離散數(shù)學(xué)中二元關(guān)系的教學(xué)模式改革探討

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1、離散數(shù)學(xué)中二元關(guān)系的教學(xué)模式改革探討 摘要：二元關(guān)系是離散數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容之一，在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、點(diǎn)集拓?fù)?、近世代?shù)、算法分析和信息檢索等學(xué)科中具有非常廣泛的應(yīng)用。結(jié)合信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)特點(diǎn)和作者教學(xué)實(shí)踐，通過強(qiáng)調(diào)應(yīng)用價(jià)值、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、豐富教學(xué)方法和改良考核方式等不同角度探討二元關(guān)系的教學(xué)模式改革，從而幫助大家靈活應(yīng)用二元關(guān)系中的知識(shí)解決相關(guān)問題。 關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué);二元關(guān)系;應(yīng)用價(jià)值;教學(xué)內(nèi)容;教學(xué)方法;考核方式 中圖分類號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2096-000X〔2021〕06-0129-03 Abstract：Binaryrelationisoneofthemainco

2、ntentofdiscretemathematicsandiswidelyusedinthefieldsofdatastructure，generaltopology，modernalgebra，algorithmanalysisandinformationretrieval.Combiningwiththecharacteristicofinformationandcomputationalscienceandtheauthorsteachingpractice，wediscusstheteachingmodereformofbinaryrelationbyemphasizingtheapp

3、licationvalue，optimizingteachingcontents，enrichingteachingmethodsandimprovingassessmentwaysandsoon，andhelpusbetterapplybinaryrelationtosolverelevantproblems. Keywords：discretemathematics;binaryrelation;applicationvalue;teachingcontents;teachingmethods;assessmentways 信息與計(jì)算科學(xué)是數(shù)學(xué)、信息科學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)交叉融合的一門新型學(xué)

4、科，其主要對(duì)象是信息技術(shù)的核心數(shù)學(xué)根底以及運(yùn)用現(xiàn)代計(jì)算工具高效求解科學(xué)與工程問題的數(shù)學(xué)理論與方法。該專業(yè)利用數(shù)學(xué)為信息與計(jì)算科學(xué)構(gòu)建根底平臺(tái)，采取數(shù)學(xué)根底理論和專業(yè)實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)方式，注重學(xué)生根本技能的培養(yǎng)，重視學(xué)生數(shù)值分析、計(jì)算技術(shù)及軟件的學(xué)習(xí)，確保學(xué)生具有強(qiáng)的知識(shí)應(yīng)用能力。離散數(shù)學(xué)是研究離散量的結(jié)構(gòu)及相互關(guān)系的學(xué)科，是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的專業(yè)核心課。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的飛速開展，它的應(yīng)用體系非常廣泛。學(xué)生通過對(duì)離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不但在組合分析、算法設(shè)計(jì)以及應(yīng)用與建模等方面形成根本的離散思維方法，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力，從而為將來從事信息行業(yè)的理論研究和應(yīng)用開發(fā)打下堅(jiān)實(shí)的根底。因

5、此，許多學(xué)者對(duì)離散數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了研究[1-12]。二元關(guān)系是離散數(shù)學(xué)課程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容。我院給信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)開設(shè)的許多課程如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)和近世代數(shù)等都與二元關(guān)系有關(guān)。但是由于二元關(guān)系的內(nèi)容抽象、繁瑣、零散以及證明難，很多學(xué)生學(xué)習(xí)這一章感到非常吃力，導(dǎo)致對(duì)內(nèi)容理解不透徹并且不能靈活應(yīng)用。因此探討二元關(guān)系的有效教學(xué)方法是非常有必要的。筆者自2021年以來一直從事信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)，結(jié)合專業(yè)特點(diǎn)和社會(huì)開展需求在教學(xué)過程中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，對(duì)如何改良該課程的教與學(xué)尤其對(duì)二元關(guān)系這一章的教學(xué)改革模式進(jìn)行了深入思索。 一、二元關(guān)系的國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀 二元關(guān)系是離散數(shù)學(xué)集合

