高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何與空間向量 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)練習(xí) 新人教A版

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1、 第七章 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) [基礎(chǔ)訓(xùn)練組] 1．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577673)(2018南陽、信陽等六市一模)設(shè)直線m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列事件中是必然事件的是(　　) A．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m∥n，則α∥β C．若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β 解析：D　[若m∥α，n∥β，m⊥n，則α、β位置關(guān)系不確定，選項(xiàng)A不正確；若m∥α，則α中存在直線c與m平行，m∥n，n⊥β，則c⊥β，又∵c?α，∴α⊥β，選項(xiàng)B不正確；若m⊥α，n∥β，m⊥n，則

2、α、β可以相交，選項(xiàng)C不正確；若m⊥α，m∥n，n⊥β，∴α∥β，選項(xiàng)D正確．故選D.] 2．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577674)已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則(　　) A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直 B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 C．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直 D．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 解析：C　[如圖，在平面β內(nèi)的直線若與α，β的交線a平行，則有m與之垂直．但卻不一定在β內(nèi)有與m平行的直線，只有當(dāng)α⊥β時(shí)才存在．] 3．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577675)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，

3、∠BAC＝90，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在(　　) A．直線AB上　　　 B．直線BC上 C．直線AC上 D．△ABC的內(nèi)部 解析：A　[連接AC1，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上，故選A.] 4．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577676)如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面AD

4、C⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 解析：C　[因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以選C.] 5．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577677)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為(　　) A. B. C. D. 解析：B　[取正三角形ABC的中心O，連接OP，則∠PAO是PA與平面ABC所成的角

5、．因?yàn)榈酌孢呴L為，所以AD＝＝，AO＝AD＝＝1.三棱柱的體積為()2AA1＝，解得AA1＝，即OP＝AA1＝，所以tan∠PAO＝＝，即∠PAO＝.] 6．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577678)設(shè)α，β是空間中兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：　________　(填序號(hào))． 解析：因?yàn)楫?dāng)n⊥β，m⊥α?xí)r，平面α及β所成的二面角與直線m，n所成的角相等或互補(bǔ)，所以若m⊥n，則α⊥β，從而由①③④?②正確；同理②③④?①也正確． 答案：①③④?②或②③④?① 7．(導(dǎo)學(xué)

6、號(hào)14577679)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足　________　時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可) 解析：由定理可知，BD⊥PC.所以當(dāng)DM⊥PC時(shí)，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(答案不唯一) 8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577680)(理科)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與b成30角；

7、②當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與b成60角； ③直線AB與a所成角的最小值為45； ④直線AB與a所成角的最大值為60； 其中正確的是　________　.(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)) 解析：由題意，AB是以AC為軸，BC為底面半徑的圓錐的母線，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點(diǎn)B，作BD∥a，交底面圓C于點(diǎn)D，如圖所示，連結(jié)DE，則DE⊥BD，∴DE∥b，連結(jié)AD，等腰△ABD中，AB＝AD＝，當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，∠ABD＝60，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝，過點(diǎn)B作BF∥DE，交圓C于點(diǎn)F，連結(jié)AF，由圓的對(duì)稱性可知BF＝DE＝，∴△

8、ABF為等邊三角形，∴∠ABF＝60，即AB與b成60角，②正確，①錯(cuò)誤． 由最小角定理可知③正確； 很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，直線AB與a所成的最大角為90，④錯(cuò)誤．正確的說法為②③. 答案：②③ 8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577681)(文科)如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E、F分別是點(diǎn)A在PB、PC上的正投影，給出下列結(jié)論： ①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是　________　. 解析：由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.

9、 ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC. 又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正確． 答案：①②③ 9．(理科)(2018丹東市二模)直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都等于2，點(diǎn)F是棱BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱CC1上，且CC1＝4CE. (1)求證：平面B1AF⊥平面EAF； (2)求點(diǎn)C1到平面AEF的距離． 解：(1)證明：在△B1BF和△FCE中，由題意知＝＝2，∠B1BF＝∠FCE＝， 所以△B1BF∽△FCE， ∠EFC＝∠BB1F， 所以∠B1FB＋∠EFC＝∠B1

10、FB＋∠BB1F＝， 即B1F⊥EF. 由直棱柱的性質(zhì)知，底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，所以AF⊥BC，所以AF⊥側(cè)面BB1C1C，則AF⊥EF，所以EF⊥平面B1AF，從而平面B1AF⊥平面EAF. (2)如圖，連結(jié)AC1，C1F， 設(shè)點(diǎn)C1到平面AEF的距離為d， 經(jīng)計(jì)算S△AEF＝，S△AEC1＝，F(xiàn)G＝，由V三棱錐C1－AFE＝V三棱錐F－AEC1得 S△AEFd＝SAEC1， 解得d＝， 點(diǎn)C1到平面AEF的距離為. 9．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577682)(文科)(2017高考全國Ⅰ卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90.

