高考數(shù)學二輪復習 專題對點練7 導數(shù)與不等式及參數(shù)范圍 理

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1、 專題對點練7　導數(shù)與不等式及參數(shù)范圍 1.(2017全國Ⅲ,理21)已知函數(shù)f(x)=x-1-aln x. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)設m為整數(shù),且對于任意正整數(shù)n,1+121+122…1+12n0,由f(x)=1-ax=x-ax知,當x∈(0,a)時,f(x)<0;當x∈(a,+∞)時,f(x)>0. 所以f(x)在(0,a)單調遞減,在(a,+∞)單調遞增. 故x=a是f(x)在(0,+∞)的唯一最小值點. 由于f(

2、1)=0,所以當且僅當a=1時,f(x)≥0.故a=1. (2)由(1)知當x∈(1,+∞)時,x-1-ln x>0.令x=1+12n得ln1+12n<12n. 從而ln1+12+ln1+122+…+ln1+12n<12+122+…+12n=1-12n<1. 故1+121+122…1+12n2,所以m的最小值為3. 2.設f(x)=ax2-a+eex,g(x)=1x+ln x. (1)設h(x)=f(x)-g(x)+ex-exxex,討論y=h(x)的單調性; (2)證明對任意a∈-∞,12,?x∈(1,+∞),使f(x)

3、 (1)解 由h(x)=f(x)-g(x)+ex-exxex=ax2-ln x-a(x>0), 則h(x)=2ax-1x=2ax2-1x. ①a≤0時,h(x)<0,h(x)在(0,+∞)遞減; ②a>0時,令h(x)>0,解得x>12a, 令h(x)<0,解得01時,k1(x)>0,k1(x)在(1,+∞)遞增,k

4、1(x)>k1(1)=0, 若a≤0,由于x>1,故f(x)0, 即存在x=12a>1,使得f(x)

5、)若不等式2xlnx1-x2>mx-1恒成立,求實數(shù)m的取值范圍. 解 (1)f(x)=2x+a+4f(2)x2, 令x=2,則f(2)=1+a+f(2),∴a=-1, 因切點為(2,2ln 2+2a-2f(2)), 則y-(2ln 2+2a-2f(2))=f(2)(x-2), 代入(-4,2ln 2),得2ln 2-2ln 2-2a+2f(2)=-6f(2), ∴f(2)=-14, ∴f(x)=2x-1-1x2=-(x-1)2x2≤0, ∴f(x)在(0,+∞)單調遞減. (2)2xlnx1-x2>mx-1恒成立,即11-x22lnx+1-x2x>m, 令φ(x)=2ln

6、 x+1-x2x, 由(1)可知φ(x)在(0,+∞)單調遞減, ∵φ(1)=0,∴x∈(0,1),φ(x)>0,x∈(1,+∞),φ(x)<0, ∴11-x2φ(x)在(0,+∞)恒大于0,∴m≤0. ?導學號16804171? 4.(2017全國Ⅱ,理21)已知函數(shù)f(x)=ax3-ax-xln x,且f(x)≥0. (1)求a; (2)證明f(x)存在唯一的極大值點x0,且e-2

7、(1)=0, 而g(x)=a-1x,g(1)=a-1,得a=1. 若a=1,則g(x)=1-1x.當01時,g(x)>0,g(x)單調遞增.所以x=1是g(x)的極小值點,故g(x)≥g(1)=0. 綜上,a=1. (2)證明 由(1)知f(x)=x2-x-xln x,f(x)=2x-2-ln x. 設h(x)=2x-2-ln x,則h(x)=2-1x. 當x∈0,12時,h(x)<0;當x∈12,+∞時,h(x)>0. 所以h(x)在0,12內(nèi)單調遞減,在12,+∞內(nèi)單調遞增. 又h(e-2)>0,h12<0,h(1)=0,所

8、以h(x)在0,12內(nèi)有唯一零點x0,在12,+∞內(nèi)有唯一零點1,且當x∈(0,x0)時,h(x)>0;當x∈(x0,1)時,h(x)<0;當x∈(1,+∞)時,h(x)>0. 因為f(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一極大值點. 由f(x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0). 由x0∈(0,1)得f(x0)<14. 因為x=x0是f(x)在(0,1)內(nèi)的最大值點,由e-1∈(0,1),f(e-1)≠0得f(x0)>f(e-1)=e-2. 所以e-2