6、論中的重要內(nèi)容，是兩個(gè)集合笛卡爾乘積的子集，研究的是一個(gè)集合內(nèi)部或兩個(gè)不同集合元素間關(guān)系。它與數(shù)理邏輯、集合論、布爾代數(shù)、組合數(shù)學(xué)和圖論等有密切的聯(lián)系，不但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中起著非常重要的作用，而且被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域。目前很多書籍和文獻(xiàn)研究了二元關(guān)系的相關(guān)知識(shí)[1-8，11]。比方文獻(xiàn)[2，5]探討了傳遞閉包的運(yùn)算方法;文獻(xiàn)[3，6]分析了二元關(guān)系的五個(gè)性質(zhì);文獻(xiàn)[4，11]研究了等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系;文獻(xiàn)[7，8]討論了二元關(guān)系傳遞性的判別方法?？v觀研究現(xiàn)狀，已有文獻(xiàn)都是對(duì)二元關(guān)系中的某個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行討論，但針對(duì)二元關(guān)系這一章內(nèi)容的具體教學(xué)模式改革的探討并不多見。另一方面，二元關(guān)系的教學(xué)

7、現(xiàn)狀是：學(xué)生沒有意識(shí)到二元關(guān)系的重要性，所以對(duì)二元關(guān)系的學(xué)習(xí)主動(dòng)性不高;教學(xué)內(nèi)容不新穎，不能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;教學(xué)方法還停留在傳統(tǒng)模式上，不能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性;考核方式忽略了學(xué)生的實(shí)踐能力等，不能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。針對(duì)這些現(xiàn)狀，結(jié)合作者多年的理論研究和教學(xué)實(shí)踐，下面從四個(gè)方面系統(tǒng)的分析離散數(shù)學(xué)中二元關(guān)系的教學(xué)模式和學(xué)習(xí)技巧，從而加深學(xué)生對(duì)二元關(guān)系知識(shí)點(diǎn)的理解以及靈活應(yīng)用。 二、提高二元關(guān)系的教學(xué)措施和實(shí)踐 〔一〕強(qiáng)調(diào)應(yīng)用價(jià)值 在講授二元關(guān)系的內(nèi)容之前，首先說明學(xué)習(xí)二元關(guān)系的意義：二元關(guān)系在信息檢索、算法分析、編譯程序設(shè)計(jì)、近世代數(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)和點(diǎn)集拓?fù)涞阮I(lǐng)域發(fā)揮著積極作用。

8、如傳遞閉包在編譯原理中，等價(jià)關(guān)系在數(shù)據(jù)庫(kù)、命題公式、集合、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以及組合計(jì)數(shù)中，偏序關(guān)系在工程管理和字典排序中的應(yīng)用非常廣泛。而且，現(xiàn)實(shí)中的許多問題都可以用二元關(guān)系來建模，例如資源共享協(xié)議、計(jì)算機(jī)中的多機(jī)調(diào)度、匹配問題、安排座位和圖的著色等問題。而且，二元關(guān)系也是該專業(yè)學(xué)生學(xué)好后續(xù)某些課程的根底。這樣使注重于計(jì)算機(jī)根底和應(yīng)用的信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生感受到二元關(guān)系的重要應(yīng)用價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣和提高自主學(xué)習(xí)的積極性。 〔二〕優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容 二元關(guān)系這一章內(nèi)容散且課時(shí)少，為了趕教學(xué)進(jìn)度很容易忽略學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)以及學(xué)以致用性，從而會(huì)降低學(xué)生的自主學(xué)習(xí)興趣。另外，為了適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)開展

9、對(duì)信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)人才的需求，還應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和實(shí)踐能力。所以應(yīng)當(dāng)優(yōu)化二元關(guān)系的教學(xué)內(nèi)容。二元關(guān)系這一章內(nèi)容的根本框架是： 由于信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)等專業(yè)課，對(duì)集合的運(yùn)算已經(jīng)有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。所以在教學(xué)內(nèi)容上對(duì)關(guān)系的運(yùn)算較粗略講解。而二元關(guān)系的性質(zhì)是這一章后續(xù)內(nèi)容的根底，所以應(yīng)重點(diǎn)加強(qiáng)與二元關(guān)系性質(zhì)相關(guān)問題的訓(xùn)練，特殊關(guān)系的講解，并強(qiáng)調(diào)關(guān)系矩陣在性質(zhì)判別、關(guān)系運(yùn)算及等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系判定過程中的思想和作用，從而將抽象問題具體數(shù)學(xué)化，使學(xué)生更好理解和掌握。另外，為了將理論與實(shí)際相結(jié)合，教學(xué)內(nèi)容上還可以參加簡(jiǎn)單的計(jì)算編程，比方讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)實(shí)

