【小學(xué) 六年級(jí)數(shù)學(xué)】小學(xué)數(shù)學(xué)中遇到的典型的工程和行程應(yīng)用題 共（14頁）

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1、小學(xué)中經(jīng)常遇到的行程問題 行程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的，解決起來往往有些困難，因?yàn)檫€沒有學(xué)習(xí)方程，所以有些題目很不好理解，利用單位1解決問題，這里舉一些例子，由淺入深，結(jié)合方程的解法，同學(xué)們自己比較一下。 我們先來了解一下，關(guān)于行程問題的公式： 行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、行程三者之間的關(guān)系。 　　基本公式：路程＝速度時(shí)間； 路程時(shí)間＝速度； 路程速度＝時(shí)間 　　關(guān)鍵問題：確定行程過程中的位置 　　相遇問題：速度和相遇時(shí)間＝相遇路程 相遇路程速度和=相遇時(shí)間 相遇路程相遇時(shí)間= 速度和 　　相遇問題：（直線）：甲的路程+乙的路程=總路程

2、 　　相遇問題：（環(huán)形）：甲的路程 +乙的路程=環(huán)形周長 　　追及問題：追及時(shí)間＝路程差速度差 速度差＝路程差追及時(shí)間　 追及時(shí)間速度差＝路程差　 　　追及問題：（直線）：距離差=追者路程-被追者路程=速度差X追擊時(shí)間 　　追及問題：（環(huán)形）：快的路程-慢的路程=曲線的周長 　　流水問題：順?biāo)谐蹋剑ù伲伲╉標(biāo)畷r(shí)間 逆水行程＝（船速－水速）逆水時(shí)間 　　順?biāo)俣?船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 　　靜水速度=（順?biāo)俣龋嫠俣龋? 水速：（順?biāo)俣龋嫠俣龋? 　　流水速度＋流水速度2 水速：流水速度－流水速度2 　　關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照

3、以上公式。 　　列車過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。 我們由淺入深看一些題目： 一、相遇問題 1、一列客車從甲地開往乙地，同時(shí)一列貨車從甲地開往乙地，當(dāng)貨車行了180千米時(shí)，客車行了全程的七分之四；當(dāng)客車到達(dá)乙地時(shí)，貨車行了全程的八分之七。甲乙兩地相距多少千米？ 解： 把全部路程看作單位1 那么客車到達(dá)終點(diǎn)行了全程，也就是單位1 當(dāng)客車到達(dá)乙地時(shí)，貨車行了全程的八分之七 相同的時(shí)間，路程比就是速度比 由此我們可以知道客車貨車的速度比=1：7/8=8：7 所以客車行的路程是貨車的8/7倍 所以當(dāng)客車行了全程的4/7時(shí) 貨車行了全程的（4/7）/（8/

4、7）=1/2 那么甲乙兩地相距180/（1/2）=360千米 1/2就是180千米的對(duì)應(yīng)分率 分析：此題中運(yùn)用了單位1，用到了比例問題，我們要熟練掌握比例，對(duì)于路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系，一定要清楚，在速度或時(shí)間一定時(shí)，路程都和另外一個(gè)量成正比例，當(dāng)路程一定時(shí)，速度和時(shí)間成反比例，這個(gè)是基本常識(shí)。 2、甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，2小時(shí)相遇。相遇后兩車?yán)^續(xù)前行，當(dāng)甲車到達(dá)B地時(shí)，乙車離A地還有60千米，一直兩車速度比是3:2。求甲乙兩車的速度。 解：將全部路程看作單位1 速度比=路程比=3：2，也就是說乙行的路程是甲的2/3 那么甲到達(dá)B地時(shí)，行了全部路程，乙行了12/3

5、=2/3 此時(shí)距離終點(diǎn)A還有1-2/3=1/3 那么全程=60/（1/3）=180千米 速度和=180/2=90千米/小時(shí) 甲的速度=903/（3+2）=54千米/小時(shí) 乙的速度=90-54=36千米/小時(shí) 3、甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩成相對(duì)開出,甲車從A城開往B城,每小時(shí)行全程的10%,乙車從B城開往A城，每小時(shí)行8千米，當(dāng)甲車距A城260千米時(shí)，乙車距B地320千米。A、B兩成之間的路程有多少千米？ 解：這個(gè)問題可以看作相遇問題，因?yàn)槭窍嘞蚨? 乙車還要行駛320/8=4小時(shí) 4個(gè)小時(shí)甲車行駛?cè)痰?0%4=40%=2/5 那么甲車還要行駛?cè)痰?/5，也就是剩下的

6、260千米 AB距離=260/（2/5）=650千米 4、一客車和一貨車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出,經(jīng)過3小時(shí)相遇,相遇后仍以原速繼續(xù)行駛，客車行駛2小時(shí)到達(dá)乙地，此時(shí)貨車距離甲地150千米，求甲乙兩地距離？ 解：解此題的關(guān)鍵是把甲乙看成一個(gè)整體，問題就迎刃而解了。 甲乙每小時(shí)行駛?cè)痰?/3 那么2小時(shí)行駛2x1/3=2/3 甲乙相距=150/（1-2/3）=450千米 5、甲乙兩車同時(shí)分別從兩地相對(duì)開出，5小時(shí)正好行了全程的2/3，甲乙兩車的速度比是5：3。余下的路程由乙車單獨(dú)走完，還要多少小時(shí)？ 解：將全部路程看作單位1 那么每小時(shí)甲乙行駛?cè)痰模?/3）/5=2/15

