【世紀(jì)金榜】高三文科數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題突破：數(shù)列的綜合應(yīng)用

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1、熱點(diǎn)專題突破系列(三)數(shù)列的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一考點(diǎn)一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題【考情分析【考情分析】等差、等比數(shù)列相結(jié)合的問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)等差、等比數(shù)列相結(jié)合的問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)(1)(1)綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n n項(xiàng)和公式、項(xiàng)和公式、等差等差( (比比) )中項(xiàng)、等差中項(xiàng)、等差( (比比) )數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的性質(zhì). .(2)(2)重點(diǎn)考查基本量重點(diǎn)考查基本量( (即即“知三求二知三求二”, ,解方程解方程( (組組)的計(jì)算以及靈活運(yùn)的計(jì)算以及靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題用等差、等

2、比數(shù)列的性質(zhì)解決問(wèn)題. .【典例【典例1 1】(2014(2014湖北高考湖北高考) )已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 滿足滿足:a:a1 1=2,=2,且且a a1 1,a,a2 2,a,a5 5成等比數(shù)列成等比數(shù)列. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. .(2)(2)記記S Sn n為數(shù)列為數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,是否存在正整數(shù)是否存在正整數(shù)n,n,使得使得S Sn n60n+800?60n+800?若若存在存在, ,求求n n的最小值的最小值; ;若不存在若不存在, ,說(shuō)明理由說(shuō)明理由. .【解題提示【解題提示】(1)(1)設(shè)設(shè)aan n

3、 的公差為的公差為d,d,由由2,2+d,2+4d2,2+d,2+4d成等比數(shù)列可求得成等比數(shù)列可求得公差公差d,d,從而根據(jù)通項(xiàng)公式表示出數(shù)列從而根據(jù)通項(xiàng)公式表示出數(shù)列aan n 的通項(xiàng)的通項(xiàng). .(2)(2)根據(jù)數(shù)列根據(jù)數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式表示出數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式S Sn n, ,令令S Sn n60n+800,60n+800,解此不等式解此不等式. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,依題意依題意,2,2+d,2+4d,2,2+d,2+4d成等比成等比數(shù)列數(shù)列, ,故有故有(2+d)(2

4、+d)2 2=2(2+4d),=2(2+4d),化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得d d2 2-4d=0,-4d=0,解得解得d=0d=0或或d=4.d=4.當(dāng)當(dāng)d=0d=0時(shí)時(shí),a,an n=2;=2;當(dāng)當(dāng)d=4d=4時(shí)時(shí),a,an n=2+(n-1)=2+(n-1)4=4n-2,4=4n-2,從而得數(shù)列從而得數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an n=2=2或或a an n=4n-2.=4n-2.(2)(2)當(dāng)當(dāng)a an n=2=2時(shí)時(shí),S,Sn n=2n.=2n.顯然顯然2n60n+800,2n60n+80060n+800成立成立. .當(dāng)當(dāng)a an n=4n-2=4n-2時(shí)時(shí), , 令令2n2n2

5、260n+800,60n+800,即即n n2 2-30n-4000,-30n-4000,解得解得n40n40或或n-10(n60n+80060n+800成立成立,n,n的最小值為的最小值為41.41.綜上綜上, ,當(dāng)當(dāng)a an n=2=2時(shí)時(shí), ,不存在滿足題意的不存在滿足題意的n.n.當(dāng)當(dāng)a an n=4n-2=4n-2時(shí)時(shí), ,存在滿足題意的正整數(shù)存在滿足題意的正整數(shù)n,n,其最小值為其最小值為41.41.2nn24n2S2n .2【規(guī)律方法【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問(wèn)題的解題策略等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問(wèn)題的解題策略(1)(1)分析已知條件和求解目標(biāo)分析已知條件和求解目標(biāo), ,確

6、定為最終解決問(wèn)題需要首先求解的中確定為最終解決問(wèn)題需要首先求解的中間問(wèn)題間問(wèn)題, ,如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差差( (公比公比) )等等, ,確定解題的順序確定解題的順序. .(2)(2)注意細(xì)節(jié)注意細(xì)節(jié). .在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題中在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題中, ,如果等比數(shù)列的公如果等比數(shù)列的公比不能確定比不能確定, ,則要看其是否有等于則要看其是否有等于1 1的可能的可能, ,在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中第一在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等, ,這些細(xì)節(jié)

7、對(duì)解題的影響也是這些細(xì)節(jié)對(duì)解題的影響也是巨大的巨大的. .提醒提醒: :在不能使用同一公式進(jìn)行計(jì)算的情況下要注意分類討論在不能使用同一公式進(jìn)行計(jì)算的情況下要注意分類討論, ,分類解分類解決問(wèn)題后還要注意結(jié)論的整合決問(wèn)題后還要注意結(jié)論的整合. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015石家莊模擬石家莊模擬) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 為前為前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n=1-ka=1-kan n(k0,nN(k0,nN* *).).(1)(1)用用n,kn,k表示表示a an n. .(2)(2)若數(shù)列若數(shù)列bbn n 對(duì)任意正整數(shù)對(duì)任意正整數(shù)n,n,均有均有(b(bn+1n+1-b-bn+

