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1、第5章 狹義相對論 習題及答案
1. 牛頓力學的時空觀與相對論的時空觀的根本區(qū)別是什么?二者有何聯(lián)系?
答:牛頓力學的時空觀認為自然界存在著與物質(zhì)運動無關(guān)的絕對空間和時間,這種空間和時間是彼此孤立的;狹義相對論的時空觀認為自然界時間和空間的量度具有相對性,時間和空間的概念具有不可分割性,而且它們都與物質(zhì)運動密切相關(guān)。在遠小于光速的低速情況下,狹義相對論的時空觀與牛頓力學的時空觀趨于一致。
2. 狹義相對論的兩個基本原理是什么?
答:狹義相對論的兩個基本原理是:
(1)相對性原理 在所有慣性系中,物理定律都具有相同形式;(2)光速不變原理 在所有慣性系中,光在真空中的傳播速度均
2、為,與光源運動與否無關(guān)。
3.你是否認為在相對論中,一切都是相對的?有沒有絕對性的方面?有那些方面?舉例說明。
解 在相對論中,不是一切都是相對的,也有絕對性存在的方面。如,光相對于所有慣性系其速率是不變的,即是絕對的;又如,力學規(guī)律,如動量守恒定律、能量守恒定律等在所有慣性系中都是成立的,即相對于不同的慣性系力學規(guī)律不會有所不同,此也是絕對的;還有,對同時同地的兩事件同時具有絕對性等。
4.設(shè)系相對系以速度沿著正方向運動,今有兩事件對系來說是同時發(fā)生的,問在以下兩種情況中,它們對系是否同時發(fā)生?
(1)兩事件發(fā)生于系的同一地點;
(2)兩事件發(fā)生于系的不同地點。
解
3、 由洛倫茲變化知,第一種情況,,,故系中,即兩事件同時發(fā)生;第二種情況,,,故系中,兩事件不同時發(fā)生。
5-5 飛船A中的觀察者測得飛船B正以的速率尾隨而來,一地面站測得飛船A的速率為,求:
(1)地面站測得飛船B的速率;
(2)飛船B測得飛船A的速率。
解 選地面為S系,飛船A為系。
(1),
(2)
5.6 慣性系S′相對另一慣性系沿軸作勻速直線運動,取兩坐標原點重合時刻作為計時起點.在S系中測得兩事件的時空坐標分別為=6104m,=210-4s,以及=12104m,=110-4s.已知在S′系中測得該兩事件同時發(fā)生.試問:
(1)S′系相對S系的速度是多少?
4、
(2) 系中測得的兩事件的空間間隔是多少?
解: 設(shè)相對的速度為,
(1)
由題意
則
故
(2)由洛侖茲變換
代入數(shù)值,
5-7 一門寬為,今有一固有長度(>)的水平細桿,在門外貼近門的平面內(nèi)沿其長度方向勻速運動.若站在門外的觀察者認為此桿的兩端可同時被拉進此門,則該
5、桿相對于門的運動速率至少為多少?
解: 門外觀測者測得桿長為運動長度,,當時,可認為能被拉進門,則
解得桿的運動速率至少為:
5-8 在系中有一靜止的正方形,其面積為100m2,觀察者以0.8c的速度沿正方形的對角線運動,測得的該面積是多少?
解 設(shè)正方形在系中每邊長為L, 其對角線長為,因為相對運動,沿著運動方向的對角線縮短,垂直于運動方向的對角線長度不變。固在系觀測的面積為
5-9 觀測者A測得與他相對靜止的x-y平面上某圓面積為12,另一觀察者B相對于A以的速率平行于x-y平面做勻速圓周運
6、動,則B測得這一圖形的面積是多少?(答案:7.2cm2)
解: 將靜系固聯(lián)于觀測者A所在的平面,動系固聯(lián)于觀測者B上,在觀測的時刻t,令和系的重合。則在動系上觀測,圓的直徑在運動方向收縮,在垂直于運動方向的直徑不變,因此,觀測者A觀測的圓,B測得為一橢圓。該橢圓的長軸為
短軸為
面積為
由題意
由此得到
5-10 一宇航員要到離地球為5光年的星球去旅行.如果宇航員希望把這路程縮短為3光年,則他所乘的火箭相對于地球的速度是多少?
解: 因為
7、
∴
5-11 某種介子靜止時的壽命是。如它在實驗室中的速率為,在它的一生中能飛行多少米?
