中考數(shù)學模擬試題匯編專題26：圖形的相似與位似(含答案)

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1、圖形的相似與位似 一、 選擇題 1、（2016齊河三模）如圖，A，B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了A、B間的距離：先在AB外選一點C，然后測出AC，BC的中點M，N，并測量出MN的長為12m，由此他就知道了A、B間的距離．有關他這次探究活動的描述錯誤的是(　　) A.AB=24m B. MN∥AB C.△CMN∽△CAB D.CM:MA=1:2 答案：D 2、（2016齊河三模）如圖，在方格紙中，△ABC和△EPD的頂點均在格點上，要使△ABC∽△EPD，則點P所在的格點為(　　) A．P1 B．P2 C．P3

2、 D．P4 答案：B 3、（2016泰安一模）小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影子長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長為1.1m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂（　?。? A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 【考點】相似三角形的應用；比例的性質(zhì)． 【專題】應用題． 【分析】在同一時刻，物體的實際高度和影長成比例，據(jù)此列方程即可解答． 【解答】解：設小剛舉起的手臂超出頭頂是xm 根據(jù)同一時刻物高與影長成比例，得，x=0.5． 故選：A． 4.(2016浙江金華東區(qū)4月診斷檢測下列44的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在

3、格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（ ） A． B． C． D． A C B 答案：B 5、（2016齊河三模）如圖，A，B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了A、B間的距離：先在AB外選一點C，然后測出AC，BC的中點M，N，并測量出MN的長為12m，由此他就知道了A、B間的距離．有關他這次探究活動的描述錯誤的是(　　) A.AB=24m B. MN∥AB C.△CMN∽△CAB D.CM:MA=1:2 答案：D 6、（2016齊河三模）如圖，在方格紙中，△ABC和△EPD

4、的頂點均在格點上，要使△ABC∽△EPD，則點P所在的格點為(　　) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 答案：B 7、（2016泰安一模）小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影子長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長為1.1m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂（　?。? A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m 【考點】相似三角形的應用；比例的性質(zhì)． 【專題】應用題． 【分析】在同一時刻，物體的實際高度和影長成比例，據(jù)此列方程即可解答． 【解答】解：設小剛舉起的手臂超出頭頂是xm 根據(jù)同一時刻物高與

5、影長成比例，得，x=0.5． 故選：A． 8．第（6）題 D C A B E （2016天津北辰區(qū)一摸）如圖，在△ABC 中，點D，E 分別在AB，AC 邊上，DE∥BC，，BC=3.6， 則DE等于（　?。? （A） （B） （C） （D） 答案：C 9.（2016天津市南開區(qū)一模）如圖，△OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，∠OCD=90，CO=CD，若B（1，0），則點C的坐標為（　?。? A．（1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（） D．（1，﹣1） 【考

6、點】位似變換；坐標與圖形性質(zhì)． 【分析】首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出A點坐標，再利用位似是特殊的相似，若兩個圖形△ABC和△A′B′C′以原點為位似中心，相似比是k，△ABC上一點的坐標是（x，y），則在△A′B′C′中，它的對應點的坐標是（kx，ky）或（﹣kx，ky），進而求出即可． 【解答】解：∵∠OAB=∠OCD=90，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB與等腰Rt△OCD是位似圖形，點B的坐標為（1，0）， ∴BO=1，則AO=AB=， ∴A（，﹣）， ∵等腰Rt△OAB與等腰Rt△OCD是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：2， ∴點C的坐標為：（1，﹣1）．

7、 故選：D． 【點評】此題主要考查了位似變換的性質(zhì)，正確理解位似與相似的關系，記憶關于原點位似的兩個圖形對應點坐標之間的關系是解題的關鍵． 10.（2016天津市南開區(qū)一模）將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60，在Rt△EDF中，∠EDF=90，∠E=45）如圖擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C，將△EDF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜60），DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，則的值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CD=AD=DB，則∠ACD=

8、∠A=30，∠BCD=∠B=60，由于∠EDF=90，可利用互余得∠CPD=60，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠PDM=∠CDN=α，于是可判斷△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD中利用正切的定義得到tan∠PCD=tan30=，于是可得=． 【解答】解：∵點D為斜邊AB的中點， ∴CD=AD=DB， ∴∠ACD=∠A=30，∠BCD=∠B=60， ∵∠EDF=90， ∴∠CPD=60， ∴∠MPD=∠NCD， ∵△EDF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜60）， ∴∠PDM=∠CDN=α， ∴△PDM∽△CDN， ∴=， 在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30=，

9、 ∴=tan30=． 故選C． 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)． 11．(2016重慶巴南 一模）如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC．若=，AD=9，則AB等于（　?。? A．10 B．11 C．12 D．16 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到=，代入計算即可得到答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴==，又AD=9， ∴AB=12， 第12題圖 故選：C． 12．(2016山西大同 一模）如圖所示，已知E（-4，2）

