高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)13 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修21

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1、 課時分層作業(yè)(十三)　 拋物線的簡單幾何性質(zhì) (建議用時：40分鐘) [基礎(chǔ)達標練] 一、選擇題 1．方程y＝－2所表示曲線的形狀是(　　) D　[方程y＝－2等價于故選D.] 2．過拋物線C：y2＝12x的焦點作直線l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝6，則|AB|＝(　　) A．16　 B．12　　　C．10　　　D．8 B　[由題意知p＝6，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12.] 3．過點(2,4)的直線與拋物線y2＝8x只有一個公共點，這樣的直線有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：46342115】 A．1條 B．2條 C．3條 D．4

2、條 B　[點(2,4)在拋物線y2＝8x上，則過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的直線都與拋物線只有一個公共點，故選B.] 4．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為 (　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 B　[易知拋物線的焦點為F，所以過焦點且斜率為1的直線的方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋，代入y2＝2px得y2＝2p＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得＝p＝2(y1，y2分別為點A，B的縱坐標)，所以拋物線的方程為y2＝4x，準線方程為

3、x＝－1.] 5．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝(　　) A．4 B．8 C．8 D．16 B　[設(shè)P(x0，y0)，則A(－2，y0)，又F(2,0) 所以＝－，即y0＝4. 由y＝8x0得8x0＝48，所以x0＝6. 從而|PF|＝6＋2＝8.] 二、填空題 6．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k＝________. 0或1　[當(dāng)k＝0時，直線與拋物線有唯一交點，當(dāng)k≠0時，聯(lián)立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由題意Δ＝16(k－2)2－16k2＝

4、0，∴k＝1.] 7．2017設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC＝120，則圓的方程為________________． (x＋1)2＋(y－)2＝1　[由y2＝4x可得點F的坐標為(1,0)，準線l的方程為x＝－1. 由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點C的橫坐標為－1，圓的半徑為1，∠CAO＝90.又因為∠FAC＝120，所以∠OAF＝30，所以|OA|＝，所以點C的縱坐標為. 所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－)2＝1.] 8．拋物線y2＝4x上的點到直線x－y＋4＝0的最小距離為____

5、____. 【導(dǎo)學(xué)號：46342116】 　[設(shè)與直線x－y＋4＝0平行且與拋物線y2＝4x相切的直線方程為x－y＋m＝0. 由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0 則Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1 即直線方程為x－y＋1＝0 直線x－y＋4＝0與直線x－y＋1＝0的距離為d＝＝. 即拋物線y2＝4x上的點到直線x－y＋4＝0的最小距離為.] 三、解答題 9．已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點P(4，m)到焦點的距離為6. (1)求拋物線C的方程． (2)若拋物線C與直線y＝kx－2相交于不同的兩點A，B，且AB中點橫坐標為2，求k的值．

6、 [解]　(1)由題意設(shè)拋物線方程為y2＝2px，其準線方程為x＝－，因為P(4，m)到焦點的距離等于P到其準線的距離，所以4＋＝6，所以p＝4，所以拋物線C的方程為y2＝8x. (2)由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0. 因為直線y＝kx－2與拋物線相交于不同的兩點A，B，則有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0， 解得k>－1且k≠0. 又＝＝2， 解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值為2. 10．已知AB是拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點F的一條弦．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為M(x0，y0)．求證： (1)若AB的傾斜角為θ，則|AB|＝

7、； (2)x1x2＝，y1y2＝－p2； (3)＋為定值. 【導(dǎo)學(xué)號：46342117】 [證明]　(1)設(shè)直線AB的方程為x＝my＋，代入y2＝2px，可得y2－2pmy－p2＝0， y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm， ∴y＋y＝2p(x1＋x2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝4p2m2＋2p2，∴x1＋x2＝2pm2＋p， ∴θ＝90時，m＝0，x1＋x2＝p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＝； θ≠90時，m＝，x1＋x2＝＋p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2p＝. ∴|AB|＝. (2)由(1)知，y1y2＝－p2，∴x1x2＝＝； (3)＋＝＋＝＝＝

8、. [能力提升練] 1．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，過F作傾斜角為30的直線與拋物線交于A，B兩點，若∈(0,1)，則＝(　　) A. B. C. D. C　[因為拋物線的焦點為F，故過點F且傾斜角為30的直線的方程為y＝x＋，與拋物線方程聯(lián)立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故選C.] 2．過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C的準線，點N在l上，且MN⊥l，則M到直線NF的距離為(　　) A. B．2 C．2 D．3 C　[拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方

9、程為x＝－1.由直線方程的點斜式可得直線MF的方程為y＝(x－1)． 聯(lián)立得方程組 解得或 ∵點M在x軸的上方， ∴M(3,2)． ∵MN⊥l， ∴N(－1,2)． ∴|NF|＝＝4， |MF|＝|MN|＝＝4. ∴△MNF是邊長為4的等邊三角形． ∴點M到直線NF的距離為2. 故選C.] 3．已知點A(2,0)，B(4,0)，動點P在拋物線y2＝－4x上運動，則取得最小值時的點P的坐標是________． (0,0)　[設(shè)P(x0，y0)，則＝(x0－2，y0)， ＝(x0－4，y0)， 所以＝(x0－2)(x0－4)＋y，又y＝－4x0， 所以＝x－10

10、x0＋8＝(x0－5)2－17， 因為x0≤0，所以當(dāng)x0＝0時，取得最小值． 此時點P的坐標為(0,0)．] 4．已知拋物線y2＝4x，過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則y＋y的最小值是________. 【導(dǎo)學(xué)號：46342118】 32　[y＝4x1，y＝4x2，則y＋y＝4(x1＋x2) 若過點P(4,0)的直線垂直于x軸，則直線方程為x＝4， 此時x1＋x2＝8，y＋y＝32， 若過點P(4,0)的直線存在斜率，則設(shè)直線方程為y＝k(x－4)，由得k2x2－(8k2＋4)x＋16k2＝0， 則x1＋x2＝8＋>8，此時y

11、＋y>32 因此y＋y的最小值為32.] 5．已知點A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB. (1)求兩點的橫坐標之積和縱坐標之積． (2)求證：直線AB過定點． [解]　(1)設(shè)點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則有kOA＝，kOB＝. 因為OA⊥OB，所以kOAkOB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0. 因為y＝2px1，y＝2px2，所以＋y1y2＝0. 因為y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2. (2)證明：因為y＝2px1，y＝2px2，兩式相減得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，

12、所以＝，所以kAB＝，故直線AB的方程為y－y1＝(x－x1)， 所以y＝＋y1－， 即y＝＋. 因為y＝2px1，y1y2＝－4p2，代入整理得y＝＋， 所以y＝(x－2p)， 即直線AB過定點(2p,0). 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375