8、2n+2)lna)lna1 1+(b+(bn+2n+2-b-bn n)lna)lna3 3+ +(b(bn n-b-bn+1n+1)lna)lna5 5=0.=0.求證求證: :數(shù)列數(shù)列bbn n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列. .(3)(3)在在(1),(2)(1),(2)中中, ,設(shè)設(shè)k=1,bk=1,bn n=n+1,x=n+1,xn n=a=a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+ +a+an nb bn n, ,試求數(shù)列試求數(shù)列xxn n 的的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式. .【解析【解析】(1)(1)由已知得由已知得a a1 1=S=S1 1=1-ka=1-ka1 1, ,所以所以a a1 1

9、= .= .又當(dāng)又當(dāng)n2n2時(shí)時(shí),a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=ka=kan-1n-1-ka-kan n, ,所以所以 所以所以aan n 是以是以 為首項(xiàng)為首項(xiàng), , 為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列, ,所以所以 1k1nn 1ak,ak11k1kk1n 1n 1nn1kka()(k0,nN*).k1 k1k1(2)(2)由由(1)(1)令等比數(shù)列令等比數(shù)列aan n 的公比為的公比為q,q,則則q1,aq1,a3 3=a=a1 1q q2 2,a,a5 5=a=a1 1q q4 4代入等式化簡(jiǎn)代入等式化簡(jiǎn), ,所以所以(b(bn+2n+2+b+bn n-2b-2bn+1

10、n+1)lnq=0,)lnq=0,因?yàn)橐驗(yàn)閝1,q1,所以所以2b2bn+1n+1=b=bn+2n+2+b+bn n, ,所以數(shù)列所以數(shù)列bbn n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列. .(3)(3)因?yàn)橐驗(yàn)閗=1,k=1,所以所以所以所以 所以所以所以所以x xn n= = 得得 - -得得所以所以111a,q,22nn1a,2nnn1a bn1 ,223n234n1222212n234nn 11234nn1x222222n23nn 11111n1x122222 nnn3x3.2【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】(2015(2015南昌模擬南昌模擬) )已知已知aan n 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,

11、 ,首項(xiàng)首項(xiàng)a a1 1=3,=3,前前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,數(shù)列數(shù)列bbn n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,首項(xiàng)首項(xiàng)b b1 1=1,=1,且且a a2 2b b2 2=12,=12,S S3 3+b+b2 2=20.=20.(1)(1)求求aan n 和和bbn n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. .(2)(2)令令c cn n=S=Sn ncos(acos(an n)(nN)(nN* *),),求求ccn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n. .【解析【解析】(1)(1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,數(shù)列數(shù)列bbn n 的公比為的公比為q,q,則則a a2 2b

12、 b2 2=(3+d)q=12,=(3+d)q=12,S S3 3+b+b2 2=3a=3a2 2+b+b2 2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,則則(3+d)(11-(3+d)(11-3d)=33+2d-3d3d)=33+2d-3d2 2=12,=12,即即3d3d2 2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0.因?yàn)橐驗(yàn)閍an n 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列, ,所以所以d0,d0,所以所以d=3,q=2,d=3,q=2

13、,a an n=3+(n-1)=3+(n-1)3=3n,b3=3n,bn n=2=2n-1n-1. .(2)(2)由由(1)(1)知知當(dāng)當(dāng)n n是偶數(shù)時(shí)是偶數(shù)時(shí), ,T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+c+c3 3+ +c+cn n=-S=-S1 1+S+S2 2-S-S3 3+S+S4 4- -S-Sn-1n-1+S+Sn n=a=a2 2+a+a4 4+a+a6 6+ +a+an n=6+12+18+=6+12+18+3n=+3n=2nnn2n33Snn,n22cS cos 3n33Snn,n.22 是偶數(shù)，是奇數(shù)3n n2.4當(dāng)當(dāng)n n是奇數(shù)時(shí)，是奇數(shù)時(shí)，T Tn n=T=Tn-1

14、n-1-S-Sn n= =23 n1 n133nn4222n23n1 .43n n2,n4T3n1n.4 是偶數(shù)，綜上可得， 是奇數(shù)考點(diǎn)二考點(diǎn)二 數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題【考情分析【考情分析】數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系, ,決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的自然性自然性, ,是高考命題的易考點(diǎn)是高考命題的易考點(diǎn), ,主要考查方式有主要考查方式有: :(1)(1)以函數(shù)為載體以函數(shù)為載體, ,考查函數(shù)解析式的求法考查函數(shù)解析式的求法, ,或者利用函數(shù)解析式給出或者利用函數(shù)解析式給出數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列前數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列前n n項(xiàng)和的計(jì)算方法項(xiàng)和

15、的計(jì)算方法(2)(2)根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點(diǎn)命題根據(jù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)這一特點(diǎn)命題, ,考查利用函數(shù)的單調(diào)性考查利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定數(shù)列的單調(diào)性、最值或解決某些恒成立問(wèn)題來(lái)確定數(shù)列的單調(diào)性、最值或解決某些恒成立問(wèn)題【典例【典例2 2】(2015(2015哈爾濱模擬哈爾濱模擬) )已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=f(xy=f(x) )的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn), ,其導(dǎo)函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)為f(xf(x)=6x-2,)=6x-2,數(shù)列數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,點(diǎn)點(diǎn)(n,S(n,Sn n) )(nN(nN* *) )均在函數(shù)均在函數(shù)y=f(xy=f(

