【試卷解析】福建省漳州市高一上學期期末數學試卷

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1、 福建省漳州市2014-2015學年高一上學期期末數學試卷 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的． 1．（5分）下列式子中，不正確的是（） A． 3∈{x|x≤4} B． {﹣3}∩R={﹣3} C． {0}∪?=? D． {﹣1}?{x|x＜0} 2．（5分）如果和是兩個單位向量，那么下列四個結論中正確的是（） A． = B． ?=1 C． 2≠2 D． ||2=||2 3．（5分）函數f（x）=lg（1﹣x）的定義域為（） A． [0，1） B． （0，1） C． （0，1] D． [0，1

2、] 4．（5分）與﹣463終邊相同的角可以表示為（k∈Z）（） A． k?360+463 B． k?360+103 C． k?360+257 D． k?360﹣257 5．（5分）已知a，b∈R，若a＞b，則下列不等式成立的是（） A． lga＞lgb B． 0.5a＞0.5b C． D． 6．（5分）已知向量，滿足||=||=2，與的夾角為120，則|﹣|的值為（） A． 1 B． C． D． 12 7．（5分）函數f（x）=3x+x﹣2的零點所在的一個區(qū)間是（） A． （1，2） B． （0，1） C． （﹣2，﹣1） D． （﹣1，0）

3、 8．（5分）已知函數，則它的一條對稱軸方程為（） A． B． x=0 C． D． 9．（5分）要得到函數的圖象，只需將函數的圖象上所有點（） A． 向左平移個單位縱坐標不變 B． 向左平移個單位縱坐標不變 C． 向右平移個單位縱坐標不變 D． 向右平移個單位縱坐標不變 10．（5分）函數f（x）=ax﹣（a＞0，a≠1）的圖象可能是（） A． B． C． D． 11．（5分）sinπ+cosπ的值是（） A． 4 B． 1 C． ﹣4 D． ﹣1 12．（5分）已知函數f（x）=x，g（x）為偶函數，且當x≥0時，g（x）=

4、x2﹣2x．記．給出下列關于函數F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R）的說法： ①當x≥3時，F（x）=x2﹣2x； ②函數F（x）為奇函數； ③函數F（x）在[﹣1，1]上為增函數； ④函數F（x）的最小值為﹣1，無最大值． 其中正確的是（） A． ①②④ B． ①③④ C． ①③ D． ②④ 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在答題卡的相應位置． 13．（4分）已知函數f（x）的定義域和值域都是{1，2，3，4，5}，其對應關系如下表所示，則f（f（4））=． x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 1

5、4．（4分）已知向量=（3，1），=（x，﹣3），若⊥，則x=． 15．（4分）已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一個周期的圖象如圖所示．則函數f（x）的表達式為f（x）=． 16．（4分）設定義在R上的函數f（x）滿足：f（tanx）=，則f（2）+f（3）+…+f+f（）+f（）+…+f（）=． 三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．（12分）已知tanα=﹣2，求：α的值． 18．（12分）已知二次函數f（x）滿足：f（0）=f（1）=1，且． （Ⅰ）求f（x）的解析式；

6、 （Ⅱ）求f（x）在的值域． 19．（12分）已知函數． （Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間； （Ⅱ）求函數f（x）在上的最值及取得最值時自變量x的取值． 20．（12分）某企業(yè)擬用10萬元投資甲、乙兩種商品．已知各投入x萬元，甲、乙兩種商品可分別獲得y1，y2萬元的利潤，利潤曲線P1，P2如圖所示．問怎樣分配投資額，才能使投資獲得最大利潤？ 21．（12分）已知f（α）=． （Ⅰ）化簡f（α）； （Ⅱ）若f（α）=﹣cosα，且α∈（0，π），求sinα﹣cosα的值． 22．（14分）已知函數為奇函數． （Ⅰ）若f（1）=5，求函數f（x）的

7、解析式； （Ⅱ）當a=﹣2時，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求實數t的最小值； （Ⅲ）當a≥1時，求證：函數g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在（﹣∞，﹣1]上至多有一個零點． 福建省漳州市2014-2015學年高一上學期期末數學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的． 1．（5分）下列式子中，不正確的是（） A． 3∈{x|x≤4} B． {﹣3}∩R={﹣3} C． {0}∪?=? D． {﹣1}?{x|x＜0} 考點： 集合的包含關系判斷及應用．

