暨南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科碩士研究生入學(xué)《高等代數(shù)》考試大綱

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1、暨南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科 2014 年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目 《高等代數(shù)》 考試大綱 本《高等代數(shù)》考試大綱適用于暨南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理 統(tǒng)計(jì)、 應(yīng)用數(shù)學(xué)） 碩士研究生入學(xué)考試。 高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的最基本課程之一， 也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課。 它的主要內(nèi)容包括多項(xiàng)式理論、 行列式、 線性方 程組、矩陣?yán)碚?、二次型理論、線性空間、線性變換、 “矩陣、歐氏空間。要求考生熟悉基 本概念、掌握基本定理、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合分析解決問題能力。 一、考試的基本要求 要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想

2、 和方法。 要求考生具有抽象思維能力、 邏輯推理能力、 運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析 問題和解決問題的能力。 二、考試內(nèi)容 多項(xiàng)式 1． 一元多項(xiàng)式的整除、最大公因式、帶余除法公式、互素、不可約、因式分解、 重因式、根及重根、多項(xiàng)式函數(shù)的概念及判別； 2． 復(fù)根存在定理（代數(shù)基本定理） ； 3． 根與系數(shù)關(guān)系； 4． 一些重要定理的證明，如多項(xiàng)式的整除性質(zhì)， Eisenstein 判別法，不可約多項(xiàng) 式的性質(zhì)，整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理等； 5． 運(yùn)用多項(xiàng)式理論證明有關(guān)命題， 如與多項(xiàng)式的互素和不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)有關(guān) 的問題的證明與應(yīng)用； 6． 用多項(xiàng)式函數(shù)方法證明有

3、關(guān)結(jié)論。 行列式 1． n-級排列、對換、n-級排列的逆序及逆序數(shù)和奇偶性； 2． n -階行列式的定義， 基本性質(zhì)及常用計(jì)算方法 （如三角形法、 加邊法、 降階法、 遞推法、按一行或一列展開法、 Laplace展開法、Vandermonde行列式法）； 3． Vandermonde 行列式； 4． 行列式的代數(shù)余子式。 線性方程組 1． 向量組線性相（無）關(guān)的判別及相應(yīng)齊次線性方程組有（無）非零解的相關(guān)向 量判別法、行列式判別法； 2． 向量組的極大線性無關(guān)組的性質(zhì)，向量組之間秩的大小關(guān)系定理及其三個推 論， 向量組的秩的概念及計(jì)算，矩陣的行秩、列秩、秩概念及其行列式判

4、別 法和計(jì)算； 3． Cramer 法則，線性方程組有（無）解的判別定理，齊次線性方程組有（無）非 零解的矩陣秩判別法、基礎(chǔ)解系的計(jì)算和性質(zhì)、通解的求法； 4． 非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu)定理； 矩陣?yán)碚? 1． 矩陣基本運(yùn)算、分塊矩陣運(yùn)算及常用分塊方法并用于證明與矩陣相關(guān)的結(jié)論， 如有關(guān)矩陣秩的不等式； 2． 初等矩陣、初等變換及其與初等矩陣的關(guān)系和應(yīng)用； 3． 矩陣的逆和矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形的概念及計(jì)算， 矩陣可逆的條件及其與矩陣的秩 和初等矩陣的關(guān)系，伴隨矩陣概念及性質(zhì)； 4． 行列式乘積定理； 5． 矩陣的轉(zhuǎn)置及相關(guān)性質(zhì)； 6． 一些特殊矩陣的常用性質(zhì)，如，對

5、角陣、三角陣、三對角陣、對稱矩陣、反對 稱矩陣、冪等矩陣、冪零矩陣、正交矩陣等； 7． 矩陣的跡、方陣的多項(xiàng)式； 8． 矩陣的常用分解，如等價分解、滿秩分解、實(shí)可逆矩陣的正交三角分解、約當(dāng) 分解； 9． 應(yīng)用矩陣?yán)碚摻鉀Q一些問題。 二次型理論 1． 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念和計(jì)算，慣性定理及其應(yīng)用； 2． 實(shí)二次型或?qū)崒ΨQ矩陣正定、 半正定、 負(fù)定、 半負(fù)定的概念及判定條件和應(yīng)用； 3． 實(shí)二次型在合同變換下的規(guī)范形以及在正交變換下的特征值標(biāo)準(zhǔn)型的求法。 線性空間； 1． 線性空間、子空間的定義及性質(zhì)； 2． 線性空間中一個向量組的秩及計(jì)算方法； 3． 線性（子

6、）空間的基和維數(shù)與向量關(guān)于基的坐標(biāo)，子空間的基擴(kuò)充定理，基變 換與坐標(biāo)變換，生成子空間，子空間的直和，一些常見的子空間，如線性方程 組的解空間，矩陣空間，多項(xiàng)式空間，函數(shù)空間； 4． 子空間的直和、維數(shù)公式； 5． 線性空間的同構(gòu)； 6． 向量組線性相關(guān)或無關(guān)及子空間直和等相關(guān)結(jié)論的綜合證明； 線性變換 1． 線性變換定義與運(yùn)算及其矩陣表示； 2． 矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式及其有關(guān)性質(zhì)； 3． 線性變換及其對應(yīng)矩陣的特征值和特征向量的概念和計(jì)算； 4． 線性變換及其矩陣的線性無關(guān)特征向量的判別和最大個數(shù)及特征子空間； 5． 實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)； 6．

7、 矩陣相似的概念及同一個線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系； 7． 線性變換的不變子空間、核、值域的概念及關(guān)系和計(jì)算； 8． 線性變換和矩陣可對角化的概念和條件； 9． Hamilton-Caylay 定理。 （八）%矩陣 1 .入-矩陣的初等變換、標(biāo)準(zhǔn)型、行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之 間的關(guān)系； 2 ． 矩陣的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形的存在唯一性定理的證明及其應(yīng)用。 (九) 歐氏空間 1． 內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡單性質(zhì)，如柯西 — 布涅可夫斯基不等式、三角不等 式、勾股定理等； 2． 歐氏空間的度量矩陣的概念及性質(zhì)； 3． 歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基概念及其求法

8、和性質(zhì)的證明與應(yīng)用； 4． 正交變換和正交矩陣的等價條件； 5． 對稱變換的概念及其簡單性質(zhì)； 6． 實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化定理及其相應(yīng)正交矩陣和對角矩陣的求法； 7． 線性無關(guān)向量組的施密特( Schmidt )正交化方法； 8． Gram 行列式、初等旋轉(zhuǎn)和鏡像變換、酉空間和酉變換； 9． 正交相似變換和酉相似變換。 三、考試方法和考試時間 高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時間為 180 分鐘。 四、 考試題型 填空題、單項(xiàng)選擇題、計(jì)算題、證明題。 五、主要參考書目 [1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編， 《高等代數(shù)》 ， 高等教育出版社， 2003 年 9 月第 3 版 . [2]張禾瑞，郝金丙新編，《高等代數(shù)》，高等教育出版社， 1997. [3] 姚慕生編， 《高等代數(shù)》 ，復(fù)旦大學(xué)出版社， 2003.