16、x) )的圖象上的圖象上. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. .(2)(2)設(shè)設(shè) T Tn n是數(shù)列是數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,求使得求使得T Tn n 1.1.(1)(1)設(shè)設(shè)b bn n=log=log2 2(a(an n-1),-1),求證求證: :數(shù)列數(shù)列bbn n+1+1為等比數(shù)列為等比數(shù)列. .(2)(2)設(shè)設(shè)c cn n=nb=nbn n, ,求數(shù)列求數(shù)列ccn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n. .【解析【解析】(1)(1)因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù)f(xf(x)=x)=x2 2+bx+bx為偶函數(shù)為偶函數(shù), ,所以所以b=0,b=0,

17、所以所以f(x)=xf(x)=x2 2, ,所以所以a an+1n+1=2f(a=2f(an n-1)+1=2(a-1)+1=2(an n-1)-1)2 2+1,+1,所以所以a an+1n+1-1=2(a-1=2(an n-1)-1)2 2. .又又a a1 1=3,a=3,an n1,b1,bn n=log=log2 2(a(an n-1),-1),所以所以b b1 1=log=log2 2(a(a1 1-1)=1,-1)=1,所以所以所以數(shù)列所以數(shù)列bbn n+1+1是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為2,2,公比為公比為2 2的等比數(shù)列的等比數(shù)列. .22n 12n2nn 1n2n2n2nloga11lo

18、g 2 a1122loga1b12.b1loga11loga11loga11(2)(2)由由(1)(1)得得,b,bn n+1=2+1=2n n, ,所以所以b bn n=2=2n n-1,-1,所以所以c cn n=nb=nbn n=n=n2 2n n-n.-n.設(shè)設(shè)A An n=1=12+22+22 22 2+3+32 23 3+ +n+n2 2n n, ,則則2A2An n=1=12 22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+ +n+n2 2n+1n+1, ,所以所以-A-An n=2+2=2+22 2+2+23 3+ +2+2n n-n-n2 2n+1n+1= -n= -n2

19、2n+1n+1=2=2n+1n+1-n-n2 2n+1n+1-2,-2,所以所以A An n=(n-1)2=(n-1)2n+1n+1+2.+2.設(shè)設(shè)B Bn n=1+2+3+4+=1+2+3+4+n,+n,則則B Bn n= = 所以所以S Sn n=A=An n-B-Bn n=(n-1)2=(n-1)2n+1n+1+2- +2- n2 1212n n1.2n n1.2【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(xf(x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽,R,當(dāng)當(dāng)x0 x1,)1,且對(duì)任意的實(shí)且對(duì)任意的實(shí)數(shù)數(shù)x,yRx,yR, ,有有f(x+y)=f(x)f(yf(x+y)=f(x)f(y).).(1)(

20、1)求求f(0),f(0),判斷并證明函數(shù)判斷并證明函數(shù)f(xf(x) )的單調(diào)性的單調(diào)性. .(2)(2)數(shù)列數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=f(0),=f(0),且且f(af(an+1n+1)= (nN)= (nN* *),),數(shù)列數(shù)列bbn n 滿足滿足b bn n=a=an n-8.-8.求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n的最小值及相應(yīng)的的最小值及相應(yīng)的n n的值的值. .n1f2a 【解析【解析】(1)x,y(1)x,yR,R,f(x+y)=f(x)f(x+y)=f(x)f(y),xf(y),x01,)1

21、,令令x=-1,y=0,x=-1,y=0,則則f(-1)=f(-1)f(0),f(-1)=f(-1)f(0),因?yàn)橐驗(yàn)閒(-1)1,f(-1)1,所以所以f(0)=1.f(0)=1.若若x0,x0,則則f(x-x)=f(0)=f(x)f(-xf(x-x)=f(0)=f(x)f(-x),),故故f(xf(x)= (0,1),)= (0,1),故故xR,f(xxR,f(x)0,)0,任取任取x x1 1x0,0,所以所以0f(x0f(x2 2-x-x1 1)1,)1,所以所以f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1),),故故f(xf(x) )在在R R上是減函數(shù)上是減函數(shù). .1fx(2)(2)

22、a a1 1=f(0)=1,f(a=f(0)=1,f(an+1n+1)= =f(2+a)= =f(2+an n),),由由f(xf(x) )單調(diào)性單調(diào)性a an+1n+1=a=an n+2.+2.故故aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,所以所以a an n=2n-1.=2n-1.b bn n=2n-9,T=2n-9,Tn n=n=n2 2-8n,-8n,當(dāng)當(dāng)n=4n=4時(shí)時(shí),(T,(Tn n) )minmin=-16.=-16.n1f2a 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題【考情分析【考情分析】數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的熱

23、點(diǎn). .考查方式考查方式主要有三種主要有三種: :(1)(1)判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系, ,如比較數(shù)列中的項(xiàng)的大小關(guān)系等如比較數(shù)列中的項(xiàng)的大小關(guān)系等. .(2)(2)以數(shù)列為載體以數(shù)列為載體, ,考查不等式的恒成立問(wèn)題考查不等式的恒成立問(wèn)題, ,求不等式中的參數(shù)的取求不等式中的參數(shù)的取值范圍等值范圍等. .(3)(3)考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題. .【典例【典例3 3】(2014(2014上海高考上海高考) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足 a an naan+1n+13a3an n, ,nNnN* *,a,a