8、專題： 集合． 分析： 本題的關鍵是正確認識元素與集合的關系，集合與集合的關系． 解答： 解：對于A，3≤4，故A正確 對于B，{﹣3}∩R={﹣3}，故B正確 對于C，{0}∪?={0}，故C錯誤 對于D，﹣1＜0，故D正確 故答案為：C 點評： 本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題．要正確判斷兩個集合間的關系，必須對集合的相關概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，認清集合的特征． 2．（5分）如果和是兩個單位向量，那么下列四個結論中正確的是（） A． = B． ?=1 C． 2≠2 D． ||2=||2 考點： 平面向量數量積的運算． 專題： 平面向量及應

9、用． 分析： 利用單位向量的定義和數量積的性質即可得出． 解答： 解：∵和是兩個單位向量， ∴． 故選：D． 點評： 本題考查了單位向量的定義和數量積的性質，屬于基礎題． 3．（5分）函數f（x）=lg（1﹣x）的定義域為（） A． [0，1） B． （0，1） C． （0，1] D． [0，1] 考點： 函數的定義域及其求法． 專題： 函數的性質及應用． 分析： 根據函數f（x）的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，從而求出f（x）的定義域． 解答： 解：要使函數f（x）的解析式有意義，得： 解得：0≤x＜1； 所以原函數的定義域是：[0，1）．

10、 故選：A 點評： 本題考查了求函數定義域的問題，解題時應根據函數的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，從而求出定義域，是基礎題． 4．（5分）與﹣463終邊相同的角可以表示為（k∈Z）（） A． k?360+463 B． k?360+103 C． k?360+257 D． k?360﹣257 考點： 終邊相同的角． 專題： 計算題． 分析： 直接利用終邊相同的角的表示方法，寫出結果即可． 解答： 解：與﹣463終邊相同的角可以表示為：k?360﹣463，（k∈Z） 即：k?360+257，（k∈Z） 故選C 點評： 本題考查終邊相同的角，是基礎題． 5

11、．（5分）已知a，b∈R，若a＞b，則下列不等式成立的是（） A． lga＞lgb B． 0.5a＞0.5b C． D． 考點： 不等式比較大?。? 專題： 不等式的解法及應用． 分析： A．通過a，b取特殊值，即可得出選項的正誤； B．由a＞b，利用指數函數的單調性即可得出，不正確； C．通過a，b取特殊值，即可得出選項的正誤； D．利用函數f（x）=在R上單調遞增即可得出，正確． 解答： 解：對于A．取a=﹣1，b=﹣2，無意義，不正確； 對于B．∵a＞b，∴0.5a＜0.5b，不正確； 對于C．取a=﹣1，b=﹣2，無意義，不正確； 對于D．由于函數f（x

12、）=在R上單調遞增，又a＞b，因此，正確． 故選：D． 點評： 本題考查了指數函數、對數函數與冪函數的單調性，不等式的性質，屬于基礎題． 6．（5分）已知向量，滿足||=||=2，與的夾角為120，則|﹣|的值為（） A． 1 B． C． D． 12 考點： 平面向量數量積的運算． 專題： 計算題；平面向量及應用． 分析： 運用向量的數量積的定義和性質，向量的平方即為模的平方，由完全平方公式計算即可得到． 解答： 解：由向量與的夾角為120，||=||=2， 則=22cos120=﹣2， 即有||== ==2． 故選B． 點評： 本題考查向量的數量積的

13、定義和性質，主要考查向量的平方即為模的平方，屬于基礎題． 7．（5分）函數f（x）=3x+x﹣2的零點所在的一個區(qū)間是（） A． （1，2） B． （0，1） C． （﹣2，﹣1） D． （﹣1，0） 考點： 函數零點的判定定理；二分法求方程的近似解． 專題： 計算題；函數的性質及應用． 分析： 易知函數f（x）=3x+x﹣2在R上單調遞增且連續(xù)，從而由函數的零點的判定定理求解． 解答： 解：易知函數f（x）=3x+x﹣2在R上單調遞增且連續(xù)， 且f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0， f（1）=3+1﹣2=2＞0； 故函數f（x）=3x+x﹣2的零點所在的一個區(qū)間是（

