《離散型隨機(jī)變量的均值與方差》導(dǎo)學(xué)案

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1、第6課時　離散型隨機(jī)變量的均值與方差 1.理解離散型隨機(jī)變量的均值(或期望)與方差的意義. 2.會求離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能對結(jié)果作出判斷與選擇. 在一次選拔賽中,甲、乙兩射手在同一條件下進(jìn)行射擊,分布列如下:射手甲擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.4,0.2,0.4.如果你是教練,如何比較兩名射手的射擊水平,選拔誰呢?通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們就會得到答案. 問題1:離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為: X x1 x2 … xi … xn P p1

2、p2 … pi … pn 　　則稱E(X)=　　　　　　　　　　　　為隨機(jī)變量X的均值或　　　　　　,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的　　　　　　. 稱D(X)=　　　　　　為隨機(jī)變量X的方差,它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的　　　　　,其算術(shù)平方根D(X)為隨機(jī)變量X的　　　　　　. 問題2:利用方差判斷隨機(jī)變量的離散程度的標(biāo)準(zhǔn) 方差越　　　　,波動性越　　　　,即離散程度越　　　　;方差越　　　,波動性越　　　　,即離散程度越　　　　. 問題3: 兩點(diǎn)分布:設(shè)變量X只取0,1兩個值,并且P(X=0)=1-p, P(X=1)=p,則E(X)=　　　,D(X)=　　　　.

3、 問題4:(1)若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,即X~B(n,p),則E(X)=　　　　,D(X)=　　　　. (2)若隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則E(X)=　　　　. 1.樣本中共有五個個體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1,則樣本方差為(　　). A.65　　　　 B.65　　　　 C.2　　　　 D.2 2.已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下,且E(X)=6.3,則a的值為(　　). X 4 a 9 P 0.5 0.1 b 　　A.5 B.6 C.7 D.8 3.已知隨機(jī)變量X的概率分布如下表: X -1

4、 0 1 P 16 13 12 則X的方差為　　　　. 4.簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽,從中任意取3支,設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個,求X的數(shù)學(xué)期望. 離散型隨機(jī)變量的均值 根據(jù)歷次比賽或者訓(xùn)練記錄,甲、乙兩名射手在同樣的條件下進(jìn)行射擊,成績分布如下: 射手 8環(huán) 9環(huán) 10環(huán) 甲 0.3 0.1 0.6 乙 0.2 0.5 0.3 　　試比較甲、乙兩名射手射擊水平的高低. 離散型隨機(jī)變量的方差 若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0

5、用隨機(jī)變量X表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù). (1)求方差D(X)的最大值; (2)求2D(X)-1E(X)的最大值. 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 A、B兩臺機(jī)床同時加工零件,每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時,出次品的概率如下表所示: A機(jī)床 次品數(shù)X1 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 B機(jī)床 次品數(shù)X2 0 1 2 3 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10 　　問哪一臺機(jī)床加工質(zhì)量較好? 隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件,

6、經(jīng)質(zhì)檢,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元,而1件次品虧損2萬元.設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位:萬元)為X. (1)求X的分布列; (2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的均值); 某籃球運(yùn)動員投籃命中的概率p=0.6. (1)求一次投籃時投中次數(shù)X的期望和方差; (2)求重復(fù)5次投籃時投中次數(shù)Y的期望與方差. 甲、乙兩射手在同一條件下進(jìn)行射擊,分布列如下:射手甲擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手

7、乙擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.4,0.2,0.4.用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平. 1.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,則n,p的值分別是(　　). A.100和0.08　　　　　 B.20和0.4 C.10和0.2 D.10和0.8 2.同時拋兩枚均勻的硬幣10次,設(shè)兩枚硬幣出現(xiàn)不同面的次數(shù)為X,則D(X)等于(　　). A.158　　　　 B.154　　　　 C.52　　　　 D.5 3.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表,若E(X)=0,D(X)=1,則a=　　　　,b=　　　　. X -1 0 1

8、2 P a b c 112 4.一次單元測試由50個選擇題構(gòu)成,每個選擇題有4個選項(xiàng),其中恰有1個是正確答案.每題選擇正確得2分,不選或錯選得0分,滿分是100分.學(xué)生甲選對任一題的概率為0.8,求他在這次測試中成績的均值和標(biāo)準(zhǔn)差. 　　(2014年四川卷)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂,要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂獲得20分,出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為12,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)

9、立. (1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列. (2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少? (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn),若干盤游戲后,與最初的分?jǐn)?shù)相比.分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因. 　　考題變式(我來改編): 答案 第6課時　離散型隨機(jī)變量的均值與方差 知識體系梳理 問題1:x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn　數(shù)學(xué)期望　平均水平　∑i=1n(xi-E(X))2pi　平均偏離程度　標(biāo)準(zhǔn)差 問題2:大　大　大　小　小　小 問題3:p　p(1