10、和F（-1，1），以原點O為位似中心，按比例尺2：1把△EFO縮小，則點E的對應點E′的坐標為（　?。? A．（2，1） B．（，） C．（2，-1） D．（2，） 答案：C 13．(2016上海普陀區(qū)一模)如圖，BD、CE相交于點A，下列條件中，能推得DE∥BC的條件是（　?。? A．AE：EC=AD：DB B．AD：AB=DE：BC C．AD：DE=AB：BC D．BD：AB=AC：EC 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】根據(jù)比例式看看能不能推出△ABC∽△ADE即可． 【解答】解：A、∵AE：EC=AD：DB， ∴=， ∴都減去1得： =， ∵

11、∠BAC=∠EAD， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠D=∠B， ∴DE∥BC，故本選項正確； B、根據(jù)AD：AB=DE：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出內(nèi)錯角相等，不能推出DE∥BC，故本選項錯誤； C、根據(jù)AD：DE=AB：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出內(nèi)錯角相等，不能推出DE∥BC，故本選項錯誤； D、根據(jù)BD：AB=AC：EC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出內(nèi)錯角相等，不能推出DE∥BC，故本選項錯誤； 故選A． 【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，能理解平行線分線段成比例定理的內(nèi)容是解此題的關鍵． 14．(2016山東棗莊模擬)如

12、圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，下列條件中不能判斷△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． = D． = 【考點】相似三角形的判定． 【分析】由于兩三角形有公共角，則根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似可對A、B選項進行判斷；根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可對C、D選項進行判斷． 【解答】解：∵∠DAE=∠CAB， ∴當∠AED=∠B或∠ADE=∠C時，△ABC∽△AED； 當 = 時，△ABC∽△AED． 故選D． 【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形

13、相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似． 15．(2016上海普陀區(qū)一模)如圖，在△ABC中，D是AB的中點，DE∥BC，若△ADE的面積為3，則△ABC的面積為（　?。? A．3 B．6 C．9 D．12 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理． 【分析】由平行可知△ADE∽△ABC，且=，再利用三角形的面積比等于相似比的平方可求得△ABC的面積． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵D是AB的中點， ∴=， ∴=（）2=，且S△ADE=3， ∴=， ∴S△ABC=12， 故選D． 【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三

14、角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵． 16. (2016陜西師大附中模擬)如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，BD=3， AE=4，則EC的長為（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 A B C M N 第17題圖 【答案】B 17．(2016上海浦東模擬)如圖，△ABC和△AMN都是等邊三角形，點M是△ABC的重心，那么的值為（ B ） （A）； （B）； （C）； （D）． 18.（2016河北石家莊一模）按如圖所示的方法折紙，下面結(jié)論正確的個數(shù)（　?。?/p>

15、 ①∠2=90；②∠1=∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE=∠3． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的判定定理解答即可． 【解答】解：由翻折變換的性質(zhì)可知，∠AEB+∠FEC=180=90， 則∠AEF=90，即∠2=90，①正確； 由圖形可知，∠1＜∠AEC，②錯誤； ∵∠2=90， ∴∠1+∠3=90，又∠1+∠BAE=90， ∴∠BAE=∠3，④正確； ∵∠BAE=∠3，∠B=∠C=90， ∴△ABE∽△ECF，③正確． 故選：C． 【點評】本題考

16、查的是翻折變換的性質(zhì)，翻折變換是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等． 19.（2016河大附中一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖：第一步，]分別以點A.D為圓心，以大于AD的長為半徑在AD兩側(cè)作 弧，交于兩點M、N;第二步，連接MN分別交AB、AC于點E、F;第三步，連接DE、DF.若BE=8，ED =4，CD=3，則BD的長是 ( ) A．4 B．6 C．8 D．12 答案：B 20.（2016湖北襄陽一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC

17、=60.若動點P以2cm/s的速度從B點出發(fā)沿著B→A的方向運動，點Q從A點出發(fā)沿著A→C的方向運動，當點P到達點A時，點Q也隨之停止運動．設運動時間為t(s)，當△APQ是直角三角形時，t的值為（ ） A. B. C. 或 D. 或或 答案：C 21. （2016廣東河源一模）如圖，已知D，E分別是△ABC的AB， AC邊上的點， 且S四邊形DBCE＝1∶8，那么 等于( ) A．1∶9 B．1∶3 C．1∶8 D．1∶2 答案：B 22. （2016廣

18、東深圳聯(lián)考）如圖，在同一時刻，身高1.6米的小麗在陽光下的影長為2.5米，一棵大樹的影長為5米，則這棵樹的高度為 A．7.8米 B．3.2米 C．2.3米 D．1.5米 答案：B 23.（2016河南三門峽一模）如圖，在△ABC 中，∠C=90，BC=3，D，E 分別在 AB、 AC上，將△ADE沿DE翻折后，點A正好落在點A′處，若A′為CE的中點，則折痕DE的 長為( ) A. B. 3 C. 2 D. 1 答案：D 二、填空題 1．(2016浙江杭州蕭山區(qū)模擬)如圖，已知Rt