7、乙車的速度=（2/15）（3/8）=1/20 乙5小時(shí)行駛1/205=1/4 還剩下1-1/4=3/4沒有行駛 那么乙還要（3/4）/（1/20）=15個(gè)小時(shí)到達(dá)終點(diǎn) 分析：此題和上一例題有異曲同工之處，都是把甲乙每小時(shí)行的路程看作一個(gè)整體，然后根據(jù)比例分別求出甲乙的速度（用份數(shù)表示），從而解決問題，關(guān)鍵之處就是把甲乙看作一個(gè)整體，這和工作問題，甲乙的工作效率和是一個(gè)道理。 6、甲，乙兩輛汽車同時(shí)從東站開往西站，甲車每小時(shí)比乙車多行12千米。甲車行駛4.5小時(shí)到達(dá)西站后沒有停留，立即從原路返回，在距西站31.5千米和乙車相遇。甲車每小時(shí)行多少千米？ 解：設(shè)甲車速度為a小時(shí)/千米。則

8、乙的速度為a-12千米/小時(shí) 甲車比乙車多行31.5x2=63千米 用的時(shí)間=63/12=5.25小時(shí) 所以 （a-12）5.25+31.5=4.5a 0.75a=31.5 a=42千米/小時(shí) 或者 a（5.25-4.5）=31.5 a=42千米/小時(shí) 算術(shù)法： 相遇時(shí)甲比乙多行了31.52=63（千米） 相遇時(shí)走了 63/12=5.25小時(shí) 走31.5千米的路程用了 5.25-4.5=0.75小時(shí) 甲每小時(shí)行31.5/0.75=42千米 7、從甲地去乙地，如車速比原來提高1/9，就可比預(yù)定的時(shí)間提前20分鐘趕到，如先按原速行駛72千米，再將車速比原來提高1/3，

9、就比預(yù)定時(shí)間提前30分鐘趕到。甲，乙兩地相距多少千米？ 解：20分鐘=1/3小時(shí)。30分鐘=1/2小時(shí) 因?yàn)槁烦桃欢?，時(shí)間和速度成反比 那么原來的車速和提高1/9后的車速之比為1：（1+1/9）=9：10 那么時(shí)間比為10：9 將原來的時(shí)間看作單位1，那么提速1/9后的時(shí)間為1x9/10=9/10 所以原來需要的時(shí)間為（1/3）/（1-9/10）=10/3小時(shí) 第二次行駛完72千米后，原來的速度和提高后的速度比為1：（1+1/3）=3：4 那么時(shí)間比為4：3 將行駛完72千米后的時(shí)間看作單位1，那么這一段用的時(shí)間為（1/2）/（1-3/4）=2小時(shí) 那么原來行駛72千米用的

10、時(shí)間=10/3-2=4/3小時(shí) 原來的速度=72/（4/3）=54千米/小時(shí) 甲乙兩地相距=5410/3=180千米 8、清晨4時(shí)，甲車從A地，乙車從B地同時(shí)相對(duì)開出，原計(jì)劃在上午10時(shí)相遇，但在6時(shí)30分，乙車因故停在中途C地，甲車?yán)^續(xù)前行350千米在C地與乙車相遇，相遇后，乙車立即以原來每小時(shí)60千米的速度向A地開去。問：乙車幾點(diǎn)才能到達(dá)A地？ 解：原來的相遇時(shí)間=10-4=6小時(shí) 乙的速度=60千米/小時(shí) BC距離=602.5=150千米（從凌晨4時(shí)到6時(shí)30分是2.5小時(shí)） 原來相遇時(shí)乙應(yīng)該走的距離=606=360千米 甲比原來奪走360-150-210千米 那么甲行

11、駛6-2.5=3.5小時(shí)應(yīng)該行駛的距離=350-210=140千米 所以甲的速度=140/3.5=40千米/小時(shí) 那么AB距離=（40+60）6=600千米 AC距離=600-150=450千米 實(shí)際相遇的時(shí)間=450/40=11.25小時(shí)=11小時(shí)15分鐘 那么相遇時(shí)的時(shí)間是15小時(shí)15分 乙到達(dá)A地需要的時(shí)間=450/60=7.5小時(shí)=7小時(shí)30分 所以乙到達(dá)A地時(shí)間為15小時(shí)15分+7小時(shí)30分=22時(shí)45分 9、AB兩地相距60千米，甲車比乙車先行1小時(shí)從A地出發(fā)開往B地，結(jié)果乙車還比甲車早30分到達(dá)B地，甲乙兩車的速度比是2:5，求乙車的速度。 如果甲不比乙車先行

12、1小時(shí)，那么乙車要比甲車早1+30/60=1.5小時(shí)到達(dá)B地 甲乙的速度比=2：5 那么他們用的時(shí)間比為5：2 將甲用的時(shí)間看作單位1 那么乙用的時(shí)間是甲的2/5 甲比乙多用1-2/5=3/5 所以甲行完全程用的時(shí)間為1.5/（3/5）=2.5小時(shí) 乙行完全程用的時(shí)間=2.5-1.5=1小時(shí) 那么乙車的速度=60/1=60千米/小時(shí) 10、小剛很小明同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小剛每分鐘走52米，小明每分鐘走70米，兩人在途中A處相遇。若小剛提前4分鐘出發(fā)，且速度不變，小明每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小剛和小明兩人的家相距多少米？ 解： 兩次相遇小明走的路程一樣，那

