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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
“立體幾何”類題目的審題技巧與解題規(guī)范
[對應學生用書P118]
[技法概述]
在高考數(shù)學試題中，問題的條件以圖形的形式或?qū)l件隱含在圖形之中給出的題目較多，因此在審題時，要善于觀察圖形，洞悉圖形所隱含的特殊的關系、數(shù)值的特點、變化的趨勢，抓住圖形的特征，利用圖形所提供信息來解決問題。
[適用題型]
以下幾種類型常用到此審題方法：
(1)立體幾何：空間多面體中的幾何特征及線面位置關系；
(2)解析幾何：直線與圓、圓錐曲線中的幾何特征；
(3)函數(shù)：函數(shù)圖象的判斷，由三角
2、函數(shù)圖像求解析式中圖像特征；
(4)概率與統(tǒng)計：統(tǒng)計中頻率分布直方圖、莖葉圖中的信息特征．
[典例] (20xx安徽高考)(本題滿分12分)如圖，四棱錐P ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60，已知PB＝PD＝2，PA＝.
(1)證明：PC⊥BD；
(2)若E為PA的中點，求三棱錐P BCE的體積．
1．(20xx南通模擬)已知正方體ABCDA1B1C1D1，AA1＝2，E為棱CC1的中點．
(1)求證：AC1∥平面B1DE；
(2)求三棱錐ABDE的體積．
解：(1)證明：取BB1的中點F，連接AF
3、，CF，EF.
∵E，F(xiàn)分別是CC1，BB1的中點，
∴CE綊B1F.
∴四邊形B1FCE是平行四邊形．
∴CF∥B1E.
∵E，F(xiàn)是CC1，BB1的中點，
∴EF綊BC，又BC綊AD，
∴EF綊AD.
∴四邊形ADEF是平行四邊形．∴AF∥ED.
∵AF∩CF＝F，B1E∩ED＝E，
∴平面ACF∥平面B1DE.
又AC平面ACF，
∴AC∥平面B1DE.
(2)由條件得S△ABD＝ABAD＝2.
∴VABDE＝VEABD＝S△ABDEC
＝21＝，
即三棱錐ABDE的體積為.
2．如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，△ABC為正三角形，D，E分別
4、是BC，CA的中點．
(1)證明：平面PBE⊥平面PAC；
(2)在BC上找一點F，使AD∥平面PEF，并說明理由．
解：(1)證明：∵PA⊥平面ABC，BE?平面ABC，
∴PA⊥BE.
∵△ABC為正三角形，E是CA的中點，∴BE⊥AC.
又∵PA，AC?平面PAC，
PA∩CA＝A，
∴BE⊥平面PAC.
∵BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC.
(2)取F為CD的中點，連接EF.
∵E，F(xiàn)分別為AC，CD的中點，
∴EF是△ACD的中位線，
∴EF∥AD.又∵EF?平面PEF，
AD?平面PEF，
∴AD∥平面PEF.
3．如圖是某直三棱柱(側(cè)棱與
5、底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖的左視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點．左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數(shù)據(jù)如圖所示．
(1)求出該幾何體的體積；
(2)求證：EM∥平面ABC；
(3)試問在棱DC上是否存在點N，使NM⊥平面BDE？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由．
解：由題意，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，
AE∥DC，AE＝2，
DC＝4，AB⊥AC，且AB＝AC＝2.
(1)∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，又AB⊥AC，EA∩AC＝A，
∴AB⊥平面ACDE.
∴四棱錐BACDE的高h＝AB＝2，梯形ACDE的面積S＝
6、6，
∴VBACDE＝Sh＝4，即所求幾何體的體積為4.
(2)證明：∵M為DB的中點，取BC中點G，連接EM，MG，AG，
∴MG∥DC，且MG＝DC，
∴MG平行且等于AE，
∴四邊形AGME為平行四邊形，
∴EM∥AG，又AG?平面ABC，EM?平面ABC，
∴EM∥平面ABC.
(3)由(2)知，EM∥AG，
又∵平面BCD⊥底面ABC，AG⊥BC，
∴AG⊥平面BCD.
∴EM⊥平面BCD，又∵EM?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD.
在平面BCD中，過M作MN⊥DB交DC于點N，
∴MN⊥平面BDE，點N即為所求的點，
△DMN∽△DCB，
∴＝，即＝，
∴DN＝3，∴DN＝DC，
∴邊DC上存在點N，滿足DN＝DC時，有NM⊥平面BDE.
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