14、0，1）； 故選B． 點評： 本題考查了函數的零點的判定定理的應用，屬于基礎題． 8．（5分）已知函數，則它的一條對稱軸方程為（） A． B． x=0 C． D． 考點： 正弦函數的圖象． 專題： 計算題；三角函數的圖像與性質． 分析： 利用正弦函數的對稱性，可知2x+=kπ+（k∈Z），k賦值為0即可求得答案． 解答： 解：由2x+=kπ+，得x=+（k∈Z）， 令k=0，得x=， ∴它的一條對稱軸方程為x=， 故選：C． 點評： 本題考查正弦函數的對稱性，熟練掌握正弦函數的對稱軸方程是解決問題的關鍵，屬于基礎題． 9．（5分）要得到函數的圖象

15、，只需將函數的圖象上所有點（） A． 向左平移個單位縱坐標不變 B． 向左平移個單位縱坐標不變 C． 向右平移個單位縱坐標不變 D． 向右平移個單位縱坐標不變 考點： 函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 專題： 三角函數的圖像與性質． 分析： 由條件利用誘導公式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結論． 解答： 解：將函數的圖象上所有點向左平移個單位縱坐標不變， 可得函數y=sin（x+）=sin（+）=cos（﹣）=cos（﹣）的圖象， 故選：A． 點評： 本題主要考查誘導公式的應用，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎

16、題． 10．（5分）函數f（x）=ax﹣（a＞0，a≠1）的圖象可能是（） A． B． C． D． 考點： 函數的圖象． 專題： 函數的性質及應用． 分析： 先判斷函數的單調性，再判斷函數恒經過點（﹣1，0），問題得以解決． 解答： 解：當0＜a＜1時，函數f（x）=ax﹣，為減函數， 當a＞1時，函數f（x）=ax﹣，為增函數， 且當x=﹣1時f（﹣1）=0，即函數恒經過點（﹣1，0）， 故選：D 點評： 本題主要考查了函數的圖象和性質，求出函數恒經過點是關鍵，屬于基礎題． 11．（5分）sinπ+cosπ的值是（） A． 4 B． 1 C．

17、 ﹣4 D． ﹣1 考點： 對數的運算性質；二倍角的正弦． 專題： 函數的性質及應用． 分析： 利用對數運算法則和二倍角的正弦公式求解． 解答： 解：sinπ+cosπ = = = = =﹣4． 故選：C． 點評： 本題考查對數的運算，是基礎題，解題時要認真審題，注意正弦二倍角公式的合理運用． 12．（5分）已知函數f（x）=x，g（x）為偶函數，且當x≥0時，g（x）=x2﹣2x．記．給出下列關于函數F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R）的說法： ①當x≥3時，F（x）=x2﹣2x； ②函數F（x）為奇函數； ③函數F（x）在[﹣1，1]上為

18、增函數； ④函數F（x）的最小值為﹣1，無最大值． 其中正確的是（） A． ①②④ B． ①③④ C． ①③ D． ②④ 考點： 命題的真假判斷與應用． 專題： 函數的性質及應用． 分析： 可結合圖象寫出F（x）的解析式，然后結合F（x）的圖象判斷函數F（x）的奇偶性和單調性，從而判斷②③的正確，最后結合圖象分段求函數F（x）的最值． 解答： 解：因為函數f（x）=x，g（x）為偶函數，且當x≥0時，g（x）=x2﹣2x，所以g（x）=x2﹣2|x|， F（x）=，所以當x≥3時，F（x）=x2﹣2x，即①對； 因為F（x）的圖象不關于原點對稱，所以函數F（x）不

19、為奇函數，即②錯； 由圖象知函數F（x）在[﹣1，3]上是增函數，所以在[﹣1，1]上是增函數，即③對； 由圖象易知函數F（x）的最小值為F（﹣1）=﹣1，無最大值．即④對． 故選：B 點評： 本題主要考查函數的兩個重要性質﹣﹣奇偶性和單調性，考查數學上數形結合這一重要方法，是一道中檔題． 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在答題卡的相應位置． 13．（4分）已知函數f（x）的定義域和值域都是{1，2，3，4，5}，其對應關系如下表所示，則f（f（4））=5． x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 考點： 函數的值． 專

