2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：41 綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法 Word版含解析

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1、 綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法 建議用時(shí)：45分鐘 一、選擇題 1．用反證法證明命題：“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60”時(shí)，應(yīng)假設(shè)(　　) A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60 B．三個(gè)內(nèi)角都大于60 C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60 D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60 B　[至少有一個(gè)包含“一個(gè)、兩個(gè)和三個(gè)”，故其對立面三個(gè)內(nèi)角都大于60，故選B.] 2．分析法又稱執(zhí)果索因法，已知x>0，用分析法證明<1＋時(shí)，索的因是(　　) A．x2>1　　　　 B．x2>4 C．x2>0 D．x2>1 C　[因?yàn)閤>0，所以要證<1＋， 只需證()2<2， 即證0<，即證x

2、2>0， 因?yàn)閤>0，所以x2>0成立，故原不等式成立．] 3．(2019哈爾濱模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n≥2)”時(shí)，由n＝k(k≥2)時(shí)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是(　　) A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 C　[n＝k＋1時(shí)，左邊＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，增加了＋＋…＋，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k項(xiàng)，故選C.] 4．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2＞0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒為負(fù)值 B．恒等于零 C．恒為正值 D．無法確定正負(fù)

3、 A　[由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)＜0，故選A.] 5．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命題總成立的是(　　) A．若f(1)<1成立，則f(10)<100成立 B．若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k

4、)≥k2成立 D　[由條件可知不等式的性質(zhì)只對大于等于號成立，所以A錯(cuò)誤；若f(1)≥1成立，則得到f(2)≥4，與f(2)<4矛盾，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)f(3)≥9成立，無法推導(dǎo)出f(1)，f(2)，所以C錯(cuò)誤；若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立，所以D正確．] 二、填空題 6.＋與2＋的大小關(guān)系為________． ＋>2＋　[要比較＋與2＋的大小，只需比較(＋)2與(2＋)2的大小， 只需比較6＋7＋2與8＋5＋4的大小， 只需比較與2的大小，只需比較42與40的大小， ∵42>40，∴＋>2＋.] 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋＞的過程中，由n＝k

5、推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是________． 　[不等式的左邊增加的式子是＋－＝.] 8．若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________． 　[若二次函數(shù)f(x)≤0在區(qū)間[－1,1]內(nèi)恒成立， 則 解得p≤－3或p≥， 故滿足題干要求的p的取值范圍為.] 三、解答題 9．已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z＝1，求證：>8. [證明]　因?yàn)閤，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z＝1， 所以－1＝＝＞，① －1＝＝＞，② －1＝＝＞，③ 由①

6、②③，得>8. 10．設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和． (1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列； (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？ [解]　(1)證明：假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，則S＝S1S3， 即a(1＋q)2＝a1a1(1＋q＋q2)， 因?yàn)閍1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即q＝0，這與公比q≠0矛盾， 所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列． (2)當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，故{Sn}是等差數(shù)列； 當(dāng)q≠1時(shí)，{Sn}不是等差數(shù)列．假設(shè){Sn}是等差數(shù)列， 則2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)， 由

7、于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2. 得q＝0，這與公比q≠0矛盾． 綜上，當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列； 當(dāng)q≠1時(shí)，數(shù)列{Sn}不是等差數(shù)列． 1．設(shè)x，y，z＞0，則三個(gè)數(shù)＋，＋，＋(　　) A．都大于2　　　　 B．至少有一個(gè)大于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．至少有一個(gè)不大于2 C　[因?yàn)椋剑?， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)等號成立． 所以三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2，故選C.] 2．已知函數(shù)f(x)＝x，a，b是正實(shí)數(shù)，A＝f， B＝f()，C＝f，則A，B，C的大小關(guān)系為(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A

8、 D．C≤B≤A A　[∵≥≥，又f(x)＝x在R上是減函數(shù)， ∴f≤f()≤f，即A≤B≤C.] 3．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)．若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)＝________；當(dāng)n＞4時(shí)，f(n)＝________(用n表示)． 5　(n＋1)(n－2)　[由題意知f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，可以歸納出每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)為原有直線的條數(shù)，所以f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，猜測得出f(n)－f(n－1)＝n－1(n≥4)．有f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)

9、，所以f(n)＝(n＋1)(n－2)．] 4．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn， an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜想{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論． (2)證明：＋＋…＋＜. [解]　(1)由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥

10、1)時(shí)，結(jié)論成立， 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2. 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)， bk＋1＝＝(k＋2)2.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對一切正整數(shù)都成立． (2)＝＜. 當(dāng)n≥2時(shí)，由(1)知 an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n. 故＋＋…＋ ＜＋ ＝＋ ＝＋＜＋＝. 綜上，原不等式成立． 1．(2019廣州模擬)十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“當(dāng)整數(shù)n＞2時(shí)，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn沒有正整數(shù)

11、解”．經(jīng)歷三百多年，于二十世紀(jì)九十年代中期由英國數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯證明了費(fèi)馬猜想，使它終成費(fèi)馬大定理，則下面說法正確的是(　　) A．至少存在一組正整數(shù)組(x，y，z)使方程x3＋y3＝z3有解 B．關(guān)于x，y的方程x3＋y3＝1有正有理數(shù)解 C．關(guān)于x，y的方程x3＋y3＝1沒有正有理數(shù)解 D．當(dāng)整數(shù)n＞3時(shí)，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn沒有正實(shí)數(shù)解 C　[由于B，C兩個(gè)命題是對立的，故正確選項(xiàng)是這兩個(gè)選項(xiàng)中的一個(gè)．假設(shè)關(guān)于x，y的方程x3＋y3＝1有正有理數(shù)解，故x，y可寫成整數(shù)比值的形式，不妨設(shè)x＝，y＝，其中m，n為互質(zhì)的正整數(shù)，a，b為互質(zhì)的正整數(shù)．代入方程得＋＝1

12、，兩邊乘以a3n3得，(am)3＋(bn)3＝(an)3，由于am，bn，an都是正整數(shù)，這與費(fèi)馬大定理矛盾，故假設(shè)不成立，所以關(guān)于x，y的方程x3＋y3＝1沒有正有理數(shù)解．故選C.] 2．已知xi>0(i＝1,2,3，…，n)，我們知道(x1＋x2)≥4成立． (1)求證：(x1＋x2＋x3)≥9. (2)同理我們也可以證明出(x1＋x2＋x3＋x4)≥16.由上述幾個(gè)不等式，請你猜測一個(gè)與x1＋x2＋…＋xn和＋＋…＋(n≥2，n∈N＋)有關(guān)的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． [解]　(1)證明：法一：(x1＋x2＋x3) ≥33＝9(當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2＝x3時(shí)，等號成立)． 法二

13、：(x1＋x2＋x3) ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9(當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2＝x3時(shí)，等號成立)． (2)猜想：(x1＋x2＋…＋xn)≥n2(n≥2，n∈N＋)． 證明如下： ①當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得猜想成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)，猜想成立， 即(x1＋x2＋…＋xk)≥k2， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， (x1＋x2＋…＋xk＋xk＋1) ＝(x1＋x2＋…＋xk)＋(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1 ＋1 ≥k2＋(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1＋1 ＝k2＋＋＋…＋＋1≥k2＋2＋2＋…＋ ＋1 ＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立． 綜合①②可知，猜想成立．