10、現(xiàn)對(duì)關(guān)系矩陣的n次冪運(yùn)算等內(nèi)容的編程，使學(xué)生能夠?qū)W以致用，從而對(duì)二元關(guān)系的學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚興趣。 〔三〕豐富教學(xué)方法 手段多樣化 混合教學(xué)模式，是將在線教學(xué)和傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)勢(shì)結(jié)合起來的一種“線上+線下〞的教學(xué)方式[12]。針對(duì)二元關(guān)系，可以采用傳統(tǒng)課堂和翻轉(zhuǎn)課堂等結(jié)合的混合式教學(xué)模式。 課前，教師將二元關(guān)系的定義和運(yùn)算讓學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)下載觀看，并查閱回憶關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)的相關(guān)知識(shí)。教師將諸如關(guān)系與數(shù)據(jù)庫(kù)之間的聯(lián)系是什么等問題發(fā)給學(xué)生思考和討論。關(guān)系的性質(zhì)和特殊關(guān)系較難理解，可以先用傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容的手段錄成簡(jiǎn)短的小視頻，形成在線課程〔或慕課〕發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)。對(duì)于特殊關(guān)系，教師還可以讓學(xué)生

11、先行思考實(shí)際生活中的哪些關(guān)系是特殊關(guān)系。課堂上，在前面的準(zhǔn)備根底上，針對(duì)二元關(guān)系的內(nèi)容，教師先列出提綱，然后適時(shí)應(yīng)用雨課堂對(duì)學(xué)生的預(yù)習(xí)情況進(jìn)行測(cè)查。接著讓學(xué)生分組討論，這個(gè)過程中教師要鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題，而且還要參與到學(xué)生的討論中。比方有些學(xué)生對(duì)等價(jià)類與劃分之間的關(guān)系理解不好，教師鼓勵(lì)理解透徹的同學(xué)為其講解并互相討論，最終以圖示化方式明確等價(jià)類與劃分塊之間的關(guān)系。 二元關(guān)系講解完后，可以給學(xué)生布置一些聯(lián)系實(shí)際的作業(yè)，比方關(guān)系運(yùn)算如何運(yùn)用到社交網(wǎng)絡(luò)中等。實(shí)踐說明，這樣的混合式教學(xué)方式不但讓學(xué)生體會(huì)到了學(xué)習(xí)的樂趣，而且更好地激發(fā)了學(xué)生的自主創(chuàng)新學(xué)習(xí)能力。 單純的根底理論教學(xué)往往忽略了學(xué)

12、生對(duì)計(jì)算思維方法的靈活應(yīng)用。所以應(yīng)適時(shí)增加實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生將一些算法進(jìn)行計(jì)算機(jī)編程和應(yīng)用，從而使理論與實(shí)際相結(jié)合。信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生開設(shè)了C語言、C++面向?qū)ο缶幊?、Java語言、Matlab語言與應(yīng)用、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)以及計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等編程和計(jì)算機(jī)課程，在掌握算法分析和計(jì)算技術(shù)方面更有優(yōu)勢(shì)，能夠更好地對(duì)二元關(guān)系的有關(guān)內(nèi)容編程并靈活運(yùn)用。因此在二元關(guān)系的教學(xué)中可以根據(jù)學(xué)生的情況選取一些內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單編程。比方可以讓學(xué)生對(duì)關(guān)系閉包運(yùn)算、等價(jià)關(guān)系與偏序關(guān)系的判定和關(guān)系矩陣的n次冪運(yùn)算等進(jìn)行簡(jiǎn)單編程，也可以先讓學(xué)生用Warshall算法和改良的Warshall算法求關(guān)系的閉包運(yùn)算，再鼓勵(lì)學(xué)生

13、嘗試?yán)脗鬟f閉包的Warshall算法繪制社交關(guān)系圖等。這樣不但提高了學(xué)生的編程能力和學(xué)習(xí)興趣，而且培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。 二元關(guān)系這一章概念和定理很多，所以教師可通過精心設(shè)計(jì)逐步遞進(jìn)的啟發(fā)式教學(xué)來引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)思考，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)教學(xué)間的有效互動(dòng)，從而提高教學(xué)質(zhì)量。例如設(shè)R1，R2是集合A上的二元關(guān)系。通過講解易知，假設(shè)R1，R2是自反的〔反自反的，對(duì)稱的〕，那么R1∪R2也是自反的〔反自反的，對(duì)稱的〕。于是教師由此可以啟發(fā)提問：“假設(shè)R1，R2是反對(duì)稱的〔傳遞的〕，那么R1∪R2是否也是反對(duì)稱的〔傳遞的〕〞？然后可以通過舉實(shí)例來解決給出答案。又如講閉包運(yùn)算時(shí)