24、1 1=1.=1.(1)(1)若若a a2 2=2,a=2,a3 3=x,a=x,a4 4=9,=9,求求x x的取值范圍的取值范圍. .(2)(2)若若aan n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,且且a am m= ,= ,求正整數(shù)求正整數(shù)m m的最小值的最小值, ,以及以及m m取最小取最小值時(shí)相應(yīng)值時(shí)相應(yīng)aan n 的公比的公比. .(3)(3)若若a a1 1,a,a2 2, ,a,a100100成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,求數(shù)列求數(shù)列a a1 1,a,a2 2, ,a,a100100的公差的取值范的公差的取值范圍圍. .1311000【解題提示【解題提示】(1)(1)根據(jù)根據(jù) a a2 2a

25、a3 33a3a2 2, a, a3 3aa4 43a3a3 3可求得可求得x x的范圍的范圍. .(2)(2)根據(jù)根據(jù) a a1 1aa2 23a3a1 1可把可把q q的范圍求出的范圍求出, ,再根據(jù)通項(xiàng)將再根據(jù)通項(xiàng)將m m用用q q表示出來(lái)表示出來(lái), ,用放縮法求解用放縮法求解. .(3)(3)根據(jù)根據(jù) a an naan+1n+13a3an n, ,可得公差的關(guān)系式可得公差的關(guān)系式, ,對(duì)對(duì)n n分類討論可得分類討論可得. .13131313【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)依題意依題意, a, a2 2aa3 33a3a2 2, ,所以所以 x6;x6;又又 a a3 3aa4 43

26、a3a3 3, ,所以所以3x27;3x27;綜上可得綜上可得:3x6.:3x6.132313(2)(2)設(shè)公比為設(shè)公比為q,q,由已知得由已知得,a,an n=q=qn-1n-1, ,又又 a a1 1aa2 23a3a1 1, ,所以所以 q3,q3,又又a am m=q=qm-1m-1= ,= ,所以所以 q1,q0,0,所以所以S Sn n-3,-3,只有只有S Sn n=n=n2 2+n.+n.當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)時(shí),a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=n=n2 2+n-(n-1)+n-(n-1)2 2-(n-1)=2n,-(n-1)=2n,而而a a1 1=2,=2,符合符合

27、a an n=2n,=2n,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an n=2n(nN=2n(nN* *).).21S21a2nSnn1111(3)1aa12n 2n14n(n)2111111111114(n)(n1) (n)(n1)nn1444444因?yàn)椋?122nn1122nn111aa1aa1a (a1)1111111()()()11111141223nn1444444111111().11434n331n1441111n.aa1aa1aa13所以故對(duì)一切正整數(shù) ，有【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.(20151.(2015貴陽(yáng)模擬貴陽(yáng)模擬) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前

28、的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,滿足滿足S Sn n= a= an n-n(nN-n(nN* *).).(1)(1)求證求證: :數(shù)列數(shù)列aan n+1+1是等比數(shù)列是等比數(shù)列. .(2)(2)令令b bn n=log=log3 3(a(a1 1+1)+log+1)+log3 3(a(a2 2+1)+1)+log+log3 3(a(an n+1),+1),對(duì)任意對(duì)任意nNnN* *, ,是否是否存在正整數(shù)存在正整數(shù)m,m,使使 恒成立恒成立? ?若存在若存在, ,求出求出m m的值的值; ;若不若不存在存在, ,請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由. .3212n111mbbb4【解析【解析】(1)(

29、1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí),S,S1 1=a=a1 1= a= a1 1-1,-1,解得解得a a1 1=2,=2,當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)時(shí), ,由由S Sn n= a= an n-n-n得得S Sn-1n-1= a= an-1n-1-n+1.-n+1.兩式相減得兩式相減得,S,Sn n-S-Sn-1n-1= a= an n- a- an-1n-1-1,-1,即即a an n=3a=3an-1n-1+2(n2),+2(n2),則則a an n+1=3(a+1=3(an-1n-1+1).+1).又又a a1 1+1=2+1=3,+1=2+1=3,故數(shù)列故數(shù)列aan n+1+1是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為3,3,公比為

30、公比為3 3的等比數(shù)列的等比數(shù)列. .3232323232(2)(2)由由(1)(1)知知a an n+1=3+1=33 3n-1n-1=3=3n n. .所以所以b bn n=log=log3 3(a(a1 1+1)+log+1)+log3 3(a(a2 2+1)+1)+log+log3 3(a(an n+1)=1+2+1)=1+2+n=+n=n n1,2n12n12112(),bn n1nn1111bbb1111112(1)()()2(1)223nn1n1所以則由由 對(duì)任意對(duì)任意nNnN* *恒成立，得恒成立，得2(1- ) 2(1- ) ，即，即m m 對(duì)任意對(duì)任意nNnN* *恒成立恒

31、成立, ,因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以m4.m4.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閙NmN* *，所以，所以m=1,2,3,4.m=1,2,3,4.12n111mbbb41n1m418(1)n111111n122 2.2.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 為等比數(shù)列為等比數(shù)列, ,其前其前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,已知已知a a1 1+a+a4 4=- ,=- ,且對(duì)且對(duì)于任意的于任意的nNnN+ +, ,有有S Sn n,S,Sn+2n+2,S,Sn+1n+1成等差數(shù)列成等差數(shù)列. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式. .(2)(2)已知已知b bn n=n(nN=n(nN+ +),),記