20、題： 函數的性質及應用． 分析： 利用函數對應關系表得到f（4）=1，f（1）=5，由此能求出f（f（4））． 解答： 解：∵函數f（x）的定義域和值域都是{1，2，3，4，5}， 由其對應關系表得到f（4）=1，f（1）=5， ∴f（f（4））=f（1）=5， 故答案為：5． 點評： 本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要注意識表能力的培養(yǎng)． 14．（4分）已知向量=（3，1），=（x，﹣3），若⊥，則x=1． 考點： 平面向量數量積的運算． 專題： 計算題；平面向量及應用． 分析： 運用向量垂直的條件：數量積為0，計算即可得到x． 解答： 解：由=（3，1

21、），=（x，﹣3）， 若⊥，則=0， 即為3x﹣3=0， 解得，x=1． 故答案為：1 點評： 本題考查平面向量的定義和性質，考查向量垂直的條件，考查運算能力，屬于基礎題． 15．（4分）已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一個周期的圖象如圖所示．則函數f（x）的表達式為f（x）=f（x）=sin（2x+）． 考點： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 專題： 三角函數的圖像與性質． 分析： 由圖象可得A，由周期的一半可得ω，代入點（，﹣1）結合φ的范圍可得φ值，進而可得解析式． 解答： 解：由圖象可得A=1，周期

22、T滿足==﹣， 解得ω=2， ∴f（x）=sin（2x+φ）， 又圖象過點（，﹣1）， ∴﹣1=sin（+φ）， 又∵， ∴φ= ∴所求函數的解析式為：f（x）=sin（2x+） 故答案為：f（x）=sin（2x+） 點評： 本題考查三角函數解析式的求解，由圖象得出函數的周期，振幅和特殊點是解決問題的關鍵，屬中檔題． 16．（4分）設定義在R上的函數f（x）滿足：f（tanx）=，則f（2）+f（3）+…+f+f（）+f（）+…+f（）=0． 考點： 三角函數的化簡求值；函數的值；同角三角函數基本關系的運用． 專題： 函數的性質及應用；三角函數的求值． 分析

23、： 由已知中f（tanx）=，根據萬能公式，可得f（x）的解析式，進而可得f（x）+f（ ）=0，進而可得答案． 解答： 解：∵f（tanx）==， ∴f（x）=，f（）=== ∴f（x）+f（）=0 ∴f（2）+f（3）+…+f+f（）+f（）+…+f（）=0 故答案為：0 點評： 本題考查的知識點是三角函數的恒等變換及化簡求值，其中根據已知求出f（x）=，以及f（x）+f（）=0是解答的關鍵． 三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．（12分）已知tanα=﹣2，求：α的值． 考點： 同角三角函數基本關系的運用．

24、專題： 三角函數的求值． 分析： 原式利用同角三角函數間的基本關系變形，把已知等式代入計算即可求出值． 解答： 解：∵tanα=﹣2， ∴原式=+cos2α=+=+=+=1． 點評： 此題考查了同角三角函數基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵． 18．（12分）已知二次函數f（x）滿足：f（0）=f（1）=1，且． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）求f（x）在的值域． 考點： 二次函數的性質；函數解析式的求解及常用方法． 專題： 函數的性質及應用． 分析： （Ⅰ）【解法一】設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），根據題意列出方程組，求出a、b、c的值即

25、可； 【解法二】根據題意求出f（x）的對稱軸與頂點坐標，設出f（x）的頂點式方程，求出它的解析式； （Ⅱ）根據f（x）的解析式，結合對稱軸，求出f（x）在閉區(qū)間上的值域即可． 解答： 解：（Ⅰ）【解法一】設f（x）=ax2+bx+c，（a≠0）， 由已知得， 解得a=1，b=﹣1，c=1， ∴f（x）=x2﹣x+1； 【解法二】∵f（0）=f（1）=1，且， ∴f（x）的對稱軸是，頂點為， ∴設， ∵， 解得a=1； ∴； （Ⅱ）∵f（x）=x2﹣x+1的對稱軸是， 且， ， f（2）=4﹣2+1=3， ∴f（x）的值域為． 點評： 本題考查了二次函數的圖象

26、與性質的應用問題，考查了求二次函數的解析式與值域的應用問題，是基礎題目 19．（12分）已知函數． （Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間； （Ⅱ）求函數f（x）在上的最值及取得最值時自變量x的取值． 考點： 三角函數中的恒等變換應用；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 專題： 三角函數的求值；三角函數的圖像與性質． 分析： （Ⅰ）首先通過三角恒等變換把函數關系式變形成正弦型函數，進一步利用公式求出函數的周期和單調區(qū)間． （Ⅱ）直接利用函數的定義域，利用整體思想求出函數的最值． 解答： 解：（Ⅰ）∵， ∴f（x）的最小正周期． 由， 得， ∴f（x