13、么兩次相遇小明的速度比=70：90=7：9 時(shí)間比就是速度比的反比，所以兩次相遇的時(shí)間比為9：7 將第一次相遇的時(shí)間看做單位1 那么第二次相遇小明用的時(shí)間為7/9 第一次比第二次多用的時(shí)間為1-7/9=2/9 那么第一次用的時(shí)間為4/（2/9）=18分鐘 所以小剛和小明的家相距（52+70）18=2196米 方程：設(shè)第一次相遇時(shí)間為t分 90[（52t-52x4）/52]=70a t=18分鐘（過程從略） 所以小剛和小明的家相距（52+70）18=2196米 11、客貨兩車分別從甲乙兩地同時(shí)相對(duì)開出，5小時(shí)后相遇，相遇后兩車仍按原速度前進(jìn)，當(dāng)他們相距196千米時(shí)客車行

14、了全程的三分之二，貨車行了全程的80%，問貨車行完全程用多少小時(shí) ？ 解：將全部路程看作單位1 那么相距196千米時(shí)， 客車行駛了全程的12/3=2/3，距離目的地還有1-2/3=1/3 貨車行駛了全程的180%=4/5 那么全程=196/（4/5-1/3）=196/（7/15）=420千米 客車和貨車的速度比=2/3：4/5=5：6 客車和貨車的速度和=420/5=84千米/小時(shí) 貨車的速度=846/11=504/11千米/小時(shí) 那么貨車行完全程需要420/（504/11）=55/6小時(shí)=9小時(shí)10分鐘 客貨兩車分別從甲乙兩地相對(duì)開出，相遇后兩車?yán)^續(xù)到達(dá)對(duì)方終點(diǎn)后，兩車立

15、即返回，又在途中相遇，兩次相遇的地點(diǎn)相距3000米。已知貨車的速度是客車速度三分之二，求甲乙兩地距離是多少米？（要算式和解題過程） 解：將全部的路程看作單位1 貨車和客車的速度比=2：3 第一次相遇貨車行了全程的2/5，客車行了全程的3/5 因?yàn)槭?次相遇，所以兩車走的路程一共是3倍甲乙兩地距離，也就是1x3=3 貨車行了整個(gè)過程的3x2/5=6/5 因此第二次相遇是在距離甲地6/5-1=1/5處 第一次相遇是在距離甲地3/5處 那么兩處相距3/5-1/5=2/5 甲乙兩地距離3000/（2/5）=7500米 12、甲、乙兩輛車同時(shí)分別從兩個(gè)城市相對(duì)開出，經(jīng)過3小時(shí)，兩車

16、距離中點(diǎn)18千米處相遇，這時(shí)甲車與乙車所行的路程之比是2：3.求甲乙兩車的速度各是多少？ 設(shè)甲的速度為2a千米/小時(shí)，乙的速度為3a千米/小時(shí) 總路程=（2a+3a）3=15a千米 甲行的路程=15a2/5=6a 15a/2-6a=18 15a-12a=36 3a=36 a=12 甲的速度=12x2=24千米/小時(shí) 乙的速度=12x3=36千米/小時(shí) 或者 將全部路程看作單位1 那么相遇時(shí)甲行了2/5 乙行了1-2/5=3/5 全程=（1/2-2/5）=1/10 全程=18/（1/10）=180千米 甲乙的速度和=180/3=60千米/小時(shí) 甲的速度=60x2

17、/5=24千米/小時(shí) 乙的速度=60-24=36千米/小時(shí) 13、甲乙兩車同時(shí)從AB兩地出發(fā)，相向而行，甲與乙的速度比是4：5。兩車第一次相遇后，甲的速度提高了4分之一，乙的速度提高了3分之一，兩車分別到達(dá)BA兩地后立即返回。這樣，第二次相遇點(diǎn)距第一次相遇點(diǎn)48KM，AB兩地相距多少千米？ 解： 將全部的路程看作單位1 因?yàn)闀r(shí)間一樣，路程比就是速度比 所以相遇時(shí)，甲行了全程的1x4/（5+4）=4/9 乙行了1-4/9=5/9 此時(shí)甲乙提速，速度比由4：5變?yōu)?（1+1/4）：5（1+1/3）=5：10/3=3:4 甲乙再次相遇路程和是兩倍的AB距離，也就是2 此時(shí)第二次相

18、遇，乙行了全程的2x4/（3+4）=8/7 第二次相遇點(diǎn)的距離占全部路程的8/7-4/9=44/63 距離第一次相遇點(diǎn)44/63-4/9=16/63 AB距離=48/（16/63）=189千米 14、甲從A地往B地，乙丙從B地行往A地，三人同時(shí)出發(fā)。甲首先遇乙，15分鐘后又遇丙。甲每份走70m，乙走60m丙走50m。問AB兩地距離、 解：乙丙的速度差=60-50=10米/分 那么甲乙相遇時(shí)，距離丙的距離=（70+50）15=1800米 那么甲乙相遇時(shí)用的時(shí)間=1800/10=180分鐘 那么AB距離=（70+60）180=23400米 15、甲乙兩人同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)

19、山頂后就立即下山，甲乙兩人下山的速度都是各自上山速度的二倍，甲到山頂時(shí)乙距離山頂還有500米，甲回到山腳時(shí)，乙剛好下到半山腰，求從山腳到山頂?shù)穆烦獭? 解：下山速度是上山的2倍，那就假設(shè)一下， 把下山路也看做上山路，長度為上山路的1/2 速度都是上山的速度。 那么，原來上山的路程，占總路程的2/3， 下山路程占總路程的1/3 甲返回山腳，乙一共行了全程的： 2/3+1/31/2=5/6 乙的速度是甲的5/6 甲到達(dá)山頂，即行了全程的2/3， 乙應(yīng)該行了全程的：2/35/6=5/9 實(shí)際上乙行了全程的2/3減去500米 所以全程為：500（2/3-5/9）=4500