32、記T Tn n= = 若若(n-1)(n-1)2 2m(Tm(Tn n-n-1)-n-1)對(duì)于對(duì)于n2n2恒成立恒成立, ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)m m的最小值的最小值. .716312n123nbbbb| |aaaa，【解析【解析】(1)(1)設(shè)公比為設(shè)公比為q,q,因?yàn)橐驗(yàn)镾 S1 1,S,S3 3,S,S2 2成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,所以所以2S2S3 3=S=S1 1+S+S2 2, ,所以所以2a2a1 1(1+q+q(1+q+q2 2)=a)=a1 1(2+q),(2+q),得得q=-q=-又又a a1 1+a+a4 4=a=a1 1(1+q(1+q3 3)=)=所以所以a a1 1= =

33、所以所以a an n=a=a1 1q qn-1n-1= =1,27,161,2n1() .2(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)閎 bn n=n,a=n,an n= =所以所以 =n=n2 2n n, ,所以所以T Tn n=1=12+22+22 22 2+3+32 23 3+ +n+n2 2n n, ,2T2Tn n=1=12 22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+ +(n-1)+(n-1)2 2n n+n+n2 2n+1n+1, ,- -得得-T-Tn n=2+2=2+22 2+2+23 3+ +2+2n n-n-n2 2n+1n+1, ,所以所以T Tn n=-( -n=-( -n2 2n+

34、1n+1)=(n-1)=(n-1)2 2n+1n+1+2.+2.n1() ,2nnb|an 12212若若(n-1)(n-1)2 2m(Tm(Tn n-n-1)-n-1)對(duì)于對(duì)于n2n2恒成立恒成立, ,則則(n-1)(n-1)2 2m(n-1)m(n-1)2 2n+1n+1+2-n-1,+2-n-1,(n-1)(n-1)2 2m(n-1)m(n-1)(2(2n+1n+1-1),-1),所以所以m m 令令f(n)= ,f(n+1)-f(n)=f(n)= ,f(n+1)-f(n)=所以所以f(nf(n) )為減函數(shù)為減函數(shù), ,所以所以f(n)f(2)= .f(n)f(2)= .所以所以m .

35、m .n 1n1,21n 1n121n 1n 2n 1n 2n 12n 21nn10,212121 211717考點(diǎn)四考點(diǎn)四 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【考情分析【考情分析】此類試題一般圍繞著現(xiàn)實(shí)生活中的人口的增長(zhǎng)、產(chǎn)量的此類試題一般圍繞著現(xiàn)實(shí)生活中的人口的增長(zhǎng)、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計(jì)算、分期付款等客觀背景進(jìn)行設(shè)增加、成本的降低、存貸款利息的計(jì)算、分期付款等客觀背景進(jìn)行設(shè)置置, ,它不僅涉及數(shù)列中的基本知識(shí)和方法它不僅涉及數(shù)列中的基本知識(shí)和方法, ,還往往涉及其他學(xué)科的知識(shí)還往往涉及其他學(xué)科的知識(shí)和常識(shí)和常識(shí)【典例【典例4 4】某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)

36、某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn). .該企業(yè)第一該企業(yè)第一年年初有資金年年初有資金2 0002 000萬(wàn)元萬(wàn)元, ,將其投入生產(chǎn)將其投入生產(chǎn), ,到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同. .公司要求企業(yè)從第一年公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始開(kāi)始, ,每年年底上繳資金每年年底上繳資金d d萬(wàn)元萬(wàn)元, ,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn). .設(shè)設(shè)第第n n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為a an n萬(wàn)元萬(wàn)元. .(1)(1)用用d d表示表示a

37、 a1 1,a,a2 2, ,并寫出并寫出a an+1n+1與與a an n的關(guān)系式的關(guān)系式. .(2)(2)若公司希望經(jīng)過(guò)若公司希望經(jīng)過(guò)m(m3)m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為年使企業(yè)的剩余資金為4 0004 000萬(wàn)元萬(wàn)元, ,試確定試確定企業(yè)每年上繳資金企業(yè)每年上繳資金d d的值的值( (用用m m表示表示).).【解題提示【解題提示】(1)(1)只要根據(jù)增長(zhǎng)率求出當(dāng)年年底的資金總額只要根據(jù)增長(zhǎng)率求出當(dāng)年年底的資金總額, ,再減去上再減去上繳的資金繳的資金, ,就是剩余資金就是剩余資金, ,即可求出即可求出a a1 1,a,a2 2, ,以及建立以及建立a an+1n+1與與a an n

38、間的遞推關(guān)間的遞推關(guān)系式系式. .(2)(2)使用逐次迭代的方法或者構(gòu)造等比數(shù)列的方法均可求出數(shù)列使用逐次迭代的方法或者構(gòu)造等比數(shù)列的方法均可求出數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式a an n, ,令令a am m=4 000=4 000即可求出即可求出d.d.【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由題意得由題意得a a1 1=2 000(1+50%)-d=2 000(1+50%)-d=3 000-d,=3 000-d,a a2 2=a=a1 1(1+50%)-d= a(1+50%)-d= a1 1-d=4 500- d,-d=4 500- d,所以所以a an+1n+1=a=an n(1+50