19、△AOB中，∠AOB=90，AO=5，BO=3，點E、M是線段AB上的兩個不同的動點（不與端點重合），分別過E、M作AO的垂線，垂足分別為K、L． ①△OEK面積S的最大值為　　； ②若以OE、OM為邊構(gòu)造平行四邊形EOMF，當EM⊥OF時，OK+OL=　?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】①根據(jù)條件證明△OBA∽△KEA，得到比例式，用含OK的式子表示KE，根據(jù)三角形的面積公式，列出關于OK的關系式即可； ②根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系，求出答案． 【解答】解：①∵EK⊥OA，∠AOB=90， ∴△OBA∽△KEA．

20、 ∴=， ∴， ∴KE=， ∴S=OK?KE=， 設OK=x，則S==﹣， ∴當x=時，S有最大值，最大值為； ②解：當EM⊥OF時，平行四邊形EOMF為菱形，OE的取值范圍為＜OE＜3， 設OK=a，OL=b， 由（1）得，KE=，ML=， 由OE=OM得a2+[]2=b2+[]2． 設y=x2+[]2=x2﹣x+9， 則當x1=a，x2=b時，函數(shù)y的值相等． 函數(shù)y的對稱軸為直線x 即= 解得a+b=，即OK+OL=． 故答案為：，． 【點評】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程、二次函數(shù)的知識，綜合性很強，屬于較難題，需要學生

21、有綜合運用知識的能力． 2．(2016浙江鎮(zhèn)江模擬)在直角坐標系中有兩點A(6，3)、B(6，0)．以原點O為位似中心，把線段AB按相似的1:3縮小后得到線段CD，點C在第一象限（如圖），則點C的坐標為　 ▲ 　． 答案：（2，1） 3.（2016棗莊41中一模）如圖，邊長為6的正方形ABCD中，點E是BC上一點，點F是AB上一點．點F關于直線DE的對稱點G恰好在BC延長線上，F(xiàn)G交DE于點H．點M為AD的中點，若MH=，則EG　?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】連接DF，DG，過H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，由點F，點G關于直線DE的對稱，得

22、到DF=DG，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90，推出Rt△AFD≌Rt△CDG，證得△FDG是等腰直角三角形，推出四邊形APHQ是矩形，證得△HPF≌△DHQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到HP=HQ，推出△MHQ≌△DHQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DH=MH=，DQ=QM=，求得CH=DH=，通過△DQH∽△CEH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】解：連接DF，DG，過H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q， ∵點F，點G關于直線DE的對稱， ∴DF=DG， 正方形ABCD中， ∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90， ∴∠GCD=90，

23、在Rt△AFD與Rt△CDG中，， ∴Rt△AFD≌Rt△CDG， ∴∠ADF=∠CDG， ∴∠FDG=∠ADC=90， ∴△FDG是等腰直角三角形， ∵DH⊥CF， ∴DH=FH=FG， ∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90， ∴四邊形APHQ是矩形， ∴∠PHQ=90， ∵∠DHF=90， ∴∠PHF=∠DHQ， 在△PFF與△DQH中，， ∴△HPF≌△DHQ， ∴HP=HQ， ∵∠PHF=90﹣∠FHM，∠QHM=90﹣∠FHM， ∴∠PHF=∠QHM， ∴∠QHM=∠DHQ， 在△MHQ與△DHQ中，， ∴△MHQ≌△DHQ， ∴DH=MH=，

24、DQ=QM=， ∴CH=DH=， ∵點M為AD的中點， ∴DM=3，∴DQ=QM=， ∴HQ==， ∵∠QDH=∠HEG， ∴△DQH∽△CEH， ∴， 即， ∴EG=． 故答案為：． 4.（2016齊河三模）如圖，光源P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB∥CD，AB=2m，CD=6m，點P到CD的距離是2.7m，則______m． 答案：1.8 5.（2016天津市南開區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一折線段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，F(xiàn)C=10，則正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為　80π﹣1

25、60?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】首先連接AC，則可證得△AEM∽△CFM，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得EM與FM的長，然后由勾股定理求得AM與CM的長，則可求得正方形與圓的面積，則問題得解． 【解答】解：連接AC， ∵AE丄EF，EF丄FC， ∴∠E=∠F=90， ∵∠AME=∠CMF， ∴△AEM∽△CFM， ∴， ∵AE=6，EF=8，F(xiàn)C=10， ∴， ∴EM=3，F(xiàn)M=5， 在Rt△AEM中，AM==3， 在Rt△FCM中，CM==5， ∴AC=8， 在Rt△ABC中，AB=AC

