高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示教師用書 理

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1、 第二節(jié)　平面向量基本定理及坐標表示 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 1.了解平面向量的基本定理及其意義； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示； 3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算； 4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件。 2015，北京卷，13,5分(平面向量基本定理) 2015，江蘇卷，6,5分(平面向量坐標運算) 2013，北京卷，13,5分(平面向量基本定理) 1.以考查平面向量的坐標運算為主，平面向量基本定理的應(yīng)用也是考查的熱點； 2.題型以選擇題、填空題為主，要求相對較低，主要與平面向量的數(shù)量積結(jié)合考查。

2、 微知識　小題練 自|主|排|查 1．平面向量基本定理 (1)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。 (2)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。 2．平面向量的坐標表示 在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a＝x i＋yj，由于a與數(shù)對(x，y)是一一對應(yīng)的，把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，其中a在x軸上的坐標是x，a在y軸上的坐標是y。 3．平面向量

3、的坐標運算 向量的加法、減法 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 向量的 數(shù)乘 設(shè)a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy) 向量坐標的求法 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1) 4．向量共線的坐標表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0。 微點提醒 1．能作為基底的兩個向量必須是不共線的。 2．向量的坐標與點的坐標不同，向量平移后，其起點和終點的坐標都變了，但由于向量的坐標均為終點坐標減去起點坐標，故平移后坐標

4、不變。 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0。 小|題|快|練 一 、走進教材 1．(必修4P99例8改編)設(shè)P是線段P1P2上的一點，若P1(1,3)，P2(4,0)且P是P1P2的一個三等分點，則點P的坐標為(　　) A．(2,2) B．(3，－1) C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1) 【解析】　由題意得＝或＝，＝(3，－3)。 設(shè)P(x，y)，則＝(x－1，y－3)， 當＝時，(x－1，y－3)＝(3，－3)， 所以x＝2，y＝2時，即P(

5、2,2)。 當＝時，(x－1，y－3)＝(3，－3)， 所以x＝3，y＝1，即P(3,1)。故選D。 【答案】　D 2．(必修4P108A組T7改編)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則＝(　　) A．－ B. C．－2 D．2 【解析】　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)。由ma＋nb與a－2b共線，得＝，所以＝－。故選A。 【答案】　A 二、雙基查驗 1．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，則＝(　　) A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－

6、2) D．(2,2) 【解析】　∵＝＋， ∴＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)。故選A。 【答案】　A 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，則a＋b等于(　　) A．(－2，－1) B．(2,1) C．(3，－1) D．(－3,1) 【解析】　由a∥b可得2(－2)－1x＝0， 故x＝－4，所以a＋b＝(－2，－1)。故選A。 【答案】　A 3．已知兩點A(4,1)，B(7，－3)，則與同向的單位向量是(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵A(4,1)，B(7，－3)，∴＝(3，－4)。 ∴與同向的單位向量為＝。故選

7、A。 【答案】　A 4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別是CD，AB的中點，設(shè)＝a，＝b。若＝ma＋nb，則＝________。 【解析】　∵＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b， ∴m＝，n＝－1?！啵剑?。 【答案】?。? 5．在?ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標為________。 【解析】　設(shè)＝(x，y)，因為＝＋， 所以(1,3)＝(2,4)＋(x，y)， 所以即所以＝(－1，－1)， 所以＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)。 【答案】　(－3，－5) 微考點　大課堂 考點一 平

8、面向量基本定理及其應(yīng)用…………母題發(fā)散 【典例1】　(1)如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是(　　) A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2 C．e1＋e2與e1－e2 D．e1－2e2與－e1＋2e2 (2)(2017福州模擬)在△ABC中，點P是AB上一點，且＝＋，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又＝t，則實數(shù)t的值為________。 【解析】　(1)選項A中，設(shè)e1＋e2＝λe1，則無解； 選項B中，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則無解； 選項C中，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，

9、則無解； 選項D中，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以兩向量是共線向量。故選D。 (2)因為＝＋， 所以3＝2＋， 即2－2＝－， 所以2＝。 即P為AB的一個三等分點(靠近A點)， 又因為A，M，Q三點共線，設(shè)＝λ。 所以＝－＝λ－＝ λ－＝＋， 又＝t＝t(－)＝ t＝－t。 故解得故t的值是。 【答案】　(1)D　(2) 【母題變式】　在本典例(2)中，試問點M在AQ的什么位置？ 【解析】　由(2)的解析＝＋及λ＝，＝2知，＝λ(－)＋ ＝＋(1－λ) ＝λ＋(1－λ)＝。 因此點M是AQ的中點。 【答案】　點M是AQ的中點 反思歸納　應(yīng)用平

10、面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或數(shù)乘運算，基本方法有兩種： (1)運用向量的線性運算法則對所求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止； (2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解。 考點二 平面向量的坐標運算 【典例2】　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)。設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b。 (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (3)求M，N的坐標及向量的坐標。 【解析】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝

11、(1,8)。 (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)。 (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)。 ∴M(0,20)。 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)。 ∴N(9,2)。∴＝(9，－18)。 【答案】　(1)(6，－42)　(2)m＝－1，n＝－1 (3)M(0,20)　N(9,2)?。?9，－18) 反思歸納　向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運

12、算法則進行。若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則。 【變式訓(xùn)練】　(1)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝________。 (2)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為________。 【解析】　(1)＝＝－＝(－1，－1)，＝＋＝(－2，－4)＋(－1，－1)＝(－3，－5)。 (2)設(shè)a＝(x，y)，x<0，y<0，則x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)。 【答案】　(

13、1)(－3，－5)　(2)(－4，－2) 考點三 向量共線的坐標表示…………多維探究 角度一：利用向量共線的坐標運算求參數(shù)值 【典例3】　設(shè)0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，則tanθ＝________。 【解析】　由a∥b得sin2θ－cos2θ＝0，即2sinθcosθ＝cos2θ，又0<θ<，cosθ≠0，所以2sinθ＝cosθ可得tanθ＝。 【答案】　 角度二：利用向量共線的坐標運算求點的坐標 【典例4】　(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標

14、為________。 (2)已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標為________。 【解析】　(1)∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB， ∴＝2。 設(shè)點D的坐標為(x，y)， 則＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， ＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故點D的坐標為(2,4)。 (2)解法一：由O，P，B三點共線，可設(shè)＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)。 又＝－＝(－2,6)，由與共線，得(4λ－4)6－4λ(－2

15、)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以點P的坐標為(3,3)。 解法二：設(shè)點P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4,4)，且與共線，所以＝，即x＝y(tǒng)。 又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線， 所以(x－4)6－y(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3， 所以點P的坐標為(3,3)。 【答案】　(1)(2,4)　(2)(3,3) 反思歸納　平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略 (1)利用兩向量共線求參數(shù)。如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便。 (2)利用兩向量共線

16、的條件求向量坐標。一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量。 (3)三點共線問題。A，B，C三點共線等價于與共線。 【變式訓(xùn)練】　(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b與a－2b共線，則m的值為________。 (2)設(shè)＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則＋的最小值為________。 【解析】　(1)ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)， 由于ma＋4b與a－2b共線，

17、 ∴－(2m－4)＝4(3m＋8)，解得m＝－2。 (2)由題意得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)， 即整理得2a＋b＝2， 所以＋＝(2a＋b)＝≥＝(當且僅當b＝a時，等號成立)。 【答案】　(1)－2　(2) 微考場　新提升 1．在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且＝a，＝b，則＝(　　) A．b－a B．b＋a C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)－b 解析?。剑剑璦＋b＋a＝b－a。故選A。 答案　A 2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，則c等于(　　) A．－a＋

18、b B.a－b C．－a－b D．－a＋b 解析　設(shè)c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)， ∴∴ ∴c＝a－b。故選B。 答案　B 3．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d＝(　　) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) 解析　設(shè)d＝(x，y)，由題意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6，20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－

19、6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)。故選D。 答案　D 4．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是兩個向量集合，則P∩Q等于________。 解析　P中，a＝(－1＋m,1＋2m)， Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)。 則得 此時a＝b＝(－13，－23)。 答案　{(－13，－23)} 5．若三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實數(shù)a的值為________。 解析　＝(a－1,3)，＝(－3,4)， 據(jù)題意知∥，∴4(

20、a－1)＝3(－3)，即4a＝－5， ∴a＝－。 答案?。? 微專題　巧突破 向量問題坐標化 向量具有代數(shù)和幾何的雙重特征，比如向量運算的平行四邊形法則、三角形法則、平面向量基本定理等都可以認為是從幾何的角度來研究向量的特征；而引入坐標后，就可以通過代數(shù)運算來研究向量，凸顯出了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問題奠定了基礎(chǔ)。在處理很多與向量有關(guān)的問題時，坐標化是一種常見的思路，利用坐標可以使許多問題的解決變得更加簡捷。 【典例】　(2016四川高考)已知正三角形ABC的邊長為2，平面ABC內(nèi)的動點P，M滿足||＝1，＝，則||2的最大值是(　　) A.　　　　

21、　　　 B. C. D. 【解析】　建立平面直角坐標系如圖所示，則B(－，0)，C(，0)，A(0,3)，則點P的軌跡方程為x2＋(y－3)2＝1。設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則x＝2x0－，y＝2y0， 代入圓的方程得2＋2＝，所以點M的軌跡方程為2＋2＝，它表示以為圓心，以為半徑的圓，所以||max＝＋＝，所以||2max＝。故選B。 【答案】　B 【變式訓(xùn)練】　給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為。如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上運動。若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值。 【解析】　以O(shè)為坐標原點、所在的直線

22、為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(1,0)，B。 設(shè)∠AOC＝α，則C(cosα，sinα)。 由＝x＋y， 得 所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，又α∈，所以當α＝時，x＋y取得最大值2。 【答案】　2 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375