27、）的單調增區(qū)間為． （Ⅱ）∵，∴， ∴當，即時，f（x）min=﹣2， ∴當，即x=0時，． 點評： 本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的周期的求法，函數的單調區(qū)間的應用，利用函數的定義域求函數的值域．屬于基礎題型． 20．（12分）某企業(yè)擬用10萬元投資甲、乙兩種商品．已知各投入x萬元，甲、乙兩種商品可分別獲得y1，y2萬元的利潤，利潤曲線P1，P2如圖所示．問怎樣分配投資額，才能使投資獲得最大利潤？ 考點： 函數模型的選擇與應用． 專題： 應用題；函數的性質及應用． 分析： 根據函數的模型求出兩個函數解析式．將企業(yè)獲利表示成對產品乙投資x

28、的函數，再利用配方法，求出對稱軸，即可求出函數的最值． 解答： 解：由圖可得，（x≥0），，（x≥0）， 設用x萬元投資甲商品，那么投資乙商品為（10﹣x）萬元，總利潤為y萬元．，（0≤x≤10） 當且僅當即時， 答：用6.25萬元投資甲商品，3.75萬元投資乙商品，才能獲得最大利潤． （也可把投資乙商品設成x萬元，把投資甲商品設成（10﹣x）萬元） 點評： 本題考查將實際問題的最值問題轉化為函數的最值問題、考查二次函數的最值，屬于中檔題． 21．（12分）已知f（α）=． （Ⅰ）化簡f（α）； （Ⅱ）若f（α）=﹣cosα，且α∈（0，π），求sinα﹣cosα的值．

29、 考點： 同角三角函數基本關系的運用；運用誘導公式化簡求值． 專題： 三角函數的求值． 分析： （Ⅰ）根據三角函數的誘導公式進行化簡f（α）； （Ⅱ）根據同角的三角函數關系式進行求解． 解答： 解：（Ⅰ） （Ⅱ）由（Ⅰ）得f（α）=sinα， ∴，即， 兩邊平方得， ∴ 又α∈（0，π），則， ∴sinα﹣cosα＞0 由， 故 點評： 本題主要考查三角函數值的化簡和求值，利用三角函數的誘導公式以及同角的三角函數的關系式是解決本題的關鍵． 22．（14分）已知函數為奇函數． （Ⅰ）若f（1）=5，求函數f（x）的解析式； （Ⅱ）當a=﹣2時，不等式f

30、（x）≤t在[1，4]上恒成立，求實數t的最小值； （Ⅲ）當a≥1時，求證：函數g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在（﹣∞，﹣1]上至多有一個零點． 考點： 利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；函數奇偶性的性質． 專題： 綜合題；函數的性質及應用． 分析： （Ⅰ）由奇函數定義可得f（﹣x）=﹣f（x），可求b，由f（1）=5可得a； （Ⅱ）不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，等價于f（x）max≤t，易判斷a=﹣2時f（x）在[1，4]上的單調性，由單調性可得最大值； （Ⅲ）表示出g（x），只需判定函數g（x）在（﹣∞，﹣1]單調即可，利用單調性的定義可作出判斷； 解答： 解

31、：（Ⅰ）∵函數為奇函數， ∴f（﹣x）=﹣f（x），即， ∴b=0， 又f（1）=4+a+b=5， ∴a=1 ∴函數f（x）的解析式為． （Ⅱ）a=﹣2，． ∵函數在[1，4]均單調遞增， ∴函數f（x）在[1，4]單調遞增， ∴當x∈[1，4]時，． ∵不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立， ∴， ∴實數t的最小值為． （Ⅲ）證明：， 設x1＜x2≤﹣1， =， ∵x1＜x2≤﹣1， ∴， ∵a≥1，即﹣a≤﹣1， ∴，又， ∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）， ∴函數g（x）在（﹣∞，﹣1]單調遞減， 又c∈R，可知函數g（x）在（﹣∞，﹣1]上至多有一個零點． 點評： 本題考查函數的單調性、奇偶性及其應用，考查函數最值的求解，考查學生綜合運用函數性質分析解決問題的能力，屬中檔題． - 18 -