《【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三篇 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4講 定積分的概念與微積分基本定理教案 理 新人教版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三篇 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4講 定積分的概念與微積分基本定理教案 理 新人教版(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第4講 定積分的概念與微積分基本定理
【2013年高考會(huì)這樣考】
1.考查定積分的概念,定積分的幾何意義,微積分基本定理.
2.利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程.
【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】
定積分的考查頻率不是很高,本講復(fù)習(xí)主要掌握定積分的概念和幾何意義,使用微積分基本定理計(jì)算定積分,使用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題等.
基礎(chǔ)梳理
1.定積分
(1)定積分的定義及相關(guān)概念
如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點(diǎn)a=x0
2、取一點(diǎn)ξi(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx=f(ξi),當(dāng)n→∞時(shí),上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作f(x)dx.
在f(x)dx中,a與b分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間,f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式.
(2)定積分的性質(zhì)
①kf(x)dx=kf(x)dx(k為常數(shù)).
②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx.
③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a
3、′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a),這個(gè)結(jié)論叫微積分基本定理,又叫牛頓—萊布尼茲公式.
3.定積分的應(yīng)用
(1)定積分與曲邊梯形的面積
定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的,但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積.這要結(jié)合具體圖形來(lái)定:
一種思想
定積分基本思想的核心是“以直代曲”,用“有限”的步驟解決“無(wú)限”過(guò)程的問(wèn)題,其方法是“分割求近似,求和取極限”,利用這種方法可推導(dǎo)球的表面積和體積公式等.恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始以及微積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.
三條性質(zhì)
(
4、1)常數(shù)可提到積分號(hào)外;
(2)和差的積分等于積分的和差;
(3)積分可分段進(jìn)行.
一個(gè)公式
由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù),由此可知,求導(dǎo)與積分是互為逆運(yùn)算.
雙基自測(cè)
2.(2011湖南)由直線x=-,x=,y=0與曲線y=cos x所圍成的封閉圖形的面積為( ).
A. B.1 C. D.
解析 S=∫-cos xdx=2∫0cos xdx=0=.
答案 D
4.如圖,在一個(gè)長(zhǎng)為π,寬為2的矩形OABC內(nèi),曲線y=sin x(0≤x≤
5、π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分,向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的),則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是( ).
A. B. C. D.
考向一 定積分的計(jì)算
【例1】 計(jì)算下列積分
當(dāng)原函數(shù)較難求時(shí),可考慮由其幾何意義解得.
考向
6、二 利用定積分求面積
【例2】 求下圖中陰影部分的面積.
[審題視點(diǎn)] 觀察圖象要仔細(xì),求出積分上下限,找準(zhǔn)被積函數(shù).
解 解方程組
得,或
S陰影=dx-8+|-|dx+2
=+-6=18.
求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟
(1)畫(huà)出圖形,確定圖形的范圍,通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo).定出積分的上、下限;(2)確定被積函數(shù),特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置;(3)寫(xiě)出平面圖形面積的定積分的表達(dá)式;(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分,求出平面圖形的面積.
【訓(xùn)練2】 求曲線y=,y=2-x,y=-x所圍成圖形的面積.
解 由得交點(diǎn)A(1,1);
由得交點(diǎn)B
7、(3,-1).
故所求面積S=dx+dx
=+
=++=.
考向三 定積分的應(yīng)用
【例3】 一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t=0(s)開(kāi)始以速度v=t2-4t+3(m/s)運(yùn)動(dòng).求:
(1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程.
[審題視點(diǎn)] 理解函數(shù)積分后的實(shí)際意義,確定被積函數(shù).
解 (1)在時(shí)刻t=4時(shí)該點(diǎn)的位置為
(t2-4t+3)dt==(m),
即在t=4 s時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn) m.
(2)因?yàn)関(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),所以在區(qū)間[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0,
在區(qū)間[1,3]上,v(t)≤0,所以t=4 s時(shí)的路
8、程為
S=(t2-4t+3)dt+|(t2-4t+3)dt|+(t2-4t+3)dt
=+||+
=++=4 (m),
即質(zhì)點(diǎn)在4s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為4 m.
由s=v0t+at2通過(guò)求導(dǎo)可推出v=v0+at,反之根據(jù)積分的幾何意義,由v=v(t)(v(t)≥0)可求出t∈[a,b]時(shí)間段內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.
【訓(xùn)練3】 已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),并沿同一路線(假定為直線)行駛,甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示).那么對(duì)于圖中給定的t0和t1,下列判斷中一定正確的是( ).
A.在t1時(shí)刻,甲車在乙車前面
B.t1時(shí)刻后,甲車在乙車后面
C.在t0時(shí)刻,
9、兩車的位置相同
D.t0時(shí)刻后,乙車在甲車前面
解析 可觀察出曲線v甲,直線t=t1與t軸圍成的面積大于曲線v乙,直線t=t1與t軸圍成的面積,故選A.
答案 A
難點(diǎn)突破8——積分的綜合應(yīng)用
定積分的考查在試卷中不是必然出現(xiàn)的,一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),試題難度不大,在近兩年的高考中,考查的一般是定積分的計(jì)算和定積分在求曲邊圖形面積中的應(yīng)用等,如2011年福建卷,陜西卷考查的是定積分的計(jì)算,新課標(biāo)全國(guó)卷、湖南卷、山東卷考查的是定積分求曲邊形的面積.
一、積分的幾何意義
【示例】? 已知r>0,則-rdx=________.
二、積分與概率
【示例】? (2010陜西)從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為_(kāi)_________.
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