26、?sin45=8?=4， ∴S正方形ABCD=AB2=160， 圓的面積為：π?（）2=80π， ∴正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為80π﹣160． 故答案為：80π﹣160． 【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形與圓的面積的求解方法，以及勾股定理的應用．此題綜合性較強，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應用． 6．(2016重慶巴蜀 一模）如圖，E是?ABCD邊AB延長線上的一點，AB=4BE，連接DE交BC于點F，則△DCF與四邊形ABFD面積的比是　 ?。? 【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，得出△BEF∽△DC

27、F，得出S△DCF=16S△BEF，同理：S△ACD=25S△BEF，即可得出結(jié)果． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC， ∴△BEF∽△DCF， ∴=（）2， ∵AB=4BE， ∴CD=4BE， ∴∴=（）2， ∴S△DCF=16S△BEF， 同理：S△ACD=25S△BEF， ∴=， ∴==， 即△DCF與四邊形ABFD面積的比是2：3， 故答案為． 7．(2016重慶銅梁巴川一模）如圖，已知D、E分別是△ABC的邊AB和AC上的點，DE∥BC，BE與CD相交于點F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于　

28、?。? 【分析】由DE∥BC，證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，由于△DEF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】解：∵AE=1，CE=2， ∴AC=3， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=， ∵DE∥BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴=， 故答案為：1：3． 8．(2016重慶銅梁巴川一模）如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為（0，4），直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點A，B，點M是直線AB上的一個動點，則PM長的最小值為　 ?。? 【分析】認真審題，根據(jù)垂線段最短得出PM⊥AB時線段PM最短，分別求出PB、

29、OB、OA、AB的長度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本題的答案． 【解答】解：如圖，過點P作PM⊥AB，則：∠PMB=90， 當PM⊥AB時，PM最短， 因為直線y=x﹣3與x軸、y軸分別交于點A，B， 可得點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，﹣3）， 在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB==5， ∵∠BMP=∠AOB=90，∠B=∠B，PB=OP+OB=7， ∴△PBM∽△ABO， ∴=， 即：， 所以可得：PM=． 9．(2016云南省曲靖市羅平縣二模)如圖，在△ABC中點D、E分別在邊AB、AC上，請?zhí)砑右粋€條件：　∠AEB=∠B（答案不唯一）　

30、，使△ABC∽△AED． 【考點】相似三角形的判定． 【專題】開放型． 【分析】根據(jù)∠AEB=∠B和∠A=∠A可以求證△AED∽△ABC，故添加條件∠AEB=∠B即可以求證△AED∽△ABC． 【解答】解：∵∠AEB=∠B，∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC， 故添加條件∠AEB=∠B即可以使得△AED∽△ABC， 故答案為：∠AEB=∠B（答案不唯一）． 【點評】本題考查了相似三角形的判定，等邊三角形對應角相等的性質(zhì)，本題中添加條件∠AEB=∠B并求證△AED∽△ABC是解題的關鍵． 10．(2016上海普陀區(qū)一模)如果，那么=　?。? 【考點】比例的性質(zhì)． 【分析】

31、根據(jù)比例設x=2k，y=5k，然后代入比例式進行計算即可得解． 【解答】解：∵ =， ∴設x=2k，y=5k， 則===． 故答案為：． 【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設k法”表示出x、y可以使計算更加簡 11．(2016上海普陀區(qū)一模)已知點P把線段分割成AP和PB兩段（AP＞PB），如果AP是AB和PB的比例中項，那么AP：AB的值等于　?。? 【考點】黃金分割． 【分析】根據(jù)黃金分割的概念和黃金比是解答即可． 【解答】解：∵點P把線段分割成AP和PB兩段（AP＞PB），AP是AB和PB的比例中項， ∴點P是線段AB的黃金分割點， ∴AP：AB=， 故答案為：．

32、 【點評】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比． 12．(2016山東棗莊模擬)如圖，以點O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，則△ABC與△DEF的面積之比為　1：4?。? 【考點】位似變換． 【分析】由AD=OA，易得△ABC與△DEF的位似比等于1：2，繼而求得△ABC與△DEF的面積之比． 【解答】解：∵以點O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF，AD=OA， ∴AB：DE=OA：OD=1：2， ∴△ABC與△DEF的面積之比為：1：4． 故

33、答案為：1：4． 【點評】此題考查了位似圖形的性質(zhì)．注意相似三角形的面積比等于相似比的平方． 13．(2016上海普陀區(qū)一模)已知在Rt△ABC中，∠C=90，點P、Q分別在邊AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ與△ABC相似，那么AP的長等于　或　． 【考點】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式解答即可． 【解答】解：∵AC=4，BC=3，∠C=90， ∴AB==5， 當△APQ∽△ABC時， =，即=， 解得，AP=； 當△APQ∽△ACB時， =，即， 解得，AP=， 故答案為：或． 【點評】本題

