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1、
第十章 圓錐曲線
第63課 橢圓及其標準方程
1．（2012哈爾濱質(zhì)檢）設、分別是橢圓的左、右焦點，是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，且，求點的橫坐標為（ ）
A．1 B． C． D.
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，，
設，∵，∴ ，
即 ， ∴ ．
又 ∵ ，∴，
解得 ，∵，∴．
∵，∴．
2．（2012萊蕪質(zhì)檢）若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，點為橢圓上任意一點，則最小值為（ ）
A．
2、 B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得，設，則
，
∵，
∴時，取得最小值．
3．（2012上海閘北質(zhì)檢）橢圓的左、右焦點分別是，，過的直線與橢圓相交于，兩點，且，，成等差數(shù)列．
（1）求證：；
（2）若直線的斜率為1，且點在橢圓上，求橢圓的方程．
【解析】（1）由題設，得，
由橢圓定義，
∴．
（2）由點在橢圓上，
可設橢圓的方程為，
設，，，
：，
由，得，（*）
則
，
∴， 解得，
∴橢圓的方程為．
4．已知、分別是橢圓的左右兩個焦點，為坐
3、標原點，點在橢圓上，線段與軸的交點為線段的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）點是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于，求的值．
【解析】（1）∵點為線段的中點，
∴是的中位線，
又，∴，
∴，解得，
∴橢圓的標準方程為．
（2）∵點在橢圓上，、是橢圓的兩個焦點，
∴，，
在，由正弦定理，，
∴．
5．（2012北京石景山一模）已知橢圓（）右頂點到右焦點的距離為，短軸長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點，若線段的長為，求直線的方程．
【解析】（1）由題意得
4、，解得．
∴橢圓方程為．
（2）當直線與軸垂直時，，
此時不符合題意故舍掉；
當直線與軸不垂直時，
設直線的方程為：，
由，得 ．
設 ，則 ，
∴ ，
由，
∴直線，或．
6． (2013揭陽聯(lián)考) 如圖，在中，，，以、為焦點的橢圓恰好過的中點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右頂點作直線與圓相交于、兩點，試探究點、能將圓分割成弧長比值為的兩段弧嗎？若能，求出直線的方程；若不能，請說明理由.
【解析】（1）∵，∴
，
∴，∴，
∴，
，
∴ ，∴，
又，∴，
∴橢圓的標準方程為
（2）橢圓的右頂點，圓圓心為，半徑.
假設點、能將圓分割成弧長比值為的兩段弧，則，
圓心到直線的距離.
當直線斜率不存在時，的方程為，
此時圓心到直線的距離（符合），
當直線斜率存在時，
設的方程為，即，
∴圓心到直線的距離
，無解.
綜上：點M、N能將圓分割成弧長比值為
的兩段弧，此時方程為.
5
（廣東專用）2014高考數(shù)學第一輪復習用書 第63課 橢圓及其標準方程 文