20、米 從山腳到山頂?shù)木嚯x為：45002/3=3000米 16、汽車從A地到B地，如果速度比預(yù)定的每小時(shí)慢5千米，到達(dá)時(shí)間將比預(yù)定的多1/8，如果速度比預(yù)定的增加1/3，到達(dá)時(shí)間將比預(yù)定的早1小時(shí)。求A,B兩地間的路程？ 解：將原來的時(shí)間看到單位1 那么每小時(shí)慢5千米，用的時(shí)間是1（1+1/8）=9/8 那么實(shí)際用的時(shí)間和原來的時(shí)間之比為9/8：1=9：8 那么原來速度和實(shí)際速度之比為8：9 那么實(shí)際速度是原來速度的8/9 那么原來的速度=5/（1-8/9）=45千米/小時(shí) 第二次速度增加1/3，實(shí)際速度與原來的速度之比為為（1+1/3）：1=4：3 實(shí)際用的時(shí)間和原來的時(shí)間之

21、比為3：4 那么實(shí)際用的時(shí)間是原來的3/4 原來所用的時(shí)間為1/（1-3/4）=4小時(shí) AB距離=454=180千米 簡析：此題反復(fù)利用路程一定，時(shí)間和速度成反比，這一點(diǎn)在學(xué)習(xí)中要注意。 17、兩輛汽車同時(shí)從東、西兩站相對(duì)開出，第一次在離東站45千米的地方相遇，之后兩車?yán)^續(xù)以原來的速度前進(jìn)，各自到站后都立即返回，又在距離中點(diǎn)東側(cè)9千米處相遇，兩站相距多少千米？ 解：我們拿從東站出來的車考慮 在整個(gè)相遇過程中，兩車一共走了3個(gè)全程 第一次相遇時(shí)，從東站出來的車走了45千米 那么整個(gè)過程走了453=135千米 此時(shí)這輛車走了1.5倍的全程還多9千米 所以全程=（135-9）/

22、（1+1/2）=84千米 將全部路程看作單位1，第二次相遇時(shí)這輛車走了1又1/2還多9千米 二、追及問題 1、已知甲乙兩船的船速分別是24千米/時(shí)和20千米/時(shí),兩船先后從漢口港開出,乙比甲早出1小時(shí)，兩船同時(shí)到達(dá)目的地A，問兩地距離？ 解：距離差=201=20千米 速度差24-20=4千米/小時(shí) 甲追上乙需要204=5小時(shí) 兩地距離=245=120千米 2、某校組織學(xué)生排隊(duì)去春游，步行速度為每秒1米，隊(duì)尾的王老師以每秒2.5米的速度趕到排頭,然后立即返回隊(duì)尾,共用10秒,求隊(duì)伍的長度是多少米?、 解：速度差=2.5-1=1.5米/秒 速度和=1+2.5=3.5米/秒 設(shè)

23、隊(duì)伍長度為a米 a/1.5+a/3.5=10 5a=3.5x1.5x10 a=10.5米 或者這樣做 第一次追及問題，第二次相遇問題 速度比=1.5：3.5=3：7 我們知道，路程一樣，速度比=時(shí)間的反比 因此整個(gè)過程，追及用的時(shí)間=10x7/10=7秒 那么隊(duì)伍長度=1.5x7=10.5米 3、在一個(gè)圓形跑道上,甲從A點(diǎn),乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行,6分鐘后兩人相遇,再過4分鐘甲到B點(diǎn),又過8分鐘兩人再次相遇,甲、乙環(huán)形一周各需多少分鐘？ 解：解： 將全部路程看作單位1 第一次相遇后，再一次相遇，行駛的路程是1 那么相遇時(shí)間=4+8=12分鐘 甲乙的速度和=

24、1/12 也就是每分鐘甲乙行駛?cè)痰?/12 6分鐘行駛?cè)痰?/126=1/2 也就是說AB的距離是1/2 那么6+4=10分鐘甲到達(dá)B，所以甲的速度（1/2）/10=1/20 甲環(huán)形一周需要1/（1/20）=20分鐘 乙的速度=1/12-1/20=1/30 乙行駛?cè)绦枰?/（1/30）=30分鐘 4、甲乙兩人環(huán)湖同向競走,環(huán)湖一周是400米,乙每分鐘走80米,甲的速度是乙的一又四分之一倍，問甲什么時(shí)候追上乙？ 解：設(shè)甲用a分鐘追上乙 （805/4-80）a=400 （100-80）a=400 a=400/20 a=20分 算術(shù)法 速度差=80（5/4-1）=

25、20米/分 追及時(shí)間=400/20=20分 甲用20分鐘追上乙 5、獵犬發(fā)現(xiàn)距它8米遠(yuǎn)的地方優(yōu)質(zhì)本報(bào)的野兔子，立刻追。獵犬包6步的路程野兔要跑11步，但是兔子跑的4步的時(shí)間獵犬只能奔跑3步。獵犬至少要跑多少米才能追上野兔？ 解：將獵犬跑一步的距離看作單位1（或者設(shè)一步的距離為a米） 那么野兔跑一步的距離為6/11 根據(jù)題意 兔子跑4步的距離=46/11=24/11 獵犬跑3步的距離=13=3 那么獵犬和野兔的速度差=3-24/11=9/11 所以獵犬追上野兔的時(shí)間=8/（9/11）1=88/9米（必須乘以單位1，否則算式?jīng)]有意義） 6、一只野兔跑出85步獵犬才開始追它，兔