11、 (1)證明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90，且四棱錐P－ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積． 解：(1)證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90，得AB⊥AP，CD⊥PD. 由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2)在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E. 由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD. 設(shè)AB＝x，則由已知可得AD＝x，PE＝x. 故四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝ABADPE＝x3. 由題設(shè)得x3＝，故x＝2.

12、 從而PA＝PD＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2. 可得四棱錐P－ABCD的側(cè)面積為PAPD＋PAAB＋PDDC＋BC2sin 60＝6＋2. 10．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577683)(理科)如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是CD、A1D1的中點(diǎn)． (1)求證：AB1⊥BF； (2)求證：AE⊥BF； (3)棱CC1上是否存在點(diǎn)P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點(diǎn)P的位置，若不存在，說明理由． 解：(1)證明：連接A1B，則AB1⊥A1B， 又∵AB1⊥A1F，且A1B∩A1F＝A1， ∴AB1⊥平面A1BF.又BF?平面A1BF，∴AB1⊥BF.

13、(2)證明：取AD中點(diǎn)G，連接FG，BG，則FG⊥AE， 又∵△BAG≌△ADE， ∴∠ABG＝∠DAE. ∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G， ∴AE⊥平面BFG. 又BF?平面BFG，∴AE⊥BF. (3)存在．取CC1中點(diǎn)P，即為所求．連接EP，AP，C1D， ∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1. 由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP. 又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E， ∴BF⊥平面AEP. 10．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577684)(文科)(2018開封市一模)如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2，點(diǎn)E為AC

14、中點(diǎn)．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示． (1)在CD上找一點(diǎn)F，使AD∥平面EFB； (2)求三棱錐D－ABC的高． 解：(1)取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF， 在△ACD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)， 所以EF為△ACD的中位線， 所以AD∥EF， EF?平面EFB，AD?平面EFB 所以AD∥平面EFB. (2)設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為h， 因?yàn)槠矫鍭DC⊥平面ABC，且BC⊥AC， 所以BC⊥平面ADC， 所以BC⊥AD，而AD⊥DC， 所以AD⊥平面BCD，即AD⊥BD. 所以S△ADB＝2

15、， 所以三棱錐B－ACD的高BC＝2，S△ACD＝2， 所以2h＝22， 所以可解得h＝2. [能力提升組] 11．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577685)如圖，正方體AC1的棱長為1，過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H.則以下命題中，錯(cuò)誤的是(　　) A．點(diǎn)H是△A1BD的垂心 B．AH垂直于平面CB1D1 C．AH延長線經(jīng)過點(diǎn)C1 D．直線AH和BB1所成角為45 解析：D　[對(duì)于A，由于AA1＝AB＝AD，所以點(diǎn)A在平面A1BD上的射影必到點(diǎn)A1，B，D的距離相等，即點(diǎn)H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故點(diǎn)H是△A1BD的垂心，命題A是真命題； 對(duì)于B，由于B

16、1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，從而AH⊥平面CB1D1，命題B是真命題； 對(duì)于C，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延長線經(jīng)過點(diǎn)C1，命題C是真命題； 對(duì)于D，由C知直線AH即是直線AC1，又直線AA1∥BB1，因此直線AC1和BB1所成的角就等于直線AA1與AC1所成的角，即∠A1AC1，而tan∠A1AC1＝＝，因此命題D是假命題．] 12．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577686)在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60，將菱形沿對(duì)角線AC折起，使折起后BD＝1，則二面角B－AC－D的余弦值為(　　) A. B. C. D.

17、 解析：A　[在菱形ABCD中，連接BD交AC于O點(diǎn)，則AC⊥BD，在折起后的圖中，由四邊形ABCD為菱形且邊長為1，則DO＝OB＝，由于DO⊥AC，BO⊥AC，因此∠DOB就是二面角B－AC－D的平面角，由BD＝1得cos ∠DOB＝＝＝.] 13．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577687)(理科)如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E為CD的中點(diǎn)，M，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，將三角形ADE沿AE折起，則下列說法正確的是　________　.(寫出所有正確說法的序號(hào)) ①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥平面DEC； ②不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，