34、考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應邊的比相等、正確運用分情況討論思想是解題的關鍵． 14．(2016上海普陀區(qū)一模)已知A（3，2）是平面直角坐標中的一點，點B是x軸負半軸上一動點，聯(lián)結(jié)AB，并以AB為邊在x軸上方作矩形ABCD，且滿足BC：AB=1：2，設點C的橫坐標是a，如果用含a的代數(shù)式表示D點的坐標，那么D點的坐標是?。?，）?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)． 【分析】如圖，過C作CH⊥x軸于H，過A作AF⊥x軸于F，AG⊥y軸于G，過D作DE⊥AG于E，于是得到∠CHB=∠AFO=∠AED=90，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DAE=∠FAB，推出△BCH

35、∽△ABF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得BH=AF=1，CH=BF=，通過△BCH≌△ADE，得到AE=BH=1，DE=CH=，求得EG=3﹣1=2，于是得到結(jié)論． 【解答】解：如圖，過C作CH⊥x軸于H，過A作AF⊥x軸于F，AG⊥y軸于G，過D作DE⊥AG于E， ∴∠CHB=∠AFO=∠AED=90， ∴∠GAF=90，∴∠DAE=∠FAB， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90， ∴∠BCH=∠ABF， ∴△BCH∽△ABF， ∴， ∵A（3，2）， ∴AF=2，AG=3， ∵點C的橫坐標是a， ∴OH=﹣a， ∵BC：AB=1：2， ∴BH=AF=1

36、，CH=BF=， ∵△BCH∽△ABF， ∴∠HBC=∠DAE， 在△BCH與△ADE中，， ∴△BCH≌△ADE， ∴AE=BH=1，DE=CH=， ∴EG=3﹣1=2， ∴D（2，）． 故答案為：（2，）． 【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關鍵． 15.（2016吉林長春朝陽區(qū)一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1、l2、l3于點A、B、C；過點B的直線DE分別交l1、l3于點D、E．若AB=2，BC=4，BD=1.5，則線段BE的長為　3?。? 【考點】平行線分

37、線段成比例． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到=，然后把AB、BC、BD的值代入后利用比例的性質(zhì)可計算出BE的長． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴=，即=， ∴BE=3． 故答案為3． 【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例． 16.（2016河北石家莊一模）如圖，正方形ABCD與正方形EFGH是位似形，已知A（0，5），D（0，3），E（0，1），H（0，4），則位似中心的坐標是?。?，），（﹣6，13）?。? 【考點】位似變換；坐標與圖形性質(zhì)． 【分析】分別利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，

38、再利用當B與F是對應點，以及當B與E是對應點分別求出位似中心． 【解答】解：設當B與F是對應點，設直線BF的解析式為：y=kx+b， 則， 解得：， 故直線BF的解析式為：y=﹣x+， 則x=0時，y=， 即位似中心是：（0，）， 設當B與E是對應點，設直線BE的解析式為：y=ax+c， 則， 解得：， 故直線BE的解析式為：y=﹣2x+1， 設直線HF的解析式為：y=dx+e， 則， 解得：， 故直線HF的解析式為：y=﹣x+5， 則， 解得： 即位似中心是：（﹣6，13）， 綜上所述：所述位似中心為：（0，），（﹣6，13）． 故答案為：（0，），（﹣

39、6，13）． 【點評】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正確分類討論得出是解題關鍵． 17.（2016廣東東莞聯(lián)考）將正方形與直角三角形紙片按如圖所示方式疊放在一起，已知正方形的邊長為20cm，點O為正方形的中心，AB=5cm，則CD的長為　20　cm． 【考點】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)題意四邊形BOCE是正方形，且邊長等于大正方形的邊長的一半，等于10cm，再根據(jù)△DCE和△DOA相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可． 【解答】解：如圖， ∵點O為正方形的中心， ∴四邊形BOCE是正方形，邊長=202=10c

40、m， ∵CE∥AO， ∴△DCE∽△DOA， ∴， 即， 解得DC=20cm． 故答案為：20． 【點評】本題主要考查正方形各邊都相等，每個角都是直角的性質(zhì)和相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運用． 18.（2016廣東深圳聯(lián)考）如圖，已知矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，P是位似中心，若點B的坐標為（2，4），點E的坐標為（﹣1，2），則點P的坐標為　 　 答案：（-2，0） 19.（2016河南三門峽一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點，分別連結(jié)AE、BD相交于點O，若AD=5，，則EC=__________ 答案：2

41、 三、解答題 1．(2016浙江杭州蕭山區(qū)模擬)平面直角坐標系中，有A、B、C三點，其中A為原點，點B和點C的坐標分別為（5，0）和（1，2）． （1）證明：△ABC為Rt△． （2）請你在直角坐標系中找一點D，使得△ABC與△ABD相似，寫出所有滿足條件的點D的坐標，并在同一坐標系中畫出所有符合要求的三角形． （3）在第（2）題所作的圖中，連接任意兩個直角三角形（包括△ABC）的直角頂點均可得到一條線段，在連接兩點所得的所有線段中任取一條線段，求取到長度為無理數(shù)的線段的概率． 【考點】相似形綜合題；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式． 【專題】綜合題；分類討論． 【分析

