2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時集訓(xùn):34 等差數(shù)列及其前n項和 Word版含解析

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1、 等差數(shù)列及其前n項和 建議用時:45分鐘 一、選擇題 1.若{an}為等差數(shù)列,且a7-2a4=-1,a3=0,則公差d等于(  ) A.-2 B.- C. D.2 B [由于a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1,則a1=1.又由a3=a1+2d=1+2d=0,解得d=-.故選B.] 2.(2019峨眉山模擬)在等差數(shù)列{an}中,a3,a9是方程x2+24x+12=0的兩根,則數(shù)列{an}的前11項和等于(  ) A.66 B.132 C.-66 D.-132 D [因為a3,a9是方程x2+24x+12=0的兩根,所以a3+a9=-24,

2、 又a3+a9=-24=2a6,所以a6=-12, S11===-132,故選D.] 3.?dāng)?shù)列{an}滿足2an=an-1+an+1(n≥2),且a2+a4+a6=12,則a3+a4+a5=(  ) A.9 B.10 C.11 D.12 D [由2an=an-1+an+1(n≥2)可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴a2+a4+a6=a3+a4+a5=12.故選D.] 4.公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a6=3a4,且S10=λa4,則λ的值為(  ) A.15 B.21 C.23 D.25 D [由題意得a1+5d=3(a1+3d),∴a1=-2d. ∴λ=

3、===25,故選D.] 5.等差數(shù)列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,則其前n項和取最小值時的n的值為(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 C [∵|a6|=|a11|且公差d>0, ∴a6=-a11. ∴a6+a11=a8+a9=0, 且a8<0,a9>0 ∴a1

4、a1=d,所以===4.] 7.(2019江蘇高考)已知數(shù)列{an}(n∈N+)是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.若a2a5+a8=0,S9=27,則S8的值是________. 16 [由題意可得: 解得 則S8=8a1+d=-40+282=16.] 8.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,前n項和為Sn,滿足a1+5a3=S8,給出下列結(jié)論: ①a10=0;②S10最?。虎跾7=S12;④S20=0.其中一定正確的結(jié)論是________.(填序號) ①③ [a1+5(a1+2d)=8a1+28d, 所以a1=-9d, a10=a1+9d=0,故①正確; 由于d的符號未知,所以S

5、10不一定最大,故②錯誤; S7=7a1+21d=-42d,S12=12a1+66d=-42d, 所以S7=S12,故③正確; S20=20a1+190d=10d,不一定為0,故④錯誤. 所以正確的是①③.] 三、解答題 9.已知數(shù)列{an}滿足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=. (1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. [解] (1)證明:∵- ==, ∴bn+1-bn=, ∴{bn}是等差數(shù)列. (2)由(1)及b1===1. 知bn=n+, ∴an-1=,∴an=. 10.(2019全國卷

6、Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知S9=-a5. (1)若a3=4,求{an}的通項公式; (2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范圍. [解] (1)設(shè){an}的公差為d. 由S9=-a5得a1+4d=0. 由a3=4得a1+2d=4. 于是a1=8,d=-2. 因此{(lán)an}的通項公式為an=10-2n. (2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d, Sn=. 由a1>0知d<0,故Sn≥an等價于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10,所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10,n∈N+}. 1.(2019開福區(qū)校級模擬)《周髀算經(jīng)》中有這樣一

7、個問題:從冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列,冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺,前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺,則芒種日影長為(  ) A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 B [設(shè)此等差數(shù)列{an}的公差為d, 則a1+a4+a7=3a1+9d=31.5,9a1+d=85.5, 解得d=-1,a1=13.5.則a12=13.5-11=2.5.故選B.] 2.(2019深圳模擬)若{an}是等差數(shù)列,首項a1>0.a2 018+a2 019>0,a2 018a2 019<0,則使

8、前n項和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是(  ) A.2 018 B.2 019 C.4 036 D.4 037 C [{an}是等差數(shù)列,首項a1>0.a2 018+a2 019>0,a2 018a2 019<0,所以{an}是遞減的等差數(shù)列,且a2 018>0,a2 019<0,因為a2 018+a2 019=a1+a4 036>0, 2a2 019=a1+a4 037>0, ∴S4 036=4 036>0,S4 037=4 037<0, 所以使前n項和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是4 036.故選C.] 3.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則

9、Sn=________. - [∵an+1=Sn+1-Sn, ∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn, 又由a1=-1,知Sn≠0, ∴-=1, ∴是等差數(shù)列,且公差為-1,而==-1, ∴=-1+(n-1)(-1)=-n, ∴Sn=-.] 4.已知一次函數(shù)f(x)=x+8-2n. (1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an},求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列; (2)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像與y軸的交點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn},求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. [解] (1)證明:由題意得an=8-2n, 因為an+1-an=8-2(n+1)-8+2n=-2

10、,且a1=8-2=6, 所以數(shù)列{an}是首項為6,公差為-2的等差數(shù)列. (2)由題意得bn=|8-2n|. 由b1=6,b2=4,b3=2,b4=0,b5=2, 可知此數(shù)列前4項是首項為6,公差為-2的等差數(shù)列,從第5項起,是首項為2,公差為2的等差數(shù)列. 所以當(dāng)n≤4時,Sn=6n+(-2)=-n2+7n, 當(dāng)n≥5時,Sn=S4+(n-4)2+2=n2-7n+24. 故Sn= 1.在數(shù)列{an}中,a1=2,其前n項和為Sn.若點(diǎn)在直線y=2x-1上,則a9等于(  ) A.1 290 B.1 280 C.1 281 D.1 821 C [由已知可得-1=2,

11、 又-1=a1-1=1, 所以數(shù)列是首項為1,公比為2的等比數(shù)列, 所以-1=2n-1,得Sn=n(1+2n-1), 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n+1)2n-2+1, 故 a9=10128+1=1 281.] 2.等差數(shù)列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=[an],求數(shù)列{bn}的前10項和,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2. [解] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意有 2a1+5d=4,a1+5d=3. 解得a1=1,d=. 所以{an}的通項公式為an=. (2)由(1)知,bn=. 當(dāng)n=1,2,3時,1≤<2,bn=1; 當(dāng)n=4,5時,2≤<3,bn=2; 當(dāng)n=6,7,8時,3≤<4,bn=3; 當(dāng)n=9,10時,4≤<5,bn=4. 所以數(shù)列{bn}的前10項和為13+22+33+42=24.

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