39、%)-d= a(1+50%)-d= an n-d.-d.323252(2)(2)由由(1)(1)得得, ,當(dāng)當(dāng)n2n2時(shí)時(shí), ,整理得整理得 由題意由題意,a,am m=4 000,=4 000,所以所以 (3 000-3d)+2d=4 000,(3 000-3d)+2d=4 000,2nn 1n 2n 2n 12n 2133 333aad( ad)d( ) add22 2223333( )ad1( )( ).2222n 1n 1n 1n333a( )3 000d2d( )1( )3 0003d2d.222m 13( )2解得解得 故該企業(yè)每年上繳資金故該企業(yè)每年上繳資金d d的值為的值為 時(shí)

40、時(shí), ,經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)m(m3)m(m3)年企年企業(yè)的剩余資金為業(yè)的剩余資金為4 0004 000萬(wàn)元萬(wàn)元. .mmm 1mmm3( )2 10001 000(32)2d.332( )12mm 1mm1 000(32)32【一題多解【一題多解】在解答第在解答第(2)(2)問(wèn)時(shí)問(wèn)時(shí), ,你知道幾種解法你知道幾種解法? ?在解答第在解答第(2)(2)問(wèn)時(shí)問(wèn)時(shí), ,還可有以下解法還可有以下解法: :由于由于a an+1n+1= a= an n-d,-d,設(shè)設(shè)a an+1n+1+= (a+= (an n+),),化為化為a an+1n+1= a= an n+ ,+ ,與與a an+1n+1= a= an n

41、-d-d比較可得比較可得=-2d,-2d,故故a an+1n+1-2d= (a-2d= (an n-2d),-2d),這說(shuō)明數(shù)列這說(shuō)明數(shù)列aan n-2d-2d是以是以a a1 1-2d=3 000-3d-2d=3 000-3d為首項(xiàng)為首項(xiàng), , 為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列, ,32323212323232所以所以a an n-2d=(3 000-3d)-2d=(3 000-3d) , ,即即a an n=(3 000-3d)=(3 000-3d) +2d. +2d.( (下同上面解法下同上面解法).).n 13( )2n 13( )2【規(guī)律方法【規(guī)律方法】解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟解答

42、數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟(1)(1)確定模型類型確定模型類型: :理解題意理解題意, ,看是哪類數(shù)列模型看是哪類數(shù)列模型, ,一般有等差數(shù)列模型、一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列模型等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列模型. .基本特征見(jiàn)下表基本特征見(jiàn)下表: :數(shù)列模型數(shù)列模型基本特征基本特征等差數(shù)列等差數(shù)列均勻增加或者減少均勻增加或者減少等比數(shù)列等比數(shù)列指數(shù)增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng), ,常見(jiàn)的是增產(chǎn)率問(wèn)題、存款復(fù)利問(wèn)題常見(jiàn)的是增產(chǎn)率問(wèn)題、存款復(fù)利問(wèn)題簡(jiǎn)單遞推簡(jiǎn)單遞推數(shù)列數(shù)列指數(shù)增長(zhǎng)的同時(shí)又均勻減少指數(shù)增長(zhǎng)的同時(shí)又均勻減少. .如年收入增長(zhǎng)率為如年收入增長(zhǎng)率為20%,20%,每每年年底要拿出年年底要

43、拿出a(a(常數(shù)常數(shù)) )作為下年度的開(kāi)銷作為下年度的開(kāi)銷, ,即數(shù)列即數(shù)列aan n 滿滿足足a an+1n+1=1.2a=1.2an n-a-a(2)(2)準(zhǔn)確解決模型準(zhǔn)確解決模型: :解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí)解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí), ,求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程和、解方程( (組組) )或者不等式或者不等式( (組組) )等等, ,在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確. .(3)(3)給出問(wèn)題的回答給出問(wèn)題的回答: :實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的答案際問(wèn)題的答案, ,在解題中不要忽視了這點(diǎn)在解題

44、中不要忽視了這點(diǎn). .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015濟(jì)南模擬濟(jì)南模擬) )為了綜合治理交通擁堵?tīng)顩r為了綜合治理交通擁堵?tīng)顩r, ,緩解機(jī)緩解機(jī)動(dòng)車過(guò)快增長(zhǎng)勢(shì)頭動(dòng)車過(guò)快增長(zhǎng)勢(shì)頭, ,一些大城市出臺(tái)了一些大城市出臺(tái)了“機(jī)動(dòng)車搖號(hào)上牌機(jī)動(dòng)車搖號(hào)上牌”的新規(guī)的新規(guī). .某某大城市大城市20152015年初機(jī)動(dòng)車的保有量為年初機(jī)動(dòng)車的保有量為600600萬(wàn)輛萬(wàn)輛, ,預(yù)計(jì)此后每年將報(bào)廢本年預(yù)計(jì)此后每年將報(bào)廢本年度機(jī)動(dòng)車保有量的度機(jī)動(dòng)車保有量的5%,5%,且報(bào)廢后機(jī)動(dòng)車的牌照不再使用且報(bào)廢后機(jī)動(dòng)車的牌照不再使用. .同時(shí)每年投放同時(shí)每年投放1010萬(wàn)輛的機(jī)動(dòng)車牌號(hào)萬(wàn)輛的機(jī)動(dòng)車牌號(hào). .只有搖號(hào)獲

