初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答 第5講 一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解

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1、 第五講 一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解 在數(shù)學課外活動中，在各類數(shù)學競賽中，一元二次方程的整數(shù)解問題一直是個熱點，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識相結(jié)合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強，備受關(guān)注，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的基本策略有： 從求根入手，求出根的有理表達式，利用整除求解； 從判別式手，運用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設△=)，通過窮舉，逼近求解； 從韋達定理入手，從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù)，得到關(guān)于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解； 從變更主元入人，當方程中參數(shù)次數(shù)較低時，可考慮以參數(shù)為主元求解．

2、 注：一元二次方程的整數(shù)根問題，既涉及方程的解法、判別式、韋達定理等與方程相關(guān)的知識，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識密切相關(guān)． 【例題求解】 【例1】若關(guān)于的方程的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)是的值有 個． 思路點撥 用因式分解法可得到根的簡單表達式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準確． 注：系數(shù)含參數(shù)的方程問題，在沒有指明是二次方程時，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問題的題設條件，看是否要分類討論． 【例2】 已知、為質(zhì)數(shù)且是方程的根，那么的值是( ) A．

3、B． C． D． 思路點撥 由韋達定理、的關(guān)系式，結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出、、的值． 【例3】 試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根． 思路點撥 由于方程的類型未確定，所以應分類討論．當時，由根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于r的兩個等式，消去r，利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根． 【例4】 當為整數(shù)時，關(guān)于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果沒有，請說明理由． 思路點撥 整系數(shù)方程有有理根的

4、條件是為完全平方數(shù)． 1 / 6 設△=(為整數(shù))解不定方程，討論的存在性． 注：一元二次方程 (a≠0)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而△=為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件． 【例5】 若關(guān)于的方程至少有一個整數(shù)根，求非負整數(shù)的值． 思路點撥 因根的表示式復雜，從韋達定理得出的的兩個關(guān)系式中消去也較困難，又因的次數(shù)低于的次數(shù)，故可將原方程變形為關(guān)于的一次方程． 學歷訓練 1．已知關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有 ． 2．已知方程有兩個質(zhì)數(shù)解，則m＝ ． 3．給出四個

5、命題：①整系數(shù)方程(a≠0)中，若△為一個完全平方數(shù)，則方程必有有理根；②整系數(shù)方程(a≠0)中，若方程有有理數(shù)根，則△為完全平方數(shù)；③無理數(shù)系數(shù)方程(a≠0)的根只能是無理數(shù)；④若、、均為奇數(shù)，則方程沒有有理數(shù)根，其中真命題是 ． 4．已知關(guān)于的一元二次方程 (為整數(shù))的兩個實數(shù)根是 、，則= ． 5．設rn為整數(shù)，且4

6、為正整數(shù)時，關(guān)于的方程的兩根均為質(zhì)數(shù)，試解此方程． 9．設關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)，試求滿足條件的所有實數(shù)的值． 10．試求所有這樣的正整數(shù)，使得方程至少有一個整數(shù)解． 11．已知為質(zhì)數(shù)，使二次方程的兩根都是整數(shù)，求出的所有可能值． 12．已知方程及分別各有兩個整數(shù)根、及、，且 >0， >0． (1)求證：<0,<0，<0,< 0； (2)求證：； (3)求、所有可能的值． 13．如果直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，且是方程的根(為整數(shù))，這樣的直角三角形是否存在?若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊長；若不存在，請說明理由． 參考答案 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！