【試卷解析】湖南師大附中高一（下）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

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1、 湖南師大附中2014-2015學(xué)年高一（下）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷　 一、選擇題（共7小題，每小題5分，滿分35分） 1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，則A∩B=（　?。? 　 A． {0} B． {0，1} C． {0，2} D． {0，1，2} 考點(diǎn)： 交集及其運(yùn)算． 專題： 集合． 分析： 解出集合A，再由交的定義求出兩集合的交集． 解答： 解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}， ∴A∩B={0，2} 故選C 點(diǎn)評(píng)： 本題考查交的運(yùn)算，理解好交的定義是解答的關(guān)鍵． 　 2．設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是

2、兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（　?。? 　 A． 若m∥α，n∥α，則m∥n B． 若m∥α，m∥β，則α∥β 　 C． 若m∥n，m⊥α，則n⊥α D． 若m∥α，α⊥β，則m⊥β 考點(diǎn)： 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： 用直線與平面平行的性質(zhì)定理判斷A的正誤；用直線與平面平行的性質(zhì)定理判斷B的正誤；用線面垂直的判定定理判斷C的正誤；通過面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷D的正誤． 解答： 解：A、m∥α，n∥α，則m∥n，m與n可能相交也可能異面，所以A不正確； B、m∥α，m∥

3、β，則α∥β，還有α與β可能相交，所以B不正確； C、m∥n，m⊥α，則n⊥α，滿足直線與平面垂直的性質(zhì)定理，故C正確． D、m∥α，α⊥β，則m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正確； 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查線線，線面，面面平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考查空間想象能力能力． 　 3．圓（x+2）2+y2=4與圓（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置關(guān)系為（　?。? 　 A． 內(nèi)切 B． 相交 C． 外切 D． 相離 考點(diǎn)： 圓與圓的位置關(guān)系及其判定． 專題： 直線與圓． 分析： 求出兩圓的圓心和半徑，計(jì)算兩圓的圓心距，將圓心距和兩圓的半徑之和或半徑之差作

4、對(duì)比，判斷兩圓的位置關(guān)系． 解答： 解：圓（x+2）2+y2=4的圓心C1（﹣2，0），半徑r=2． 圓（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圓心C2（2，1），半徑R=3， 兩圓的圓心距d==， R+r=5，R﹣r=1， R+r＞d＞R﹣r， 所以兩圓相交， 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查圓與圓的位置關(guān)系及其判定的方法，關(guān)鍵是求圓心距和兩圓的半徑． 　 4．設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（　?。? 　 A． a＞b＞c B． c＞a＞b C． a＜b＜c D． t=15 考點(diǎn)： 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；不等關(guān)系與不等式． 專題： 計(jì)算題． 分析： 直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

5、判斷a、b的大小，通過冪函數(shù)的單調(diào)性判斷b、c的大小即可． 解答： 解：因?yàn)閥=是減函數(shù)，所以， 冪函數(shù)y=是增函數(shù)，所以， ∴a＜b＜c． 故選：C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性冪函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查的比較一般利用函數(shù)的單調(diào)性． 　 5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為24，則正視圖中a的值為（　?。? 　 A． 8 B． 6 C． 4 D． 2 考點(diǎn)： 由三視圖求面積、體積． 專題： 計(jì)算題． 分析： 幾何體是一個(gè)四棱錐，底面是一個(gè)邊長(zhǎng)分別是a和3的矩形，一條側(cè)棱與底面垂直，且這條側(cè)棱的長(zhǎng)是4，根據(jù)該幾何體的體積是24，列出關(guān)于a的方程，解

6、方程即可． 解答： 解：由三視圖知幾何體是一個(gè)四棱錐， 底面是一個(gè)邊長(zhǎng)分別是a和3的矩形， 一條側(cè)棱與底面垂直，且這條側(cè)棱的長(zhǎng)是4， 根據(jù)該幾何體的體積是24， 得到24=a34， ∴a=6， 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查由三視圖求幾何體的體積，實(shí)際上不是求幾何體的體積，而是根據(jù)體積的值和體積的計(jì)算公式，寫出關(guān)于變量的方程，利用方程思想解決問題． 　 6．函數(shù)f（x）=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　） 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考點(diǎn)： 根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 先判斷函數(shù)的單調(diào)性，由于在定義域上兩個(gè)增函數(shù)的和仍為增函數(shù)，

7、故函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，而f（0）＜0，f（）＞0 由零點(diǎn)存在性定理可判斷此函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn) 解答： 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)樯鲜菧p函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　?。? 　 A． （﹣∞，4] B． （﹣∞，2] C． 上的解析式可以變?yōu)閒（x）=x2﹣bx，再由二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)f（x）=|x|（x﹣b）在上是減函數(shù)即可得到關(guān)于參數(shù)b的不等式，解不等式得到參數(shù)的取值范圍即可選出正確選項(xiàng)． 解答： 解：∵函數(shù)f（x）=|x|（x﹣b）在上是減函數(shù)， ∴函數(shù)f（x）=x2﹣bx在上是減函數(shù)， ∴，解得b≥4 故選D 點(diǎn)評(píng)： 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次