45、得指標(biāo)的機(jī)動(dòng)車才能上牌只有搖號(hào)獲得指標(biāo)的機(jī)動(dòng)車才能上牌, ,經(jīng)調(diào)研經(jīng)調(diào)研, ,獲得搖號(hào)指標(biāo)的市民通常都會(huì)在當(dāng)年購(gòu)買機(jī)動(dòng)車上牌獲得搖號(hào)指標(biāo)的市民通常都會(huì)在當(dāng)年購(gòu)買機(jī)動(dòng)車上牌. .(1)(1)問(wèn)問(wèn): :到到20192019年初年初, ,該城市的機(jī)動(dòng)車保有量為多少萬(wàn)輛該城市的機(jī)動(dòng)車保有量為多少萬(wàn)輛. .(2)(2)根據(jù)該城市交通建設(shè)規(guī)劃要求根據(jù)該城市交通建設(shè)規(guī)劃要求, ,預(yù)計(jì)機(jī)動(dòng)車的保有量少于預(yù)計(jì)機(jī)動(dòng)車的保有量少于500500萬(wàn)輛萬(wàn)輛時(shí)時(shí), ,該城市交通擁堵?tīng)顩r才真正得到緩解該城市交通擁堵?tīng)顩r才真正得到緩解. .問(wèn)問(wèn): :至少需要多少年可以實(shí)至少需要多少年可以實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)現(xiàn)這一目標(biāo). .( (參考數(shù)

46、據(jù)參考數(shù)據(jù):0.95:0.954 4=0.81,0.95=0.81,0.955 5=0.77,lg0.75=-0.13,lg0.95=-0.02)=0.77,lg0.75=-0.13,lg0.95=-0.02)【解析【解析】(1)(1)設(shè)設(shè)20152015年年初機(jī)動(dòng)車保有量為年年初機(jī)動(dòng)車保有量為a a1 1萬(wàn)輛萬(wàn)輛, ,以后各年年初機(jī)動(dòng)以后各年年初機(jī)動(dòng)車保有量依次為車保有量依次為a a2 2萬(wàn)輛萬(wàn)輛,a,a3 3萬(wàn)輛萬(wàn)輛, , ,每年新增機(jī)動(dòng)車每年新增機(jī)動(dòng)車1010萬(wàn)輛萬(wàn)輛, ,則則a a1 1=600,a=600,an+1n+1=0.95a=0.95an n+10.+10.又又a an+1n

47、+1-200=0.95(a-200=0.95(an n-200),-200),且且a a1 1-200=600-200=400,-200=600-200=400,所以數(shù)列所以數(shù)列aan n-200-200是以是以400400為首項(xiàng)為首項(xiàng),0.95,0.95為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列. .所以所以a an n-200=400-200=4000.950.95n-1n-1, ,即即a an n=400=4000.950.95n-1n-1+200.+200.所以所以20192019年初機(jī)動(dòng)車保有量為年初機(jī)動(dòng)車保有量為a a5 5=400=4000.950.954 4+200=524+200=52

48、4萬(wàn)輛萬(wàn)輛. .(2)(2)由題可知由題可知,a,an n=400=4000.950.95n-1n-1+200500,+200500,即即0.950.95n-1n-10.75, +1=7.5,n +1=7.5,故至少需要故至少需要8 8年時(shí)間才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)年時(shí)間才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo). .lg 0.75lg0.95【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.1.某軟件公司新開(kāi)發(fā)一款學(xué)習(xí)軟件某軟件公司新開(kāi)發(fā)一款學(xué)習(xí)軟件, ,該軟件把學(xué)科知識(shí)該軟件把學(xué)科知識(shí)設(shè)計(jì)為由易到難共設(shè)計(jì)為由易到難共1212關(guān)的闖關(guān)游戲關(guān)的闖關(guān)游戲. .為了激發(fā)闖關(guān)熱情為了激發(fā)闖關(guān)熱情, ,每闖過(guò)一關(guān)都每闖過(guò)一關(guān)都獎(jiǎng)勵(lì)若干慧幣獎(jiǎng)勵(lì)若干慧幣( (一種網(wǎng)絡(luò)虛

49、擬幣一種網(wǎng)絡(luò)虛擬幣).).該軟件提供了三種獎(jiǎng)勵(lì)方案該軟件提供了三種獎(jiǎng)勵(lì)方案: :第一種第一種, ,每闖過(guò)一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)每闖過(guò)一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)4040慧幣慧幣; ;第二種第二種, ,闖過(guò)第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)闖過(guò)第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)4 4慧幣慧幣, ,以后每一關(guān)比以后每一關(guān)比前一關(guān)多獎(jiǎng)勵(lì)前一關(guān)多獎(jiǎng)勵(lì)4 4慧幣慧幣; ;第三種第三種, ,闖過(guò)第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)闖過(guò)第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)0.50.5慧幣慧幣, ,以后每一關(guān)比以后每一關(guān)比前一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)翻一番前一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)翻一番( (即增加即增加1 1倍倍).).游戲規(guī)定游戲規(guī)定: :闖關(guān)者須于闖關(guān)前任選一闖關(guān)者須于闖關(guān)前任選一種獎(jiǎng)勵(lì)方案種獎(jiǎng)勵(lì)方案. .(1)(1)設(shè)闖過(guò)設(shè)闖過(guò)n(nNn(nN, ,且且n12)n1