26、子跑8步的路程獵犬只需跑3步，獵犬跑4步的時(shí)間野兔能跑9步。問獵犬至少要跑多少步才能追上兔子？ 解：將獵犬一步的距離看作單位1（或者設(shè)獵犬一步距離為a） 那么兔子一步的距離=3/8（3/8a） 二者的速度差=14-3/89=32/8-27/8=5/8 那么獵犬需要跑85/（5/8）1=136步 三、特殊的追及問題 我們在日常做題的過程中，經(jīng)常會(huì)遇到求幾點(diǎn)幾分時(shí)針和分針?biāo)Q的角度，還有時(shí)針和分針?biāo)啥嗌俣冉菚r(shí)，是幾點(diǎn)幾分。解此類題，似乎與追及問題格格不入，但是我們恰恰可以看作是追及問題的一個(gè)變形。首先我們對(duì)鐘面熟悉以后，知道鐘面被分作60個(gè)小格，每個(gè)小格所對(duì)的圓心角的度數(shù)=360/6

27、0=6度，分針每分鐘走1格，時(shí)針每分鐘走5/60=1/12格，由此我們在解題之前就知道了這些隱含條件，就可以把鐘面看作是環(huán)形跑道，時(shí)針?biāo)俣嚷?，分針?biāo)俣瓤?，在解題之前，大致畫一個(gè)圖形，就知道大概角度，然后判斷路程差為多少，因?yàn)樗俣炔钗覀円呀?jīng)知道了，是1-1/12=11/12格，將來我們學(xué)會(huì)了相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就可以把時(shí)針看作參照物，分針的速度變?yōu)?1/12格/分，問題變得更加簡單?？聪旅娴睦}： 1、7點(diǎn)與8點(diǎn)之間,時(shí)針與分針成30度角的時(shí)刻? 鐘面一共60格，一定要對(duì)鐘面熟悉 每一格對(duì)應(yīng)的度數(shù)360/60=5度 分針每分鐘走1格，時(shí)針每分鐘走5/60=1/12格 此時(shí)我們就把分針和時(shí)針的運(yùn)動(dòng)

28、看作追及問題 分針的速度快，是1格/分，時(shí)針的速度慢是1/12格/分 速度差=1-1/12=11/12格/分 此時(shí)如果看作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，時(shí)針靜止，那么分針的速度就是11/12格/分 此題中，7點(diǎn)時(shí)，分針和時(shí)針相差35格，題目要求成30度角及相差30/6=5格時(shí)鐘表的時(shí)間，那就是分針以11/12格/分的速度追趕時(shí)針，相差5格，也就是路程上追上了30格，求的就是分針以11/12格/分走30格的時(shí)間，第二次成30度就是分針超過時(shí)針5格即分針以11/12格/分的速度走的35+5=40格的時(shí)間 算術(shù)式如下： 第一次成30度時(shí)，時(shí)針和分針的路程差=6030/360=5格 7點(diǎn)時(shí)時(shí)針和分針的距離是

29、35格 第一次（35-5）/（1-1/12）=30x12/11=360/11分≈32分44秒 第二次（35+5）/（1-1/12）=40x12/11=480/11分≈43分38秒 方程：舉一例 設(shè)a分鐘分針和時(shí)針第一次成30度 分針a分走a格， 時(shí)針a分走a/12格 開始時(shí)的路程差=35格 那么 a/12+35=a+5 a=360/11分≈32分44秒 第二次成30度的時(shí)候 分針走a格 時(shí)針走a/12格，加上開始的路程差=35格 那么此時(shí)時(shí)針的位置是a/12+35格 分針此時(shí)超過時(shí)針5格 那么 a-5=a/12+35 a=480/11分≈43分38秒 也

30、就是在7點(diǎn)32分44秒和7點(diǎn)43分38秒的時(shí)候分針和時(shí)針成30度 2、張華出去辦事兩個(gè)多小時(shí)，出門時(shí)他看了看鐘，到家時(shí)又看了看鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針互相換了位置，他離家多長時(shí)間？ 此問題關(guān)鍵在于求具體多少分鐘，因?yàn)榭隙ㄊ浅^2個(gè)小時(shí) 我們把表盤看作一個(gè)環(huán)形路，那么每一格就是距離單位，一圈是60格 分針每分鐘走1格，時(shí)針每分鐘走5/60=1/12格 鐘表按照順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，此題出門時(shí)時(shí)針在分針之后 時(shí)針和分針的路程差不變 整個(gè)過程分針走的路程是2x60+60-路程差，時(shí)針走的路程是路程差 所以時(shí)針和分針走過的路程和=3x60=180格 二者的速度和=1+1/12=13/12格/分 那

31、么經(jīng)過的時(shí)間=180/（13/12）=2160/13分=36/13小時(shí)≈2小時(shí)46分 離家時(shí)間為2小時(shí)46分 小學(xué)比較典型的工程問題 工程問題是我們在小學(xué)學(xué)習(xí)過程中必不可少的，這里通過實(shí)踐總結(jié)出了一些工程實(shí)際問題和變形的工程問題，解此類問題的關(guān)鍵在于設(shè)好單位1，其次要把握住最基本的運(yùn)算公式工程總量=工作效率工作時(shí)間，萬變不離其宗。 1、王師傅加工一批零件，計(jì)劃在六月份每天都能超額完成當(dāng)天任務(wù)的15%，后來因機(jī)器維修，最后的5天每天只完成當(dāng)天任務(wù)的八成，就這樣，六月份共超額加工660個(gè)零件，王師傅原來的任務(wù)是每天加工多少個(gè)零件？ 解：首先我們知道6月有30天 將額定每天完

