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1、
中考高頻考點————圓中常用的輔助線作法
圓是中考的必考點，也是重難點，圓的題型難點很大一部分來源于圓中很多的隱藏條件，需要添加輔助線才能很好的理解，圓中常見的輔助線作法有如下幾種：(1)遇弦作弦心距或半徑；(2)遇直徑作直徑所對的圓周角；(3)已知切線，連半徑，得垂直；(4)直線與圓交點明確，證切線時，連半徑，證垂直；(5)直線與圓交點不明確，證切線時，作垂直，證半徑．
一．知識梳理
圓的主要知識點：
1. 垂徑定理：垂直于弦的直徑____________,并且平分弦所對的__________.
推論：平分弦（不是直徑
2、）的直徑________于弦，并且_______弦所對的兩條弧
圓的兩條平行弦所夾的弧 。
2. 圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的__________.
推論：1.同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角__________________.
2.半圓（或直徑）所對的圓周角是_____,90的圓周角所對的弦是______.
3、圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦 ，所對的弧相等，弦心距
4.切線的性質與判定、
性質：圓的切線_________于過切點的半徑或直徑.
推論1:過圓心垂直于切線的直線必過
3、切點。
推論2:過切點垂直于切線的直線必過圓心。
判定：1.已知半徑，證垂直；2.作垂直，證半徑.
二．常見輔助線做法
? 作法一 作半徑或直徑
①作半徑(或直徑)：構造等腰三角形或直角三角形
1．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝30，⊙O的半徑為5，若點P是⊙O上的一點，在△ABP中，PB＝AB，則PA的長為( )
A．5 B. C．5 D．5
2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝60，BC＝6，則的長為( )
A．2π B．4π C．8π D．12π
3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝60，BC＝2 ，則⊙O的面
4、積為( )
A．2π B．4π C．8π D．12π
4． 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB＝32，則∠C＝________．
5．如圖，⊙O的半徑為6，點A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝45，則弦AB的長是________．
②連接過切點的半徑或直徑：見切線，連切點，得垂直
6．如圖，兩個同心圓的半徑分別為4 cm和5 cm，大圓的一條弦AB與小圓相切于點C，則弦AB的長為( )
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
7．如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于點D，且∠D＝2∠A.
(1)求∠D的
5、度數(shù)；
(2)若CD＝2，求BD的長．
? 作法二 作弦心距：解決弦長的計算與證明問題
8．一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OA＝1 m，水面寬AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，則此時排水管水面寬為( )
A．1.4 m B．1.6 m C．1.8 m D．2 m
9．如圖9－ZT－9所示，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30，則CD的長為( )
A. B．2 C．2 D．8
? 作法三 構造直徑所對的圓周角：見直徑想直角
1
6、0． 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點C為弧BD的中點．若∠DAB＝40，則∠ABC＝________.
11．如圖，⊙O的直徑AB＝12 cm，C為AB延長線上一點，CP與⊙O相切于點P，過點B作弦BD∥CP，連接PD.
(1)求證：點P為的中點；
(2)若∠C＝∠D，求四邊形BCPD的面積．
? 作法四 判定直線與圓相切(作半徑或作垂直)
①有交點?作半徑，證垂直
12．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，以A
7、B為直徑作半圓O交AC于點D，E為BC的中點，連接DE.
(1)求證：DE是半圓O的切線；
(2)若∠BAC＝30，DE＝2，求AD的長．
13.如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點F，交△ABC的外接圓⊙O于點D，連接BD，過點D作直線DM，使∠BDM＝∠DAC.
求證：直線DM是⊙O的切線．
②無交點?作垂直，證半徑
14．如圖，點O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點C.
(1)求證：直線PB與⊙O相切；
(2)PO的延長線與⊙O相交于點E，若⊙O的半徑為3，PC＝4，求弦CE的長．
15.如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點，以O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點M，與AB、AD分別相交于點E、F.
求證：CD與⊙O相切.
2020年中考高頻考點--圓中常用的輔助線作法 講義（無答案）
