 短 為 40myx 10 yx 402 yx 得即由 xyyx 22 (2)一 段 長 為 36m的 籬 笆 圍 成 一 個(gè) 矩 形菜
6、 園 ， 問 這 個(gè) 矩 形 的 長 ， 寬 各 為 多 少時(shí) ， 菜 園 的 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 多少 ？ 已 知 a,b都 是 正 數(shù) ， （ 1） 若 ab是 定 值 P, 則 當(dāng) a=b時(shí) ,a+b有 最 小 值 ； （ 2） 若 a+b是 定 值 S, 則 當(dāng) a=b時(shí) ,ab有 最 大 值 ；P2 2S41積 一 定 ， 和 有 最 小 值 ； 和 一 定 ， 積 有 最 大 值 。注 意 ： 一 正 二 定 三 相 等 ！ 1、 本 節(jié) 課 主 要 內(nèi) 容 ？ 你 會(huì) 了嗎 ？五 、 小 結(jié)2、 兩 個(gè) 結(jié) 論 :兩 個(gè) 正 數(shù) ,積 定 和 最 小 ;和 定
7、 積 最 大 。 .,.)2()2(;2)1(: 2 號(hào) 成 立時(shí)當(dāng) 且 僅 當(dāng)即 babaababba 構(gòu) 造 條 件三 、 應(yīng) 用 0, 02a bab a b （ ） 2 0, 0a b ab a b （ ）例 1、 若 ,求 的 最 小 值 .10 x y x x 變 3:若 ,求 的 最 小 值 .13 3x y x x 變 2:若 ,求 的 最 小 值 .0, 0 b aa b y a b 發(fā) 現(xiàn) 運(yùn) 算 結(jié) 構(gòu) ， 應(yīng) 用 不 等 式問 :在 結(jié) 論 成 立 的 基 礎(chǔ) 上 ,條 件 “ a0,b0”可 以 變 化 嗎 ？變 1:若 求 的 最 小 值,0 x xxy 23 0,
8、 02a bab a b （ ） 0, 02a bab a b 2（ ）三 、 應(yīng) 用例 2、 已 知 ,求 函 數(shù) 的 最 大 值 .0 1 (1 )x y x x 變 式 :已 知 ,求 函 數(shù) 的 最 大 值 .10 (1 2 )2x y x x 發(fā) 現(xiàn) 運(yùn) 算 結(jié) 構(gòu) ， 應(yīng) 用 不 等 式應(yīng) 用 要 點(diǎn) ：一 正 數(shù) 二 定 值 三 相 等結(jié) 論 1： 兩 個(gè) 正 數(shù) 積 為 定 值 ， 則 和 有 最 小 值結(jié) 論 2： 兩 個(gè) 正 數(shù) 和 為 定 值 ， 則 積 有 最 大 值 多 少 元 ? 造 價(jià) 為使 總 造 價(jià) 最 低 ?最 低 總怎 樣 設(shè) 計(jì) 水 池 能,元120價(jià)
9、為 的 造m1池 壁 每元 ,150造 價(jià) 為 的1m每底池果.如3m深 度 為 ,4800m其 容 積 為長 方 體 貯 水 池 ,某 工 廠 建 造 一 個(gè) 無 蓋 的:2 2 2 2例 3.已 知 直 角 三 角 形 的 面 積 等 于 50， 兩 條 直 角 邊 各為 多 少 時(shí) ,兩 條 直 角 邊 的 和 最 小 ， 最 小 值 是 多少 ？4.用 20cm長 的 鐵 絲 折 成 一 個(gè) 面 積 最 大 的 矩 形 ， 應(yīng)怎 樣 折 ？ 四 、 鞏 固 ., ,3,6,.2 ., ,6,.1 nm nmmnnm nm mnnmnm此 時(shí) 值有 最則滿 足若 正 數(shù)此 時(shí) 值有 最則
10、滿 足若 正 數(shù) 大 93 3 小 2623 2 證 明 :要 證 abba 2只 要 證 ba ( ) 要 證 ， 只 要 證 ba 0( ) 要 證 ， 只 要 證 （ ) 2 0ab2 ab2a b ba 顯 然 : 是 成 立 的 ,當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) 中 的 等 號(hào) 成 立 . 證 明 :當(dāng) 時(shí) , . abba 20,0 ba 作 業(yè)課 本 P100習(xí) 題 3.4A組 第 1,2題 再 見 ! min1: 0, 01 12 21 , 1 , 2x xy x xx xx x yx 解 1當(dāng) 即 時(shí) min2: 0, 3 0, 02 23 2 3 2 62 63 , , 2 63x x xy x xx xx x yx 解 2當(dāng) 即 時(shí) min1: 3, 3 0, 031 1 13 3 2 ( 3) 3 2 3 53 3 313 , 4 , 53x x xy x x xx x xx x yx 解 3當(dāng) 即 時(shí)
基本不等式２