42、】（1）過點C作CH⊥x軸于H，如圖1，只需運用勾股定理求出AB2、AC2、BC2，然后運用勾股定理的逆定理就可解決問題； （2）△ABC與△ABD相似，對應關系不確定，故需分六種情況（①若△ABC∽△ABD，②若△ABC∽△BAD，③若△ABC∽△ADB，④若△ABC∽△DAB，⑤若△ABC∽△BDA，⑥若△ABC∽△DBA）討論，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題； （3）圖中的直角三角形的直角頂點有A、B、C、D1、D2、D3，只需求出任意兩直角頂點的連線段的條數(shù)和長度為無理數(shù)的線段的條數(shù)，就可解決問題． 【解答】解：（1）過點C作CH⊥x軸于H，如圖1， ∵A（0，0），

43、B（5，0），C（1，2）， ∴AC2=12+22=5，BC2=（5﹣1）2+22=20，AB2=52=25， ∴AB2=AC2+BC2， ∴△ABC為Rt△； （2）①若△ABC∽△ABD，則有D1（1，﹣2）； ②若△ABC∽△BAD，則有D2（4，﹣1），D3（4，1）； ③若△ABC∽△ADB，則有D4（5，﹣10），D5（5，10）； ④若△ABC∽△DAB，則有D6（5，﹣2.5），D7（5，2.5）； ⑤若△ABC∽△BDA，則有D8（0，﹣10），D9（0，10）； ⑥若△ABC∽△DBA，則有D10（0，﹣2.5），D11（0，2.5）； 所有符合要求

44、的三角形如圖所示． （3）圖中的直角三角形的直角頂點有A、B、C、D1、D2、D3． 任意兩直角頂點的連線段共有=15條， 其中AB=5，CD1=D2D3=4，CD2=D1D3=5，CD3=D1D2=3， 故長度為有理數(shù)的線段共7條，長度為無理數(shù)的線段共8條， 則取到長度為無理數(shù)的線段的概率為p=． 【點評】本題主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性質(zhì)、概率公式等知識，運用分類討論的思想是解決第（2）小題的關鍵． ? C P M B O A C N 3．(2016浙江鎮(zhèn)江模擬)（本小題滿分9分） 如圖，AB為⊙O的直徑，AB=2，點在M在QO上，

45、MC垂直平分OA，點N為直線AB上一動點（N不與A重合），若△MNP∽△MAC，PC與直線AB所夾銳角為α． （1）若AM=AC，點N與點O重合，則α= ▲ ； （2）若點C、點N的位置如圖所示，求α的度數(shù)； （3）當直線PC與⊙O相切時，則MC的長為 ▲ ． （1）如圖 ，α= 30 ； （2）連接MO， M P O A C （N） ∵MC垂直平分AO，∴MA=MO=AO ∴∠AMO=60，則∠AMC=30． ∵△MAQ∽△MNP， ∴，， ∴∠AMN=∠QMP， ∴△AMN∽△QMP， ∴∠MAN=∠

46、MQP， ∴α=∠AMQ=30； （3）． 4.（2016青島一模）把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90，∠DEF=45，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當點P移動到點B時，點P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）． （1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和A

47、Q的長，并寫出t的取值范圍； （2）連接PE，設四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值； （3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】動點型． 【分析】（1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達出CQ、AQ，從而得出結(jié)論， （2）作PG⊥x軸，將四邊形的面積表示為S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解， （3）根據(jù)題意以及三角形相似對邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】（1）解：AP=2t ∵∠EDF=90，∠DEF=45， ∴∠CQE=45=∠DEF， ∴CQ=CE=t， ∴AQ

48、=8﹣t， t的取值范圍是：0≤t≤5； （2）過點P作PG⊥x軸于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t， ∴PG=PBSinB=（10﹣2t） ∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE== ∴當（在0≤t≤5內(nèi)），y有最大值，y最大值=（cm2） （3）若AP=AQ，則有2t=8﹣t解得：（s） 若AP=PQ，如圖①：過點P作PH⊥AC，則AH=QH=，PH∥BC ∴△APH∽△ABC， ∴， 即， 解得：（s） 若AQ=PQ，如圖②：過點Q作QI⊥AB，則AI=PI=AP=t ∵∠AIQ=∠ACB=90∠A=∠A， ∴△AQI

49、∽△ABC ∴即， 解得：（s） 綜上所述，當或或時，△APQ是等腰三角形． 5．（2016天津北辰區(qū)一摸）（本小題10分） 如圖（1），在平面直角坐標系中，已知點（，），點（，）. 沿軸向右平移Rt△，得Rt△，直線與或的延長線相交于點. 設（，）（），以點，，，為頂點的四邊形面積記為. （Ⅰ）求與的函數(shù)關系式； （Ⅱ）用含（）的式子表示； （Ⅲ）當，求點的坐標（直接寫出結(jié)果）. B O A 圖（2） 圖（1） B O A D 第（1）題 （圖2為備用圖） . 解：（Ⅰ）當點與點不重合時，∵ ∥，

