高中數(shù)學(xué)人教A版必修五 第二章 數(shù)列 學(xué)業(yè)分層測評14 含答案

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1、起 學(xué)業(yè)分層測評（十四） (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達標] 一、選擇題 1．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若{Sn}是等差數(shù)列，則q等于(　　) A．1　　　B．0　　　C．1或0　　　D．－1 【解析】　因為Sn－Sn－1＝an，又{Sn}是等差數(shù)列，所以an為定值，即數(shù)列{an}為常數(shù)列，所以q＝＝1. 【答案】　A 2．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝(　　) A. B．－ C. D．－ 【解析】　設(shè)公比為q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9， ∴ ∴ 解得a1＝，故選C.

2、 【答案】　C 3．一座七層的塔，每層所點的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點381盞燈，則底層所點燈的盞數(shù)是(　　) A．190 B．191 C．192 D．193 【解析】　設(shè)最下面一層燈的盞數(shù)為a1，則公比q＝，n＝7，由＝381， 解得a1＝192. 【答案】　C 4．設(shè)數(shù)列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n項和為Sn，則Sn的值為(　　) A．2n B．2n－n C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2 【解析】　法一　特殊值法，由原數(shù)列知S1＝1，S2＝4，在選項中，滿足S1＝1，S2＝4的只有答案D. 法二　看通項，an

3、＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1. ∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2. 【答案】　D 5．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項為，則S5＝(　　) A．35 B．33 C．31 D．29 【解析】　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q， ∵a2a3＝aq3＝a1a4＝2a1， ∴a4＝2. 又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3 ＝2， ∴q＝. ∴a1＝＝16，S5＝＝31. 【答案】　C 二、填空題 6．在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an＝______

4、__. 【解析】　∵在等比數(shù)列{an}中，前3項之和等于21， ∴＝21， ∴a1＝1，∴an＝4n－1. 【答案】　4n－1 7．設(shè)數(shù)列{an}是首項為1，公比為－2的等比數(shù)列，則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________. 【解析】　法一　a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1(－2)|＋1(－2)2＋|1(－2)3|＝15. 法二　因為a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，數(shù)列{|an|}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故所求代數(shù)式的值為＝15. 【答案】　15 8．(2015全國卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2a

5、n，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝________. 【解析】　∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列， 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6. 【答案】　6 三、解答題 9．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列. 【導(dǎo)學(xué)號：05920072】 (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 【解】　(1)依題意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于a1≠0，故2q2＋q＝0. 又q≠0，從而q＝－. (2)由已知可得a1－a12＝3， 故a1＝

6、4. 從而Sn＝＝. 10．(2015浙江高考)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)． (1)求an與bn； (2)記數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，求Tn. 【解】　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)． 由題意知： 當(dāng)n＝1時，b1＝b2－1，故b2＝2. 當(dāng)n≥2時，bn＝bn＋1－bn. 整理得＝， 所以bn＝n(n∈N*)． (2)由(1)知anbn＝n2n， 因此Tn＝2＋222＋323＋…＋n2n， 2Tn＝22＋223＋324＋…＋

7、n2n＋1， 所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1. 故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)． [能力提升] 1．在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，則a＋a＋…＋a等于(　　) A．(2n－1)2 B.(2n－1)2 C．4n－1 D.(4n－1) 【解析】　a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，則Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，則an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以a＋a＋…＋a＝(4n－1)． 【答案】　D 2．如圖251，作邊長為

8、3的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后，再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去，則前n個內(nèi)切圓的面積和為(　　) 圖251 A. B.π C．2π D．3π 【解析】　根據(jù)條件，第一個內(nèi)切圓的半徑為3＝，面積為π，第二個內(nèi)切圓的半徑為，面積為π，…，這些內(nèi)切圓的面積組成一個等比數(shù)列，首項為π，公比為，故面積之和為＝π. 【答案】　B 3．某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________． 【解析】　每天植樹棵數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列{an}， 其中a1＝2，q＝2，則Sn＝＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102，∴n≥6，∴最少天數(shù)n＝6. 【答案】　6 4．(2015湖北高考)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式； (2)當(dāng)d＞1時，記cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 【解】　(1)由題意有 即 解得或 故或 (2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝， 于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋＋…＋＋.② ①－②可得 Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－， 故Tn＝6－.