32、成的任務(wù)看作單位1 每天超額15%，一共工作30-5=25（天） 每天超額完成15%，25天共超額 2515%＝375% 每天完成八成，5天少完成 5(1-80%)=100% 這個(gè)月共超額完成 375%-100%=275% 660275%=240(個(gè)） 2、一堆飼料,3牛和5羊可以吃15天,5牛和6羊可以吃10天,那8牛和11羊可以吃幾天 解：將這堆飼料的總量看作單位1 那么 3牛和5羊可以吃15天，吃的是單位1的量，相當(dāng)于每天吃1/15 5牛和6羊可以吃10天，吃的是單位1的量，相當(dāng)于每天吃1/10 我們此時(shí)把3牛5羊看作一個(gè)整體，5牛6羊看作1個(gè)整體，每天吃飼料的

33、1/15+1/10=1/6 那么這堆飼料可以供8牛11羊吃1/（1/6）=6天 分析：此題看作是和工程問題無關(guān)，可是當(dāng)我們把3牛和5羊看作1個(gè)整體，5牛和6羊看作1個(gè)整體以后，就相當(dāng)于把題目變?yōu)榧滓彝瓿?項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要15天，乙單獨(dú)做需要10天，甲乙合作需要多少天？是不是這個(gè)意思。如果我們把此題認(rèn)為8牛和11羊吃25天吃的是2倍的飼料，然后除以2，得出12.5天，就不對(duì)了，這一點(diǎn)要在學(xué)習(xí)中注意。 3、甲、乙合作完成一項(xiàng)工作，由于配合得好，甲的工作效率比獨(dú)做時(shí)提高了十分之一，乙的工作效率比獨(dú)做時(shí)提高了五分之一，甲、乙兩人合作4小時(shí)，完成全部工作的五分之二。第二天乙又獨(dú)做了4小時(shí)，還剩

34、下這件工作的三十分之十三沒完成。這項(xiàng)工作甲獨(dú)做需要幾個(gè)小時(shí)才能完成？ 解：乙獨(dú)做4小時(shí)完成全部工程的1-2/5-13/30=3/5-13/30=1/6 乙的工作效率=（1/6）/4==1/24 乙獨(dú)做需要1/（1/24）=24小時(shí) 乙工作效率提高1/5后為（1/24）x（1+1/5）=1/20 甲乙提高后的工作效率和=（2/5）/4=1/10 那么甲提高后的工作效率=1/10-1/20=1/20 甲原來的工作效率=（1/20）/（1+1/10）=1/22 甲單獨(dú)做需要1/（1/22）=22小時(shí) 4、一項(xiàng)工程A、B兩人合作6天可以完成。如果A先做3天，B再接著做7天，可以完成，

35、B單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？ AB合作，每天可以完成1/6 A先做3天，B再做7天， 可以看做AB合作3天，B再單獨(dú)做7-3=4天 AB合作3天，可以完成：1/63=1/2 B單獨(dú)做4天，完成了1-1/2=1/2 B單獨(dú)做，每天完成：1/24=1/8 B單獨(dú)完成，需要：11/8=8天 5、某工程，由甲乙兩隊(duì)承包，2.4天可以完成，需支付1800元，由乙丙兩隊(duì)承包，3又3/4天可以完成，需支付1500元，由甲丙兩隊(duì)承包，2又6/7天可以完成，需支付1600元，在保證一星期內(nèi)完成的前提下，選擇哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包費(fèi)用最少？ 甲乙工效和：1/(2又5分之2)=5/12 乙丙工效和：

36、1/(3又4分之3）=4/15 甲丙工效和：1/(2又7分之6）=7/20 甲乙丙工效和：(5/12+4/15+7/20)/2=31/60 甲工效：31/60-4/15=1/4 乙工效：31/60-7/20=1/6 丙工效：31/60-5/12=1/10 能在一星期內(nèi)完成的為甲和乙 甲乙每天工程款：1800/（2又5分之2）=750元 乙丙每天工程款：1500/（3又4分之3）=400元 甲丙每天工程款：1600/（2又7分之6）=560元 甲乙丙每天工程款：（750+400+560）/2=855元 甲每天工程款：855-400=455元 乙每天工程款：855-560=

37、295元 甲總費(fèi)用：4554=1820元 乙總費(fèi)用：2956=1770元 所以應(yīng)將工程承包給乙。 6、甲、乙二人同時(shí)開始加工一批零件，加單獨(dú)做要20小時(shí)，乙單獨(dú)做30小時(shí)?，F(xiàn)在兩人合作，工作了15小時(shí)后完成任務(wù)。已知甲休息了4小時(shí)，則乙休息了幾小時(shí)？ 總的工作量為單位1 甲的工作效率=1/20 乙的工作效率=1/30 甲乙工作效率和=1/20+1/30=1/12 甲休息4小時(shí)，那么甲工作15-4=11小時(shí)，甲完成1/2011=11/20 乙完成1-11/20=9/20 完成這些零件乙需要（9/20）/（1/30）=27/2小時(shí) 那么乙休息15-27/2=3/2小時(shí)=

38、1.5小時(shí) 7、一間教室如果讓甲打掃需要10分鐘，乙打掃需要12分鐘。丙打掃需要15分鐘。有同樣的兩間教室A和B。甲在A教室，乙在B教室同時(shí)開始打掃，丙先幫助甲打掃，中途又去幫助乙打掃教室，最后兩個(gè)教室同時(shí)打掃完，丙幫助甲打掃了多長時(shí)間？（中途丙去乙教室的時(shí)間不計(jì)） 將工作量看作單位1 甲的工作效率=1/10 乙的工作效率=1/12 丙的工作效率=1/15 甲乙丙合干完成1間教室需要1/（1/10+1/12+1/15）=4分鐘 設(shè)丙幫甲a分鐘 a分鐘甲丙完成（1/10+1/15）a=a/6 那么剩下的1-a/6需要甲獨(dú)自完成 乙a分鐘完成a/12 那么剩下的1-a/12需

