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1、
專題對點練3 分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想
一、選擇題
1.設(shè)函數(shù)f(x)=2x-3,x<0,x+1,x≥0,若f(a)>1,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,2) B.(0,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(2,+∞)
答案 B
解析 若2a-3>1,解得a>2,與a<0矛盾,若a+1>1,解得a>0,故a的范圍是(0,+∞).
2.函數(shù)y=5x-1+10-x的最大值為( )
A.9 B.12 C.26 D.326
答案 D
解析 設(shè)a=(5,1),b=(x-1,10-x),
∵ab≤|a||b|,
2、∴y=5x-1+10-x≤52+12x-1+10-x=326.
當(dāng)且僅當(dāng)5x-1=10-x,即x=25126時等號成立.
3.在等比數(shù)列{an}中,a3=7,前3項的和S3=21,則公比q的值是 ( )
A.1 B.-12
C.1或-12 D.-1或12
答案 C
解析 當(dāng)公比q=1時,則a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求.
當(dāng)公比q≠1時,則a1q2=7,a1(1-q3)1-q=21,
解得q=-12(q=1舍去).
綜上可知,q=1或q=-12.
4.若m是2和8的等比中項,則圓錐曲線x2+y2m=1的離心率是 ( )
A.32 B.5 C.32或
3、52 D.32或5
答案 D
解析 因為m是2和8的等比中項,所以m2=28=16,
所以m=4.當(dāng)m=4時,圓錐曲線y24+x2=1是橢圓,其離心率e=ca=32;
當(dāng)m=-4時,圓錐曲線x2-y24=1是雙曲線,其離心率e=ca=51=5.
綜上知,選項D正確.
5.已知中心在坐標(biāo)原點,焦點在坐標(biāo)軸上的雙曲線的漸近線方程為y=34x,則該雙曲線的離心率為( )
A.54 B.53
C.54或53 D.35或45
答案 C
解析 當(dāng)焦點在x軸上時,ba=34,此時離心率e=ca=54;當(dāng)焦點在y軸上時,ab=34,此時離心率e=ca=53.故選C.
6.若a>0,且a
4、≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),則p,q的大小關(guān)系是( )
A.p=q
B.pq
D.當(dāng)a>1時,p>q;當(dāng)0loga(a2+1),即p>q.
當(dāng)a>1時,y=ax和y=logax在其定義域上均為增函數(shù),故a3+1>a2+1,∴l(xiāng)oga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.
綜上可得p>q.
7.若函數(shù)f(x)=x3-tx2+3x在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞減,則實數(shù)t的取值范圍是(
5、 )
A.-∞,518 B.(-∞,3)
C.518,+∞ D.[3,+∞)
答案 C
解析 f(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞減,則有f(x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥32x+1x在[1,4]上恒成立,因為y=32x+1x在[1,4]上單調(diào)遞增,所以t≥324+14=518,故選C.
8.已知AB為圓O:(x-1)2+y2=1的直徑,點P為直線x-y+1=0上任意一點,則PAPB的最小值為( ) ?導(dǎo)學(xué)號16804157?
A.1 B.2 C.2 D.22
答案 A
解析 由PAPB=(PO+OA)(PO+O
6、B)=PO2+PO(OA+OB)+OAOB=PO2-r2,即為d2-r2,其中d為點P與圓心O之間的距離,r為圓的半徑,因此當(dāng)d取最小值時,PAPB取值最小,可知d的最小值為|1-0+1|2=2,故PAPB的最小值為1,故選A.
二、填空題
9.已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b= .
答案 -32
解析 當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)=ax+b在[-1,0]上為增函數(shù),由題意得a-1+b=-1,a0+b=0,無解.當(dāng)0
7、=-2,所以a+b=-32.
10.(2016江西南昌校級二模,理14)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x)=x2,若對任意x∈[a,a+2],f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .
答案 (-∞,-5]
解析 因為當(dāng)x≥0時,f(x)=x2,所以此時函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.
又因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(0)=0,
所以f(x)在R上單調(diào)遞增.
若對任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,則x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立,
因為x∈[a,a+2],所以(2x+
8、1)max=2(a+2)+1=2a+5,
即a≥2a+5,解得a≤-5.
即實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-5].
11.函數(shù)y=x2-2x+2+x2-6x+13的最小值為 .
答案 13
解析 原函數(shù)等價于y=(x-1)2+(0-1)2+(x-3)2+(0-2)2,即求x軸上一點到A(1,1),B(3,2)兩點距離之和的最小值.將點A(1,1)關(guān)于x軸對稱,得A(1,-1),連接AB交x軸于點P,則線段AB的值就是所求的最小值,即|AB|=(1-3)2+(-1-2)2=13.
12.(2017江西宜春二模,理15)在三棱錐P-ABC中,PA,PB,PC兩兩互相垂直,且AB=4
9、,AC=5,則BC的取值范圍是 . ?導(dǎo)學(xué)號16804158?
答案 (3,41)
解析 如圖所示,問題等價于長方體中,棱長分別為x,y,z,且x2+y2=16,x2+z2=25,求y2+z2的取值范圍,轉(zhuǎn)化為y2+z2=41-2x2,∵x2+y2=16,∴0q.
(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍;
(2)①求F(x)的最小值m(a
10、);
②求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a).
解 (1)由于a≥3,故當(dāng)x≤1時,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,當(dāng)x>1時,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為[2,2a].
(2)①設(shè)函數(shù)f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,則f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,
所以,由F(x)的定義知m(a)=min{f(1),g(a)},
即m(a)=0,3≤a≤2+2,-a2+4a-
11、2,a>2+2.
②當(dāng)0≤x≤2時,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),
當(dāng)2≤x≤6時,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.
所以,M(a)=34-8a,3≤a<4,2,a≥4.
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