8、函數(shù)的性質(zhì)，且能根據(jù)題設(shè)條件及二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化得到參數(shù)所滿足的不等式． 　 二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分） 8．函數(shù)f（x）=（x+a）（x﹣4）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=　4?。? 考點(diǎn)： 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之即可． 解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=（x+a）?（x﹣4）是偶函數(shù)， 所以?x∈R，都有f（﹣x）=f（x）． 所以?x∈R，都有（﹣x+a）?（﹣x﹣4）=（x+a）?（x﹣4） 即x2+（4﹣a）x﹣4a=x2+（a﹣4

9、）x﹣4a 所以a=4． 故答案為：4 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題． 　 9．已知4a=2，lgx=a，則x=　?。? 考點(diǎn)： 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)． 專題： 計(jì)算題． 分析： 化指數(shù)式為對(duì)數(shù)式求得a，代入lgx=a后由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求得x的值． 解答： 解：由4a=2，得， 再由lgx=a=， 得x=． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題． 　 10．已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上．若球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)為　?。? 考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體；球的體積和表面

10、積． 專題： 空間位置關(guān)系與距離；立體幾何． 分析： 設(shè)出正方體棱長(zhǎng)，利用正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，通過球的體積求出正方體的棱長(zhǎng)． 解答： 解：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線就是外接球的直徑， 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為：a，正方體的外接球的半徑為：， 球的體積為：， 解得a=． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查正方體與外接球的關(guān)系，注意到正方體的體對(duì)角線就是球的直徑是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力與計(jì)算能力． 　 11．已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=kx﹣2的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　（0，1）∪（1，4）?。? 考點(diǎn)： 根的存在性及根的個(gè)數(shù)判

11、斷． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，在同一個(gè)坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=kx﹣2的圖象，結(jié)合圖象，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解答： 解：y=== 函數(shù)y=kx﹣2的圖象恒過點(diǎn)（0，﹣2） 在同一個(gè)坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=kx﹣2的圖象 結(jié)合圖象可實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，1）∪（1，4） 故答案為：（0，1）∪（1，4） 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，同時(shí)考查了作圖能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題． 　 三、解答題（共4小題，滿分45分） 12．已知直線l：x﹣y+m=0繞其與x軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后過

12、點(diǎn)（2，﹣3） （1）求m的值； （2）求經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）和B（2，﹣2），且圓心在直線l上的圓的方程． 考點(diǎn)： 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；待定系數(shù)法求直線方程． 專題： 直線與圓． 分析： （1）通過設(shè)直線l與x軸交點(diǎn)P（﹣m，0），利用旋轉(zhuǎn)前后兩直線垂直即斜率乘積為﹣1可得m=1； （2）通過中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段AB的中點(diǎn)C（，﹣），利用斜率乘積為﹣1可得直線AB的中垂線的斜率為，進(jìn)而可得直線AB的中垂線的方程為：x﹣3y﹣3=0，利用所求圓的圓心為直線AB的中垂線與直線l的交點(diǎn)，所求圓的半徑為|EB|，計(jì)算即得結(jié)論． 解答： 解：（1）∵直線l：x﹣y+m=0， ∴kl=1，直

13、線l與x軸交點(diǎn)為P（﹣m，0）， 又∵直線l旋轉(zhuǎn)后過點(diǎn)Q（2，﹣3）， ∴kPQ=﹣1，即=﹣1， 解得m=1； （2）∵m=1， ∴直線l方程為：x﹣y+1=0， ∵所求圓經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）、B（2，﹣2）且圓心在直線l上， ∴所求圓的圓心為直線AB的中垂線與直線l的交點(diǎn)， 記線段AB的中點(diǎn)為C（x，y）， 則， ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：C（，﹣）， ∵kAB==﹣3， ∴直線AB的中垂線的斜率為， 又直線AB的中垂線過C（，﹣）， ∴直線AB的中垂線的方程為：y+=（x﹣）， 整理得：x﹣3y﹣3=0， 聯(lián)立， 解得， 即圓心為E（﹣3，﹣2）， 半徑為|EB|

14、=2+3=5， ∴所求圓的方程為：（x+3）2+（x+2）2=25． 點(diǎn)評(píng)： 本題是一道直線與圓的綜合題，涉及斜率、中垂線、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 　 13．如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=30，斜邊AB=4，Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B﹣AO﹣C的直二面角，D是AB的中點(diǎn)． （1）求證：平面COD⊥平面AOB； （2）求異面直線AO與CD所成角的正切值． 考點(diǎn)： 異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定． 專題： 證明題；空間位置關(guān)系與距離；空間角． 分析： （1）證明平面COD中的直線CO⊥平