39、要乙丙完成 需要的時(shí)間=（1-a/12）/（1/12+1/15）=（1-a/12）/（3/20） 根據(jù)題意 （a/6）/（1/10）=（1-a/12）/（3/20） 10a/6=20/3-5/9a 30a=120-10a 40a=120 a=3分鐘 丙幫乙3分鐘 算術(shù)法解 兩間教室都是一樣的工作量，那么實(shí)際就是甲乙丙三人共同完成，上面已經(jīng)解出完成1間需要4分鐘，那么完成2間需要42=8分鐘，甲8分鐘完成1/108=4/5，那么丙需要完成1-4/5=1/5 所以丙幫甲（1/5）/（1/15）=3分鐘 那么丙幫乙8-3=5分鐘 8、裝配自行車3個(gè)工人2小時(shí)裝配車架10

40、個(gè)，4個(gè)工人3小時(shí)裝配車輪21個(gè)?，F(xiàn)有工人244人，為使車架和車輪裝配成整車出廠怎安排244名工人最合適？ 解： 裝配車架的工作效率=10/（32）=5/3個(gè)/人小時(shí) 裝配車輪的工作效率=21/（43）=7/4個(gè)/人小時(shí) 設(shè)a個(gè)工人裝配車架，則有244-a人裝配車輪 a5/3：（244-a）7/4=1：2 427-7/4a=10a/3 40a/12+21/12a=427 61a/12=427 a=84人 裝配車架84人 裝配車輪244-84=160人 簡析：我們要知道在實(shí)際生活中，一輛自行車需要一個(gè)車架和二個(gè)車輪，那么車架和車輪比為1：2，可以稱為隱含條件，大家要注意。

41、 9、光明村計(jì)劃修一條公路，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包，甲工程隊(duì)先修完公路的1/2后，乙工程隊(duì)再接著修完余下的公路，共用40天完成。已知乙工程隊(duì)每天比甲工程隊(duì)多修8千米，后20天比前20天多修了120千米。求乙工程隊(duì)共修路多少天？ 解：因?yàn)橐业墓ぷ餍矢哂诩祝郧?0天里乙沒有修 實(shí)際乙工作了120/8=15天 此題問題不難，但是關(guān)鍵在于處理前20天內(nèi)是否有乙工作，如果乙在前20天工作，那么工期肯定少于40天，所以借助畫圖會(huì)更好的理解。 10、張師傅計(jì)劃加工一批零件，如果每小時(shí)比計(jì)劃少加工2個(gè)，那么所用的時(shí)間是原來的3分之4；如果每小時(shí)比計(jì)劃多加工10個(gè)，那么所用的時(shí)間比原來少1小

42、時(shí)，這批零件共有多少個(gè)？ 解：張師傅比計(jì)劃少加工2個(gè)，那么所用的時(shí)間是原來的3分之4， 也就是原計(jì)劃用的時(shí)間和實(shí)際用的時(shí)間之比為1：4/3=3：4 那么原來的工作效率和實(shí)際的工作效率之比為4：3 實(shí)際工作效率是原來的3/4 那么原計(jì)劃每小時(shí)加工2/（1-3/4）=8個(gè) 如果每小時(shí)多加工10個(gè)，那么實(shí)際每小時(shí)加工8+10=18個(gè) 原計(jì)劃的工作效率和實(shí)際工作效率之比=8：18=4：9 那么原計(jì)劃與實(shí)際所用時(shí)間之比為9：4 實(shí)際用的時(shí)間是原來的4/9 那么原計(jì)劃用的時(shí)間=1/（1-4/9）=9/5=1.8小時(shí) 那么這批零件有81.8=14.4個(gè) 或者列方程 我們設(shè)時(shí)針和

43、分針之間距離為a格 （120+60-a）/1=a/（1/12） 13a=180 a=180/13格 那么離家時(shí)間=（180/13）/（1/12）=2160/13分=36/13小時(shí)≈2小時(shí)46分 附：解答應(yīng)用題的一點(diǎn)心得： 1、讀懂題意，把不相關(guān)的語言精簡掉，現(xiàn)在應(yīng)用題考得不是數(shù)學(xué)，而是語文的閱讀能力，還要有轉(zhuǎn)化問題的能力。 2、巧設(shè)未知數(shù)。一道應(yīng)用題中可以把幾個(gè)量都設(shè)為未知數(shù)，但是哪一個(gè)更為簡便，要仔細(xì)斟酌。例如：甲乙二人速度之比為3：2，在求甲乙的速度時(shí)，我們可以設(shè)甲的速度為a千米/小時(shí)，乙為b千米/小時(shí)，這就是二元一次方程組；或者設(shè)甲的速度為a千米/小時(shí)，則乙為2/3a千米

44、/小時(shí)，這樣雖然是一元一次方程，但是有分?jǐn)?shù)；或者設(shè)甲的速度為3a千米/小時(shí)，乙的速度為2a千米/小時(shí) 可見最后的設(shè)法最好。根據(jù)不同的題目設(shè)出未知數(shù)。 3、根據(jù)等量關(guān)系列出方程 4、解方程。此時(shí)我們可能會(huì)遇到二個(gè)未知數(shù)，而只能列出一個(gè)方程，我們就要看看是不是還有隱含條件，比如人數(shù)、物體的個(gè)數(shù)，都要是正整數(shù)，這就是隱含條件，尤其在不等式方程中要用到。還有就是分式方程要驗(yàn)根 5、寫清單位和答話。這一步往往被忽視，其實(shí)這一步恰恰反映出你是否讀懂了題目，是否知道題目要求的是什么，在考試中是要站分?jǐn)?shù)的。 6、勤加練習(xí)，熟能生巧。觸類旁通，舉一反三。 這是我個(gè)人對(duì)接應(yīng)用題的一點(diǎn)心得，希望對(duì)你有所