50、 ∴ △∽△. ∴ . 圖（1） B O A D 如圖（1），點D在AB上， 有. ∴ . 即. 如圖（2），點D在BA延長線上， 有. ∴ . 即. 當點與點重合時，與重合，此時，，. ∴ 與的關系是：. （Ⅱ）① 如圖（1），當 時，點D在AB上， 圖（2） B O A D 有 . ∴ 把 ，代入， 得. ∴ （）. ② 如圖（2），當時，點D在BA延長線上，

51、 ∵ 平移△得到△， ∴ ，. ∵ ∴ . 把 代入，得 . 綜上， （Ⅲ）D（，）. 把代入，得 ，，舍. 把，代入，得. 代入，得(舍) ，（舍）. 6．（2016天津市南開區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是上兩點，AB=13，AC=5． （1）如圖（1），若點P是的中點，求PA的長； （2）如圖（2），若點P是的中點，求PA的長． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；圓心角、弧

52、、弦的關系；圓周角定理． 【專題】幾何綜合題． 【分析】（1）根據(jù)圓周角的定理，∠APB=90，P是弧AB的中點，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得． （2）根據(jù)垂徑定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，從而得出△ACB∽△0NP，根據(jù)對應邊成比例求得ON、AN的長，利用勾股定理求得NP的長，進而求得PA． 【解答】解：（1）如圖（1）所示，連接PB， ∵AB是⊙O的直徑且P是的中點， ∴∠PAB=∠PBA=45，∠APB=90， 又∵在等腰三角形△APB中有AB=13， ∴PA===． （2）如圖（2）所示：連接BC．OP相交于M點，作PN⊥AB

53、于點N， ∵P點為弧BC的中點， ∴OP⊥BC，∠OMB=90， 又因為AB為直徑 ∴∠ACB=90， ∴∠ACB=∠OMB， ∴OP∥AC， ∴∠CAB=∠POB， 又因為∠ACB=∠ONP=90， ∴△ACB∽△0NP ∴=， 又∵AB=13 AC=5 OP=， 代入得 ON=， ∴AN=OA+ON=9 ∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36 在Rt△ANP中 有PA===3 ∴PA=3． 【點評】本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線是本題的關鍵． 7.（2016天津市南開區(qū)

54、一模）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（﹣4，0），點B的坐標是（0，b）（b＞0）．P是直線AB上的一個動點，作PC⊥x軸，垂足為C．記點P關于y軸的對稱點為P′（點P′不在y軸上），連接PP′，P′A，P′C．設點P的橫坐標為a． （1）當b=3時， ①求直線AB的解析式； ②若點P′的坐標是（﹣1，m），求m的值； （2）若點P在第一象限，記直線AB與P′C的交點為D．當P′D：DC=1：3時，求a的值； （3）是否同時存在a，b，使△P′CA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a，b的值；若不存在，請說明理由． 【考點】相似三角形的判定與性

55、質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；等腰直角三角形． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）①利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式； ②把（﹣1，m）代入函數(shù)解析式即可求得m的值； （2）可以證明△PP′D∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可求解； （3）分P在第一，二，三象限，三種情況進行討論．利用相似三角形的性質(zhì)即可求解． 【解答】解：（1）①設直線AB的解析式為y=kx+3， 把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0， ∴k=， ∴直線的解析式是：y=x+3， ②P′（﹣1，m）， ∴點P的坐標是（1，m）， ∵點P在直線AB上， ∴m=1+3=； （2）

56、∵PP′∥AC， △PP′D∽△ACD， ∴=，即=， ∴a=； （3）以下分三種情況討論． ①當點P在第一象限時， 1）若∠AP′C=90，P′A=P′C（如圖1） 過點P′作P′H⊥x軸于點H． ∴PP′=CH=AH=P′H=AC． ∴2a=（a+4） ∴a= ∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB ∴==，即=， ∴b=2 2）若∠P′AC=90，（如圖2），則四邊形P′ACP是矩形，則PP′=AC． 若△PCA為等腰直角三角形，則：P′A=CA， ∴2a=a+4 ∴a=4 ∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB ∴==1，即=1 ∴b=4

57、3）若∠P′CA=90， 則點P′，P都在第一象限內(nèi)，這與條件矛盾． ∴△P′CA不可能是以C為直角頂點的等腰直角三角形． ②當點P在第二象限時，∠P′CA為鈍角（如圖3），此時△P′CA不可能是等腰直角三角形； ③當P在第三象限時，∠P′AC為鈍角（如圖4），此時△P′CA不可能是等腰直角三角形． 所有滿足條件的a，b的值為：，． 【點評】本題主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點的不同位置進行分類求解． 8.（2016天津五區(qū)縣一模）如圖，AB為⊙O的直徑，

58、C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB． （1）求證：DC為⊙O的切線； （2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求AC的長． 【考點】切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點； （2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題． 【解答】（1）證

