2003年高考理科數學真題及答案[全國卷I]

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1、2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國卷） 數 學（理工農醫(yī)類） 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至10頁?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第Ⅰ卷（選擇題共60分） 一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的 1．已知，0），，則 （ ） （A） （B） （C） （D） 2．圓錐曲線的準線方程是

2、 （ ） （A） （B） （C） （D） 3．設函數 ，若，則的取值范圍是 （ ） （A）（，1） （B）（，） （C）（，）（0，） （D）（，）（1，） 4．函數的最大值為 （ ） （A） （B） （C） （D）2 5．已知圓C：（）及直線：，當直線被C截得的弦長為時，則 （ ）

3、 （A） （B） （C） （D） 6．已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內接圓柱中，全面積的最大值是（ ） （A） （B） （C） （D） 7．已知方程的四個根組成一個首項為的的等差數列，則 （ ） （A）1 （B） （C） （D） 8．已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F（，0），直線與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是

4、 （ ） （A） （B） （C） （D） 9．函數，的反函數 （ ） （A） ，1] （B） ，1] （C） ，1] （D） ，1] 10．已知長方形的四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質點從AB的中點沿與AB的夾角的方向射到BC上的點后，依次反射到CD、DA和AB上的點、和（入射角等于反射角），設的坐標為（，0），若，則tg的取值范圍是

5、 （ ） （A）（，1） （B）（，） （C）（，） （D）（，） 11． （ ） （A）3 （B） （C） （D）6 12．一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則些球的表面積為（ ） （A） （B） （C） （D） 二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。 13．的展開式中系數是 14．使成立的的取值范圍是

6、2 1 5 3 4 15．如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種。（以數字作答） P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M 16．下列5個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出面MNP的圖形的序號是 （寫出所有符合要求的圖形序號） ① ② ③ ④

7、 ⑤ 三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或或演算步驟 17．（本小題滿分12分） 已知復數的輻角為，且是和的等比中項，求 18．（本小題滿分12分） 如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側棱，D、E分別是與的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G （I） 求與平面ABD所成角的大?。ńY果用反三角函數值表示） D E K B C1 A1 B1 A F C G （II） 求點到平面AED的距離 19．（本小題滿分12分） 已知，設

8、 P：函數在R上單調遞減 Q：不等式的解集為R 如果P和Q有且僅有一個正確，求的取值范圍 20．（本小題滿分12分） O 北 東O y 線 岸 O x O r(t) P 海 在某海濱城市附近海面有一臺風，據監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O（如圖）的東偏南）方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？ 21．（本小題滿分14分） O P A G D F E

9、 C B x y 已知常數，在矩形ABCD中，，，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且，P為GE與OF的交點（如圖），問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由。 22．（本小題滿分12分，附加題4 分） （I）設是集合 且}中所有的數從小到大排列成的數列，即，，，，，，… 將數列各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數表： 3 5 6 9 10 12 — — — — ………… ⑴寫出這個三角形數表

10、的第四行、第五行各數； ⑵求 （II）（本小題為附加題，如果解答正確，加4 分，但全卷總分不超過150分） 設是集合，且中所有的數從小到大排列成的數列，已知，求. 2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 數 學(理工農醫(yī)類)答案 一、選擇題 1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空題 13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答題： 17． 解：設，則復數由題設 18．（Ⅰ）解：連結BG，則BG是BE在AB

11、D的射影，即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角. 設F為AB中點，連結EF、FC， （Ⅱ）解： 19． 解：函數在R上單調遞減 不等式 20．解：如圖建立坐標系以O為原點，正東方向為x軸正向. 在時刻：（1）臺風中心P（）的坐標為 此時臺風侵襲的區(qū)域是 其中若在t時刻城市O受到臺風的侵襲，則有 即 答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲. 21．根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在的兩定點，使得點P到兩點距離的和為定值. 按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）設 由此有E（2，

12、4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直線OF的方程為：① 直線GE的方程為：② 從①，②消去參數k，得點P（x,y）坐標滿足方程 整理得 當時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點. 當時，點P軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長。 當時，點P到橢圓兩個焦點（的距離之和為定值。 當時，點P 到橢圓兩個焦點（0， 的距離之和為定值2. 22．（本小題滿分12分，附加題4分） （Ⅰ）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48 （i i）解：設，只須確定正整數 數列中小于的項構成的子集為 其元素個數為滿足等式的最大整數為14，所以取 因為100－ （Ⅱ）解：令 因 現在求M的元素個數： 其元素個數為： 某元素個數為 某元素個數為