45、幫助。一點(diǎn)心得 此問題多見于平日練習(xí)之中，比較有代表性，總結(jié)給大家，希望有所幫助，時(shí)間緊迫，難免有紕漏之處，還望批評(píng)指正。 小學(xué)畢業(yè)試題 一、填空題。（每空1分，共20分） l、一個(gè)數(shù)的億位上是5、萬級(jí)和個(gè)級(jí)的最高位上也是5，其余數(shù)位上都是0，這個(gè)數(shù)寫作（ ），省略萬位后面的尾數(shù)是（ ）。 2、0.375的小數(shù)單位是（ ），它有（ ）個(gè)這樣的單位。 3、6.596596……是（ ）循環(huán)小數(shù)，用簡便方法記作（ ），把它保留兩位小數(shù)是（

46、 ）。 4、 16＜2/3 ＜ ，（ ）里可以填寫的最大整數(shù)是（ ）。 5、在l——20的自然數(shù)中，（ ）既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)；（ ）既是奇數(shù)又是合數(shù)。 6、甲數(shù)=235，乙數(shù)=233，甲數(shù)和乙數(shù)的最大公約數(shù)是（ ）。最小公倍數(shù)是（ ）。 7、被減數(shù)、減數(shù)、差相加得1，差是減數(shù)的3倍，這個(gè)減法算式是（ ）。 8、已知4x＋8=10，那么2x＋8=（ ）。 9、在括號(hào)里填入＞、＜或=。 1小時(shí)30分（ ）1.3小時(shí) 1千米的 （ ）7千米 。 10

47、、一個(gè)直角三角形，有一個(gè)銳角是35，另一個(gè)銳角是（ ）。 11、一根長2米的直圓柱木料，橫著截去2分米，和原來比，剩下的圓柱體木料的表面積減少12.56平方分米，原來圓柱體木料的底面積是（ ）平方分米，體積是（ ）立方分米。 12、在含鹽率30％的鹽水中，加入3克鹽和7克水，這時(shí)鹽水中鹽和水的比是（ ）。 二、判斷題。對(duì)的在括號(hào)內(nèi)打“√”，錯(cuò)的打“”。（每題1分，共5分） 1、分?jǐn)?shù)單位大的分?jǐn)?shù)一定大于分?jǐn)?shù)單位小的分?jǐn)?shù)。（ ） 2、36和48的最大公約數(shù)是12，公約數(shù)是1、2、3、4、6、12。（ ） 3、一個(gè)乒乓球

48、的重量約是3千克。（ ） 4、一個(gè)圓有無數(shù)條半徑，它們都相等。（ ） 5、比的前項(xiàng)乘以 ，比的后項(xiàng)除以2，比值縮小4倍。（ ） 三、選擇題。把正確答案的序號(hào)填入括號(hào)內(nèi)。（每題2分，共10分） 1、兩個(gè)數(shù)相除，商50余30，如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小10倍，所得的商和余數(shù)是（ ）。 （l）商5余3 （2）商50余3 （3）商5余30 （4）商50余30 2、4x＋8錯(cuò)寫成4（x＋8），結(jié)果比原來（ ）。 （1）多4 （2）少4 （3）多24 （4

49、）少24 3、在一幅地圖上，用2厘米表示實(shí)際距離90千米，這幅地圖的比例尺是（ ）。 （1） （2） （3） （4） 4、一個(gè)長方體，長6厘米，寬3厘米，高2厘米，它的最小面的面積與表面積的比是（ ）。 （l）l:3 （2）1:6 （3）l:12 （4）l:24 四、計(jì)算題。（共35分） 1、直接寫出得數(shù)。（5分） 529＋198=

50、 305－199＝ 2.054＝ 812.5%= 0.68＋0.32= 2、用簡便方法計(jì)算。（6分） 251.2532 （3.75＋4.1＋2.35）9.8 3、計(jì)算。（l2分） 5400－29402827 （20.20.4＋7.88）4.2 4、列式計(jì)算。（6分） （l）0.6與2.25的積去除3.2與l.85的差，商是多少？ （2）一個(gè)數(shù)的 比

51、30的25％多1.5，求這個(gè)數(shù)。 五、應(yīng)用題。（30分） 1、一個(gè)長方形和一個(gè)圓的周長相等，已知長方形的長是10厘米，寬是5.7厘米。圓的面積是多少？ 2、三新村開展植樹造林活動(dòng)，5人3天共植樹90棵，照這樣計(jì)算，30人3天共植樹多少棵？ 3、甲乙兩列火車同時(shí)從相距500千米的兩地相對(duì)開出，4小時(shí)后沒有相遇還相距20千米，已知甲車每小時(shí)行65千米，乙車每小時(shí)行多少千米？ 4、王老師領(lǐng)取一筆1500元稿費(fèi)，按規(guī)定扣除800元后要按20％繳納個(gè)人所得稅，王老師繳納個(gè)人所得稅后應(yīng)領(lǐng)取多少元？ 5、小明讀一本故事書，第一天讀了24頁，占全書的 ，第二天讀了全書的37.5％，還剩多少頁沒有讀？ 6、生產(chǎn)一批零件，甲每小時(shí)可做18個(gè)，乙單獨(dú)做要12小時(shí)完成?，F(xiàn)在由甲乙二人合做，完成任務(wù)時(shí)，甲乙生產(chǎn)零件的數(shù)量之比是3:5，甲一共生產(chǎn)零件多少個(gè)？