50、2)關(guān)后三種獎(jiǎng)勵(lì)方案獲得的慧幣依次為關(guān)后三種獎(jiǎng)勵(lì)方案獲得的慧幣依次為A An n,B,Bn n,C,Cn n, ,試求出試求出A An n,B,Bn n,C,Cn n的表達(dá)式的表達(dá)式. .(2)(2)如果你是一名闖關(guān)者如果你是一名闖關(guān)者, ,為了得到更多的慧幣為了得到更多的慧幣, ,你應(yīng)如何選擇獎(jiǎng)勵(lì)方你應(yīng)如何選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案案? ?【解析【解析】(1)(1)第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成常數(shù)列第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成常數(shù)列, ,所以所以A An n=40n,=40n,第二種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是第二種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是4,4,公差也為公差也為4 4的等差數(shù)

51、的等差數(shù)列列, ,所以所以B Bn n=4n+ =4n+ 4=2n4=2n2 2+2n,+2n,第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過(guò)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是0.5,0.5,公比為公比為2 2的等比數(shù)的等比數(shù)列列, ,n n12nnn11212C21 .122所以(2)(2)令令A(yù) An nBBn n, ,即即40n2n40n2n2 2+2n,+2n,解得解得0n19,0nBBn n恒成立恒成立. .令令A(yù) An nCCn n, ,即即40n (240n (2n n-1),-1),可得可得n10,n10,所以當(dāng)所以當(dāng)n10nAAn n, ,綜上綜上, ,若你是一名闖關(guān)者若你是

52、一名闖關(guān)者, ,當(dāng)你能沖過(guò)的關(guān)數(shù)小于當(dāng)你能沖過(guò)的關(guān)數(shù)小于1010時(shí)時(shí), ,應(yīng)選用第一種應(yīng)選用第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案獎(jiǎng)勵(lì)方案; ;當(dāng)你能沖過(guò)的關(guān)數(shù)大于等于當(dāng)你能沖過(guò)的關(guān)數(shù)大于等于1010時(shí)時(shí), ,應(yīng)選用第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案應(yīng)選用第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案. .122.2.一企業(yè)的某產(chǎn)品每件利潤(rùn)一企業(yè)的某產(chǎn)品每件利潤(rùn)100100元元, ,在未做電視廣告時(shí)在未做電視廣告時(shí), ,日銷售量為日銷售量為b b件件. .當(dāng)對(duì)產(chǎn)品做電視廣告后當(dāng)對(duì)產(chǎn)品做電視廣告后, ,記每日播記每日播n n次時(shí)的日銷售量為次時(shí)的日銷售量為a an n(nN(nN* *) )件件, ,調(diào)調(diào)查發(fā)現(xiàn)查發(fā)現(xiàn): :每日播一次則日銷售量每日播一次則日銷售量a a1

53、 1件在件在b b件的基礎(chǔ)上增加件的基礎(chǔ)上增加 件件, ,每日播每日播二次則日銷售量二次則日銷售量a a2 2件在每日播一次時(shí)日銷售量件在每日播一次時(shí)日銷售量a a1 1件的基礎(chǔ)上增加件的基礎(chǔ)上增加 件件, ,每日播每日播n n次次, ,該產(chǎn)品的日銷售該產(chǎn)品的日銷售a an n件在每日播件在每日播n-1n-1次時(shí)的日銷售量次時(shí)的日銷售量a an-1n-1件的基礎(chǔ)上增加件的基礎(chǔ)上增加 件件. .合同約定合同約定: :每播一次企業(yè)需支付廣告費(fèi)每播一次企業(yè)需支付廣告費(fèi)2b2b元元. .(1)(1)試求出試求出a an n與與n n的關(guān)系式的關(guān)系式. .(2)(2)該企業(yè)為了獲得扣除廣告費(fèi)后的日利潤(rùn)最

54、大該企業(yè)為了獲得扣除廣告費(fèi)后的日利潤(rùn)最大, ,求每日電視廣告需播求每日電視廣告需播多少次多少次. .b2b4nb2【解析【解析】(1)(1)由題意，電視廣告日播由題意，電視廣告日播k k次時(shí)，該產(chǎn)品的日銷售量次時(shí)，該產(chǎn)品的日銷售量a ak k滿足滿足a ak k=a=ak-1k-1+ (kN+ (kN* *,a,a0 0=b),=b),所以，該產(chǎn)品每日銷售量所以，該產(chǎn)品每日銷售量a an n( (件件) )與電視廣告播放量與電視廣告播放量n(n(次次/ /日日) )的關(guān)系的關(guān)系式為式為a an n=b(2- )(nN=b(2- )(nN* *).).kb2nn2nn111 ( ) bbb122

55、ab()bbb(2) nN* .1222212所以n12(2)(2)該企業(yè)每日播放電視廣告該企業(yè)每日播放電視廣告n n次時(shí)獲利為次時(shí)獲利為C Cn n=100b(2- )-2bn=100b(2-0.02n- )(nN=100b(2- )-2bn=100b(2-0.02n- )(nN* *).).因?yàn)橐驗(yàn)镃 Cn n-C-Cn-1n-1=100b( -0.02)0=100b( -0.02)0即即2 2n n50,nN50,nN* *, ,所以所以n5(nNn5(nN* *),),因?yàn)橐驗(yàn)镃 Cn+1n+1-C-Cn n=100b( -0.02)0=100b( -0.02)02 2n n2525n5,n5,所以所以n=5.n=5.所以要使該產(chǎn)品每日獲得的利潤(rùn)最大，則每日電視廣告需播所以要使該產(chǎn)品每日獲得的利潤(rùn)最大，則每日電視廣告需播5 5次次. .n12n12n12n 112