18、都有MN⊥AE； ③不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))，都有MN∥AB； ④在折起過程中，一定存在某個(gè)位置，使EC⊥AD. 解析：由已知，在未折疊的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE＝AD，折疊后如圖所示． ①過點(diǎn)M作MP∥DE，交AE于點(diǎn)P，連接NP. 因?yàn)镸，N分別是AD，BE的中點(diǎn)， 所以點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，故NP∥EC. 又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E， 所以平面MNP∥平面DEC， 故MN∥平面DEC，①正確； ②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC， 所以AE⊥MP，AE⊥NP， 又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP

19、， 又MN?平面MNP， 所以MN⊥AE，②正確； ③假設(shè)MN∥AB，則MN與AB確定平面MNBA， 從而BE?平面MNBA，AD?平面MNBA，與BE和AD是異面直線矛盾，③錯(cuò)誤； ④當(dāng)EC⊥ED時(shí)，EC⊥AD. 因?yàn)镋C⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E， 所以EC⊥平面AED，AD?平面AED， 所以EC⊥AD，④正確． 答案：①②④ 13．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577688)(文科)(2018泉州市一模)如圖，一張A4紙的長、寬分別為2a,2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P，從而得到一個(gè)多面體，關(guān)于該多面

20、體的下列命題，正確的是　________　.(寫出所有正確命題的序號(hào))． ①該多面體是三棱錐；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④該多面體外接球的表面積為5πa2. 解析：長、寬分別為2a,2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P，從而得到一個(gè)多面體，則①由于(a)2＋(a)2＝4a2，∴該多面體是以A，B，C，D為頂點(diǎn)的三棱錐，正確；②∵AP⊥BP，AP⊥CP，∴AP⊥平面BCD，∵AP?平面BAD，∴平面BAD⊥平面BCD，正確；③與②同理，可得平面BAC⊥平面ACD，正確；④該多面體外接球的半徑為

21、a，表面積為5πa2，正確． 答案：①②③④ 14．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577689)(理科)(2018西安市一模)如圖1：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，AB＝BC＝2，AD＝6，CE⊥AD于E點(diǎn)，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A＝2，如圖2：若G，H分別為D′B，D′E的中點(diǎn)． (1)求證：GH⊥平面AD′C； (2)求平面D′AB與平面D′CE的夾角． 解：(1)證明：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，AB＝BC＝2，AD＝6，CE⊥AD于E點(diǎn)，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A＝2， ∴AE＝CE＝2，D′E＝6－2＝4

22、，∴D′A2＋AE2＝D′E2，CD′＝＝2， ∴AD′⊥AE.∵AD′⊥AB，AE∩AB＝A，∴AD′⊥平面ABCE，∴平面AD′C⊥平面ABCE. 又因?yàn)锳BCE是正方形，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACD′. ∵G，H分別為D′B，D′E的中點(diǎn)，∴GH∥BE，∴GH⊥平面AD′C. (2)如圖，過點(diǎn)D′作直線m∥AB. ∵AB∥EC，∴直線m就是平面D′AB與平面D′CE的交線． ∵CE⊥AE，平面AED′⊥平面ABCE，且交于AE，∴CE⊥D′E，即D′E⊥m. ∵AD′⊥AB，∴AD′⊥m，∵AD′?平面AD′B，D′E?D′CE，∴∠AD′E就是平面D′AB與平面D

23、′CE的夾角的平面角． 在直角三角形AD′E中，AE＝2，D′E＝4，可得∠AD′E＝30. 即平面D′AB與平面D′CE的夾角為30. 14．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577690)(文科)(2018廣州市一模)如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體． (1)求證：AB⊥平面ADC； (2)若AD＝1，AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成角的正切值為，求點(diǎn)B到平面ADE的距離． 解：(1)證明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

24、 又BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD. ∵AB?平面ABD，∴DC⊥AB. 又∵折疊前后均有AD⊥AB，DC∩AD＝D， ∴AB⊥平面ADC. (2)由(1)知DC⊥平面ABD，所以AC在平面ABD內(nèi)的正投影為AD， 即∠CAD為AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成角． 依題意tan∠CAD＝＝， AD＝1，∴CD＝. 設(shè)AB＝x(x＞0)，則BD＝. ∵△ABD∽△BDC，∴＝， 即＝， 解得x＝，故AB＝，BD＝，BC＝3. 由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E為BC的中點(diǎn)， 由平面幾何知識(shí)得AE＝＝， 同理DE＝＝， ∴S△ADE＝1＝. ∵DC⊥平面ABD，∴VA－BCD＝CDSABD＝. 設(shè)點(diǎn)B到平面ADE的距離為d， 則dSADE＝VB－ADE＝VA－BDE＝VA－BCD＝， ∴d＝，即點(diǎn)B到平面ADE的距離為. 我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。