解:介子靜止時的壽命是固有時間,由于它相對于實驗室運動,從而實驗室觀測的壽命是非固有時間。
在實驗室觀測的介子壽命為:
所以介子一生中能飛行距離為:
5-12 兩個慣性系中的觀察者和以(表示真空中光速)的相對速度相互接近,如果測得兩者的初始距離是20m,則測得兩者經(jīng)過多少時間相遇?
解
8、 測得的是固有時間,測得相遇時間為,又
所以 測得的固有時間為
∴
,
此題也可用長度收縮效應來解。測得長度為固有長度,測得長度為非固有長度,設(shè)用表示,則
由 有
5-13 一米尺靜止在系中,長度為,并與軸成角。若在系中測得該米尺與X軸成角,則相對于系的速度為多大?系中測得該米尺的長度是多少?
解:在中觀察,米尺在運動方向(X軸方向)長度收縮,在Y軸方向長度不變,因此
由
9、題意:
所以 =
解之得相對于系的速度為: u=0.816c
系中測得該米尺的長度為:
5-14 (1)如果將電子由靜止加速到速率為0.1c,須對它作多少功?
(2)如果將電子由速率為0.8c加速到0.9c,又須對它作多少功?
解: (1)對電子作的功,等于電子動能的增量,得
J=
(2) 同理
)
5-15 兩飛船,在自己的靜止參考系中側(cè)的各自的長度均為m,飛船甲上儀器測得飛船甲的前端駛完飛船乙的全長需,求兩飛船的相對運動速度。
解 由運動的相對性可知,乙船全
10、長駛過甲船前端所需要時間為,m是固有長度,由甲船上來觀測,乙船的長度收縮為,u 即為兩飛船的相對運動速度,由題意有:
所以
由此得到:
5-16 一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%,試問此物體在運動方向上縮短了百分之幾?
解: 設(shè)靜止質(zhì)量為,運動質(zhì)量為,
由題設(shè)
而
由此二式得
11、
∴
設(shè)物體在運動方向上的長度和靜長分別為和,則相對收縮量為:
5-17 一電子在電場中從靜止開始加速,試問它應通過多大的電勢差才能使其質(zhì)量增加0.4%?此時電子速度是多少?已知電子的靜止質(zhì)量為9.110-31kg.
解 由質(zhì)能關(guān)系
∴
=
所需電勢差為伏特
由質(zhì)速公式有:
∴
故電子速度為
5-18 一正負電子對撞機可以把電子加速到動能=2.8109eV.這
12、種電子速率比光速差多少? 這樣的一個電子動量是多大?(與電子靜止質(zhì)量相應的能量為=0.511106eV)
解:
所以
由上式,
由動量能量關(guān)系可得
5-19 甲相對乙以的速率運動,求:
(1)甲攜帶質(zhì)量為的物體,乙測得該物體的質(zhì)量是多少?
(2)甲、乙測得該物體的總能量各是多少?
解:(1)
(2)甲測得該物體的總能量: ;
乙測得該物體的總能量:
5-20 一靜止質(zhì)量為的粒子,裂變成兩個粒子,速度分別為0.6c和0
13、.8c.求裂變過程的靜質(zhì)量虧損和釋放出的動能.
解: 孤立系統(tǒng)在裂變過程中釋放出動能,引起靜能減少,相應的靜止質(zhì)量減少,即靜質(zhì)量虧損.
設(shè)裂變產(chǎn)生兩個粒子的靜質(zhì)量分別為和,其相應的速度,
由于孤立系統(tǒng)中所發(fā)生的任何過程都同時遵守動量守恒定律和能(質(zhì))量守恒定律,所以有
注意和必沿相反方向運動,動量守恒的矢量方程可以簡化為一維標量方程,再以c, c代入,將上二方程化為:
,
上二式聯(lián)立求解可得:
,
故靜質(zhì)量虧損由靜質(zhì)量虧損引起靜能減少,即轉(zhuǎn)化為動能,故放出的動能為
5-21 實驗室測得一質(zhì)子的速率為,求該質(zhì)子的質(zhì)量、總能量、動量和動能。(質(zhì)子的靜質(zhì)量為)
解: 質(zhì)子的質(zhì)量:;
質(zhì)子的總能量:;
質(zhì)子的動量: ;
質(zhì)子的動能:
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