10、-p) 問題4:(1)np　np(1-p)　(2)nMN 基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流 1.D　由題意知a+0+1+2+3=51,解得a=-1.所以樣本方差為 (-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)25=2, 故選D. 2.C　由分布列性質(zhì)知:0.5+0.1+b=1,∴b=0.4. ∴E(X)=40.5+a0.1+90.4=6.3,∴a=7,故選C. 3.59　直接由期望公式得E(X)=13,然后利用方差公式可得D(X)=(-1-13)216+(0-13)213+(1-13)212=59. 4.解:由題意可知X可以取3,4,5,6,則P(X=3)=1C63=12

11、0,P(X=4)=C32C63=320,P(X=5)=C42C63=310,P(X=6)=C52C63=12.由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)=5.25. 重點(diǎn)難點(diǎn)探究 探究一:【解析】設(shè)甲、乙兩名射手射擊一次所得的環(huán)數(shù)分別為X、Y,則E(X)=80.3+90.1+100.6=9.3; E(Y)=80.2+90.5+100.3=9.1. 由于E(X)>E(Y),這就是說甲射擊所得的環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望比射手乙稍高一些,所以甲的射擊水平高一些. 【小結(jié)】離散型隨機(jī)變量均值的實(shí)際意義是其取值的平均程度,在實(shí)際問題中這個平均程度能給我們的決策等提供一定的幫助,能對一些問題作出判斷. 　　探究二:

12、【解析】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,并且有P(X=1)=p,P(X=0)=1-p. 從而E(X)=0(1-p)+1p=p, D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2. (1)D(X)=p-p2=-(p2-p+14)+14=-(p-12)2+14,∵0

13、與其他知識的聯(lián)系,要求對兩點(diǎn)分布的分布列、期望、方差公式運(yùn)用熟練. 　　探究三:【解析】∵E(X1)=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E(X2)=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44, ∴E(X1)=E(X2). 又∵D(X1)=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)20.06+(3-0.44)20.04=0.6064, D(X2)=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)20.04+(3-0.44)20.10=0.9264, ∴D(X1)< D(X2),故A機(jī)床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較

14、好. 【小結(jié)】 E(X)是一個常數(shù),由隨機(jī)變量X的概率分布唯一確定,即隨機(jī)變量X是可變的,而E(X)是不變的,它描述X取值的平均狀態(tài).隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差既反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小,也反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度. 思維拓展應(yīng)用 應(yīng)用一:(1)由于1件產(chǎn)品的利潤為X,則X的所有可能取值為6,2,1,-2,由題意知P(X=6)=126200=0.63,P(X=2)=50200=0.25,P(X=1)=20200=0.1,P(X=-2)=4200=0.02. 故X的分布列為: X 6 2 1

15、 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 　　(2)1件產(chǎn)品的平均利潤為 E(X)=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34(萬元). 　　應(yīng)用二:(1)X的分布列為: X 0 1 P 0.4 0.6 　　則E(X)=00.4+10.6=0.6, D(X)=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24. (2)Y服從二項(xiàng)分布,即Y~B(5,0.6), ∴E(Y)=np=50.6=3,D(Y)=50.60.4=1.2. 　　應(yīng)用三:由題意得E(X甲)=80.2+90.6+100.2=9, D(X甲)=(8-9

16、)20.2+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4; 同理有E(X乙)=9,D(X乙)=0.8. 由上可知E(X甲)=E(X乙),D(X甲)

17、2,b=14,c=14. 4.解:成績的均值為E(Y)=E(2X)=2E(X)=2500.8=80(分); 成績的標(biāo)準(zhǔn)差為D(Y)=D(2X)=4D(X) =2500.80.2=4 2(分). 全新視角拓展 (1)X可能的取值為10,20,100,-200. 根據(jù)題意有: P(X=10)=C31(12)1(1-12)2=38, P(X=20)=C32(12)2(1-12)1=38, P(X=100)=C33(12)3(1-12)0=18, P(X=-200)=C30(12)0(1-12)3=18, 所以X的分布列為: X 10 20 100 -200 P 3

18、8 38 18 18 　　(2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18. 所以“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為 1-P(A1A2A3)=1-(18)3=1-1512=511512. 因此,玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是511512. (3)X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)=1038+2038+10018-20018=-54. 這表明,獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù), 因此,多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大. 思維導(dǎo)圖構(gòu)建 平均水平　平均偏離程度　p　p(1-p)　np　np(1-p)