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1、
例談定積分的兩種非常規(guī)用法
定積分是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，它不僅為傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)注入了新鮮血液，還給學(xué)生提供了數(shù)學(xué)建模的新思路、“用數(shù)學(xué)”的新意識(shí)，通常利用定積分可以求平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體體積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程及變力作功等。另外，利用定積分也能求物體所受的力、證明不等式。
一、求物體所受的力
例1.矩形閘門寬a米，高h(yuǎn)米垂直放在水中，上沿與水面平齊，則該閘門所受水的壓力F等于 （ ）
其中水的密度為kg/m3，g單位是m/s2，
A. B.
C. D.
解析：建立如圖所示坐標(biāo)系.取x為積
2、分變量，x∈[0，h]，
（h，）
x
x+dx
O
y
x
任取子區(qū)間[x，x+dx][0，h]，∵閘門所受水的壓力F=ps，
其中p為壓強(qiáng)，s為受力面積，又p=gx，（x為水的深度.），
∴相應(yīng)一薄層水對(duì)閘門的壓力近似為：
dF= pds=gxds=gxa dx，
于是整個(gè)閘門所受水的壓力F為：F==，
故選A.
點(diǎn)評(píng)：閘門所受水的壓強(qiáng)p是關(guān)于水深x的函數(shù),隨著x的變化而變化；且閘門的受力面積s也是關(guān)于水深x的函數(shù).所以可用分割、近似代替、求和、取極限的方法,即用定積分的定義來(lái)求該閘門所受水的壓力F.
例2. 矩形閘門上沿與水面平齊，且垂直放在水中，過此閘門的中
3、心作水平線將矩形閘門分為面積相等的上下兩部分，設(shè)上部所受水的壓力為F1，下部所受水的壓力為F2，則等于 （ ）
A. B. C. D. 與矩形的具體尺寸有關(guān)
- 1 - / 3
解析：由例1知F1 =，F(xiàn)2=，
∴==.
故選B.
二、利用積分證明不等式
例3.求證16＜＜17.
證明：可以考慮函數(shù)f（x）=在區(qū)間[k-1，k]（k=2，3，…，80）上的定積分.
由＜，得=1+＜1+
=1+=1+2（）≈16.9＜17.
同理，由＞，有＞
==2（）=16.
綜上所述，即證得16＜＜17.
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