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1、1第五章 二次型 一、二次型及其標準形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩陣及秩 四、化二次型為標準形 五、慣性定理 六、正(負)定二次型的概念 七、正(負)定二次型的判別2一、二次型及其標準形的概念 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 稱為二次型稱為二次型. .的的二二次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)個個變變量量含含有有定定義義nxxxn, 121; , 稱稱為為是是復復數(shù)數(shù)時時當當faij復二次型復二次型. , 稱稱為為是是實實數(shù)數(shù)時時當當faij實二次型實二次型3只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型2222211n
2、nykykykf 稱為二次型的標準形（或法式）稱為二次型的標準形（或法式）例如例如 23222132144,xxxxxxf 為二次型的標準形為二次型的標準形. .只含有平方項的且形如以下二次型只含有平方項的且形如以下二次型221221rppyyyyf 稱為二次型的規(guī)范形稱為二次型的規(guī)范形41 1用和號表示用和號表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 對二次型對二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 則則于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nn
3、xxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 二、二次型的表示方法52 2用矩陣表示用矩陣表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(6., 為對稱矩陣為對稱矩陣其中其中則二次型可記作則二次型可記作AAXXfT ,21212222111211 nnnnn
4、nnxxxxaaaaaaaaaA記記 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,7三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型這樣，二稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型這樣，二次型與對稱矩陣之間存在次型與對稱矩陣之間存在一一對應一一對應的關系的關系; 的矩陣的矩陣叫做二次型叫做二次型對稱矩陣對稱矩陣fA; 的二次型的二次型叫做對稱矩陣叫做對稱矩陣Af. 的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型對稱
5、矩陣對稱矩陣fA8解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 330322021A的的矩矩陣陣及及秩秩寫寫出出二二次次型型32212322216432 xxxxxxxf 例例3二二次次型型秩秩為為.100110021 9四、化二次型為標準形2.正交線性替換法1.配方法例3.初等變換法10 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,設設四、化二次型為標準形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形可逆的線性變換，將二次型化
6、為標準形),(cCij 記記記作記作則上述可逆線性變換可則上述可逆線性變換可 CYX 11AXXfT 有有將其代入將其代入, AXXfT YACCYTT CYACYT .BYYT BABAACCBCnBAT合同。記為合同。記為，則稱矩陣則稱矩陣使得使得，階矩陣，存在可逆矩陣階矩陣，存在可逆矩陣為兩為兩，設設矩陣的合同矩陣的合同 CYX 12說明說明2222211)()(nnTyyyCYACYkkk 就就是是要要使使變變成成標標準準形形經(jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換要要使使二二次次型型, 2 CYXf. ,),(212121 yyykkkyyynnn.成成為為對對角角矩矩陣陣也也就就是是要要使使ACCT;
7、 ,1 ACCBAfCYX. T 變變?yōu)闉榈牡木鼐仃囮囉捎傻淦渲戎炔徊蛔冏兒蠛蠖未涡托徒?jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換13有有型型把把此此結結論論應應用用于于二二次次即即使使總總有有正正交交矩矩陣陣陣陣由由于于對對任任意意的的實實對對稱稱矩矩,., 1 APAPPAPPT化化為為標標準準形形使使正正交交變變換換總總有有任任給給二二次次型型定定理理fPYXAXXfT, ,2222211nnyyyf .,21的特征值的特征值的矩陣的矩陣是是其中其中ijnaAf 14用正交變換化二次型為標準形的具體步驟用正交變換化二次型為標準形的具體步驟;, . 1AAXXfT求求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形
8、形式式 ;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;, . 321n 征征向向量量求求出出對對應應于于特特征征值值的的特特 ;, , . 4212121nnnC 記記得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量., . 52211nnyyffCYX 的的標標準準形形則則得得作作正正交交變變換換15解解1 1寫出對應的二次型矩陣，并求其特征值寫出對應的二次型矩陣，并求其特征值 144241422217A144241422217EA 9182 .,844141417 323121232221化成標準形化成標準形通過正交變換通過正交變換將二次型將二次型PYXxxxxxxxxxf 例例