14、，通過閉包運(yùn)算的概念逐層啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生得出其運(yùn)算表達(dá)式。這樣將問題層層深入，加深學(xué)生對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的理解。 二元關(guān)系這一章的許多內(nèi)容間存在一定聯(lián)系，可以用類比法教學(xué)來加深理解。比方，在二元關(guān)系教學(xué)過程中，講解完性質(zhì)和運(yùn)算后，可類比性質(zhì)與運(yùn)算的聯(lián)系，也可通過類比等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系來區(qū)分特殊關(guān)系。傳遞閉包的判定有些難度，但它與第一章數(shù)理邏輯中的蘊(yùn)含式判別相關(guān)聯(lián)，所以講解傳遞閉包時(shí)將其用蘊(yùn)含式判別來分析可以簡(jiǎn)化判定思想，更能加深這兩方面知識(shí)的理解。另外，二元關(guān)系中的有些內(nèi)容和信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生所學(xué)課程的有關(guān)知識(shí)相似。如關(guān)系中的并、交和差運(yùn)算其實(shí)是關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)中的增加、查找及刪除運(yùn)算;關(guān)系閉包與數(shù)學(xué)

15、分析課程中的閉包一致;關(guān)系矩陣的合成運(yùn)算公式與矩陣的乘法公式相似，只不過關(guān)系矩陣的乘法和加法用的是布爾運(yùn)算。這樣通過已學(xué)知識(shí)的介入和類比使得學(xué)生能夠更形象的理解二元關(guān)系的內(nèi)容。 〔四〕改良考核方式 考核是對(duì)學(xué)生掌握知識(shí)的評(píng)價(jià)，也是對(duì)教學(xué)效果的評(píng)估[10]。二元關(guān)系以往的考核由作業(yè)、出勤和答復(fù)以下問題的表現(xiàn)決定。這種考核方式忽略了學(xué)生的編程能力和自主創(chuàng)新學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，顯然不利于信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生的開展。在二元關(guān)系的考核中，還應(yīng)注重考查學(xué)生平時(shí)的綜合學(xué)習(xí)表現(xiàn)：平時(shí)課前預(yù)習(xí)情況的表現(xiàn);平時(shí)課中討論問題的表現(xiàn);平時(shí)計(jì)算機(jī)編程和做練習(xí)題情況的表現(xiàn)。另外，為了使學(xué)生穩(wěn)固二元關(guān)系的知識(shí)和養(yǎng)成平時(shí)踏

16、實(shí)學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，還應(yīng)該進(jìn)行二元關(guān)系這一章的單元考試。因此為了使信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生適應(yīng)社會(huì)需求，二元關(guān)系的考核方式最終由以下幾局部構(gòu)成：平時(shí)課前檢測(cè)10%;平時(shí)課中討論10%;平時(shí)編程和練習(xí)表現(xiàn)20%;作業(yè)出勤20%;單元檢測(cè)成績(jī)40%。當(dāng)然，這種考核方式在離散數(shù)學(xué)課程的整個(gè)教學(xué)過程中也適用。 三、結(jié)束語 二元關(guān)系與許多學(xué)科有非常緊密的關(guān)聯(lián)，在許多領(lǐng)域具有非常廣泛的應(yīng)用，因此加深對(duì)二元關(guān)系的理解和探討二元關(guān)系的教學(xué)方法及技巧是非常有必要的。針對(duì)二元關(guān)系的教學(xué)改革，本文從強(qiáng)調(diào)應(yīng)用價(jià)值、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、創(chuàng)新教學(xué)方法和改良考核方式等方面進(jìn)行了討論。通過該教學(xué)模式的應(yīng)用將調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主

17、動(dòng)性和創(chuàng)造性，到達(dá)良好的教學(xué)效果。隨著信息科學(xué)和社會(huì)的飛速開展，今后還需要結(jié)合信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生的實(shí)際情況和社會(huì)的開展需求不斷地對(duì)二元關(guān)系乃至離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容和模式進(jìn)行創(chuàng)新和探索，這樣才能實(shí)現(xiàn)教與學(xué)與用的有機(jī)結(jié)合。 參考文獻(xiàn)： 【1】耿素云，屈婉玲.離散數(shù)學(xué)〔修訂版〕[M].北京：高等教育出版社，2021. 【2】孫鳳芝.有限集上二元關(guān)系傳遞閉包的一種矩陣求法[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào)，2021，23〔5〕：79-81. 方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2021，26〔5〕：203-206. 【4】石瑞平，張素芬.等價(jià)關(guān)系的判定與性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2021，41〔14〕：2

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