15、面AOB即可； （2）作出異面直線AO與CD所成的角，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可 求出異面直線AO與CD所成角的正切值． 解答： 解：（1）如圖所示， Rt△AOC是通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到， ∴CO⊥AO，BO⊥AO； 又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角， ∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C的平面角， 即∠BOC=90， ∴CO⊥BO； 又AO∩BO=O， ∴CO⊥平面AOB； 又∵CO?面COD， ∴平面COD⊥平面AOB； （2）作DE⊥OB于點(diǎn)E，連接CE， ∴DE∥AO， ∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角； 在 Rt△COE中，CO=

16、BO=AB=2，OE=BO=1， ∴CE==； 又DE=AO=， ∴tan∠CDE==， 即異面直線AO與CD所成角的正切值是． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了直角三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用問題，是綜合性題目． 　 14．已知圓心為C的圓：x2+y2+2x﹣4y+m=0與直線2x+y﹣3=0相交于A、B兩點(diǎn) （1）若△ABC為正三角形，求m的值； （2）是否存在常數(shù)m，使以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 直線和圓的方程的應(yīng)用． 專題： 直線與圓． 分析： （1）求得圓的圓心和半徑，由正三角形

17、的性質(zhì)，可得C到AB的距離d=r，計(jì)算可得m的值； （2）假設(shè)存在常數(shù)m，使以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．即有OA⊥OB，取AB的中點(diǎn)M，連接OM，CM，即有OM=AB=，由直線垂直的條件，由直線的交點(diǎn)可得M的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，解方程可得m，進(jìn)而判斷存在． 解答： 解：（1）圓：x2+y2+2x﹣4y+m=0的圓心C（﹣1，2）， 半徑為r=， 由△ABC為正三角形，可得C到AB的距離d=r， 即為=?， 解得m=； （2）假設(shè)存在常數(shù)m，使以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)． 即有OA⊥OB，取AB的中點(diǎn)M，連接OM，CM， 即有OM=AB=， 由CM⊥AB，可得CM的

18、方程為y﹣2=（x+1）， 聯(lián)立直線2x+y﹣3=0，可得M（，）， 即有=， 解得m=﹣． 則存在常數(shù)m=﹣，使以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)公式和正三角形的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，屬于中檔題． 　 15．已知f（x）=ax2+bx+2，x∈R （1）若b=1，且3?{y|y=f（x），x∈R}，求a的取值范圍 （2）若a=1，且方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有兩個(gè)解x1，x2，求b的取值范圍，并證明2． 考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用． 分析： （1）由3?{

19、y|y=f（x），x∈R}，討論a的取值，利用二次函數(shù)的最值，求出a的取值范圍； （2）把方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有兩個(gè)解化為函數(shù)g（x）=x2+bx+|x2﹣1|在（0，2）上 有2個(gè)零點(diǎn)的問題，去掉絕對(duì)值，討論函數(shù)的單調(diào)函數(shù)，求出g（x）在（0，2）上存在兩個(gè)零點(diǎn)時(shí) b的取值范圍，得出所求證明． 解答： 解：（1）∵b=1時(shí)，f（x）=ax2+x+2， 又3?{y|y=f（x），x∈R}， ∴a＞0時(shí)，＞3， 解得a＜﹣，不合題意，舍去； a=0時(shí)，也不合題意，應(yīng)舍去； a＜0時(shí)，＜3， 解得a＜﹣， ∴a的取值范圍是{a|a＜﹣}； （2）a=

20、1時(shí)，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有兩個(gè)解x1，x2， 即x2+bx+|x2﹣1|=0在（0，2）上有兩個(gè)解x1，x2； 由題意知b≠0，不妨設(shè)0＜x1＜x2＜2， 令g（x）=x2+bx+|x2﹣1|=； 因?yàn)間（x）在（0，1]上是單調(diào)函數(shù)， 所以g（x）=0在（0，1]上至多有一個(gè)解； 若x1，x2∈（1，2），即x1、x2就是2x2+bx﹣1=0的解， 則x1x2=﹣，這與題設(shè)矛盾； 因此，x1∈（0，1]，x2∈（1，2）， 由g（x1）=0得b=﹣，所以b≤﹣1； 由g（x2）=0得b=﹣2x2，所以﹣＜b＜﹣1； 故當(dāng)﹣＜b＜﹣1時(shí)，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有兩個(gè)解； 由b=﹣與b=﹣2x2，消去b，得+=2x2； 又x2∈（1，2），得2＜+＜4． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，構(gòu)造函數(shù)，將絕對(duì)值符號(hào)去掉進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．