9、2 216從而得特征值從而得特征值.18, 9321 得基礎解系得基礎解系代入代入將將, 091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基礎礎解解系系代代入入將將, 01832 xEA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3將特征向量正交化將特征向量正交化, 11 取取.) 1 , 1 , 21 (1T ,22 ,2223233 得正交向量組得正交向量組.) 1 , 54, 52(3 T ,)0 ,1 ,2(2 T ,)1 ,1 ,21(1T 17 ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .4550
10、3245451324525231 P 所所以以4 4將正交向量組單位化，得正交矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣P18于是所求正交變換為于是所求正交變換為,45503245451324525231321321 yyyxxx.18189232221yyyf 且且有有19解解例例3 3.22 2222 , 434232413121化為標準形化為標準形把二次型把二次型求一個正交變換求一個正交變換xxxxxxxxxxxxfPyx 二次型的矩陣為二次型的矩陣為,0111101111011110 A它它的的特特征征多多項項式式為為20.111111111111 EA有有四列都加到第一列上四列都加到第一列上
11、三三把二把二計算特征多項式計算特征多項式,:,1111111111111)1( EA有有四行分別減去第一行四行分別減去第一行三三把二把二,211000212022101111)1( EA1221)1(2 .)1( )3()32()1(322 . 1, 34321 的特征值為的特征值為于是于是A, 0)3(,31 xEA解方程解方程時時當當 22,11111 得基礎解系得基礎解系.1111211 p單位化即得單位化即得, 0)(,1432 xEA解方程解方程時時當當 ,1111,1100,0011232 可得正交的基礎解系可得正交的基礎解系23單位化即得單位化即得 21212121,212100
12、,002121432ppp于是正交變換為于是正交變換為YX2121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且有且有24二、小結將一個二次型化為標準形，可以用正交變換法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，這取決于問題的要求如果要求找出一個正交矩陣，無疑應使用正交變換法；如果只需要找出一個可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就班一步一步地求解，但計算量通常較大；如果二次型中變量個數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而比較簡單需要注意的是，使用不同的方法，所得到的標準形可能不相同，但標準形中含有的項數(shù)必定相同，項數(shù)等于所給
13、二次型的秩25五、慣性定理一個實二次型，既可以通過正交變換化為標一個實二次型，既可以通過正交變換化為標準形，也可以通過配方法化為標準形，準形，也可以通過配方法化為標準形，顯然，其標準形一般來說是不唯一的，但標準形顯然，其標準形一般來說是不唯一的，但標準形中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩只含有平方項的且形如以下二次型只含有平方項的且形如以下二次型221221rppyyyyf 稱為二次型的規(guī)范形稱為二次型的規(guī)范形且規(guī)范型是唯一的且規(guī)范型是唯一的線性替換化為規(guī)范型，線性替換化為規(guī)范型，可通過可逆可通過可逆任一二次型任一二次型慣性定理慣性定理定理定理
14、AXXfT )( 1正慣性指數(shù):規(guī)范型中正項個數(shù).負慣性指數(shù): 規(guī)范型中負項個數(shù)26六、正(負)定二次型的判概念 1.正定二次型與正定矩陣P215 2.負定二次型與負定矩陣P22027七、正(負)定二次型的判別.: 1.個個系系數(shù)數(shù)全全為為正正它它的的標標準準形形的的件件是是為為正正定定的的充充分分必必要要條條實實二二次次型型nAXXfT 。它它的的正正慣慣性性指指數(shù)數(shù)為為件件是是為為正正定定的的充充分分必必要要條條實實二二次次型型nAXXfT: 2. 。它它的的所所有有特特征征值值為為正正數(shù)數(shù)件件是是條條為為正正定定矩矩陣陣的的充充分分必必要要實實對對稱稱矩矩陣陣: 3.A大大于于零零。它它
15、的的所所有有順順序序主主子子式式都都件件是是條條為為正正定定矩矩陣陣的的充充分分必必要要實實對對稱稱矩矩陣陣: 4.A28正定矩陣具有以下一些簡單性質正定矩陣具有以下一些簡單性質;,A, . 1 1T定定矩矩陣陣均均為為正正則則為為正正定定實實對對稱稱陣陣設設 AAA., . 2 矩矩陣陣也也是是正正定定則則階階正正定定矩矩陣陣均均為為若若BAnBA 29例例1 1 判別二次型判別二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的的矩矩陣陣為為321,xxxf,524212425 它的順序主子式它的順序主子式, 05 , 011225 ,
16、01524212425 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.30例例2 2 判別二次型判別二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解二次型的矩陣為二次型的矩陣為,502040202 A用用特征值判別法特征值判別法.0 AE 令令. 6, 4, 1321 故此二次型為正定二次型故此二次型為正定二次型.即知即知 是正定矩陣，是正定矩陣，A31例例3 3 判別二次型判別二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩陣為的矩陣為f, 0511 a, 0266225 , 080 A.13為負定為負定知知根據(jù)定理根據(jù)定理f,402062225 A322.正定二次型正定二次型（正定矩陣正定矩陣）的判別方法：）的判別方法：(1)(1)定義法定義法；(2)(2)順次主子式判別法順次主子式判別法；(3)(3)特征值判別法特征值判別法.四、小結1.正定二次型的概念，正定二次型與正定正定二次型的概念，正定二次型與正定矩陣的區(qū)別與聯(lián)系矩陣的區(qū)別與聯(lián)系3.根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到負定二次型負定二次型（負定矩陣負定矩陣）相應的判別方法，請大）相應的判別方法，請大家自己推導家自己推導
高等代數(shù) 二次型