59、明：連接OC ∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠OAC ∴∠DAC=∠OCA ∴OC∥AD ∵AD⊥CD∴OC⊥CD ∴直線CD與⊙O相切于點C； （2）解：連接BC，則∠ACB=90． ∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD?AB， ∵⊙O的半徑為3，AD=4， ∴AB=6， ∴AC=2． 【點評】此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解題時 首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的想這已知條件證明三角形相似即可解決問題． 9. (2016重慶巴蜀 一模）如圖1，正

60、方形ABCD中，點E為AD上任意一點，連接BE，以BE為邊向BE右側(cè)作正方形BEFG，EF交CD于點M，連接BM，N為BM的中點，連接GN，F(xiàn)N． （1）若AB=4，AE：DE=3：1，求EM的長； （2）求證：GN=FN； （3）如圖2，移動點E，使得FN⊥CD于點Q時，請?zhí)骄緾M與DE的數(shù)量關系并說明理由． 【分析】（1）根據(jù)題意分別求出AE、DE，證明△ABE∽△DEM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計算即可； （2）連接EN，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EN=BM，證明△NBG≌△NEF即可； （3）延長ED，過點F作FH⊥ED，交ED的延長線于H，證明△ABE≌△HEF

61、，得到AE=HF，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DR=FH，等量代換即可． 【解答】解：（1）∵AB=4，AE：DE=3：1， ∴AE=3，DE=1， ∴BE==5， ∵∠BEF=90，∠BEF=90，∠BEF=90， ∴△ABE∽△DEM， ∴=，即=， 解得，EM=； （2）連接EN， ∵∠BEF=90，N為BM的中點， ∴EN=BM=BN=NM， ∴∠NBE=∠NEB， ∴∠NBG=∠NEF， 在△NBG和△NEF中， ， ∴△NBG≌△NEF， ∴GN=FN； （3）如圖2，延長ED，過點F作FH⊥ED，交ED的延長線于H， ∵∠BCD=90，N為BM的中點，

62、 ∴CN=BM=BN=NM， ∵FN⊥CD， ∴CR=MR=CM， ∵∠A=∠H=90， ∴∠ABE+∠AEB=90， ∵∠BEF=90， ∴∠AEB+∠FEH=90， ∴∠ABE=∠FEH， 在△ABE和△HEF中， ， ∴△ABE≌△HEF， ∴AE=HF， ∵∠H=∠RDH=∠DRF=90， ∴四邊形DRFH是矩形， ∴AE=HF=DR， ∴AD﹣AE=CD=DR，即DE=CR， ∴DE=CM． 10.(2016四川峨眉 二模）如圖（甲），在中，，、分別 是、邊上的點，且，與相交于點，（1）求 的值； （2）如圖(乙)，在中，，點在邊的延長線上，在

63、邊上，且， 求①； ②若，求的值. 答案： 解：(1)過作∥，交的延長線于點（如圖11甲）, ∴， ∴． 又∵，， ∴． 又∵, ∴， ∴， 即：． (2) ①過作∥，交的延長線于點(如圖11乙)， ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 即：．

64、 ②在①的條件下， ∵，， ∴、、分別為、、． 又∵， ∴，． 由可得， ∴、為等腰直角三角形， ∴、、． 又∵， ∴， ∴． 11．(2016四川峨眉 二模）如圖，中，是延長線上一點，與交于點，． （1）求證：∽； （2）若的面積為，求梯形的面積． 答案： （1）證明：在中，是延長線上一點 ∴∥ ∴ 又∵ （2）解：∵∥， ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴，

65、 ∴． 又∵的面積為， ∴， ∴ ， 所以梯形的面積為 ==． 12．(2016上海普陀區(qū)一模)已知：如圖，有一塊面積等于1200cm2的三角形紙片ABC，已知底邊與底邊BC上的高的和為100cm（底邊BC大于底邊上的高），要把它加工成一個正方形紙片，使正方形的一邊EF在邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上，求加工成的正方形鐵片DEFG的邊長． 【考點】相似三角形的應用． 【分析】作AM⊥BC于M，交DG于N，設BC

66、=acm，BC邊上的高為hcm，DG=DE=xcm，根據(jù)題意得出方程組求出BC和AM，再由平行線得出△ADG∽△ABC，由相似三角形對應高的比等于相似比得出比例式，即可得出結(jié)果． 【解答】解：作AM⊥BC于M，交DG于N，如圖所示： 設BC=acm，BC邊上的高為hcm，DG=DE=xcm， 根據(jù)題意得：， 解得：，或（不合題意，舍去）， ∴BC=60cm，AM=h=40cm， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴，即， 解得：x=24， 即加工成的正方形鐵片DEFG的邊長為24cm． 【點評】本題考查了方程組的解法、相似三角形的運用；熟練掌握方程組的解法，證明三角形相似得出比例式是解決問題的關鍵．