江蘇高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí):專項(xiàng)限時集訓(xùn)3 以構(gòu)建函數(shù)模型、解三角形、動點(diǎn)軌跡為背景的實(shí)際問題 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 專項(xiàng)限時集訓(xùn)(三) 以構(gòu)建函數(shù)模型、解三角形、動點(diǎn)軌跡為背景的實(shí)際問題 (對應(yīng)學(xué)生用書第117頁) (限時:60分鐘) 1.(本小題滿分14分)(20xx鹽城市濱??h八灘中學(xué)二模)如圖4是一“T”型水渠的平面視圖(俯視圖),水渠的南北方向和東西方向軸截面均為矩形,南北向渠寬為4 m,東西向渠寬m(從拐角處,即圖中A,B處開始).假定渠內(nèi)的水面始終保持水平位置(即無高度差). 圖4 (1)在水平面內(nèi),過點(diǎn)A的一條直線與水渠的內(nèi)壁交于P,Q兩點(diǎn),且與水渠的一邊的夾角為θ,將線段

2、PQ的長度l表示為θ的函數(shù); (2)若從南面漂來一根長為7 m的筆直的竹竿(粗細(xì)不計),竹竿始終浮于水平面內(nèi),且不發(fā)生形變,問:這根竹竿能否從拐角處一直漂向東西向的水渠(不會卡住)?請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號:56394096】 [解] (1)由題意,PA=,QA=, 所以l=PA+QA,即l=+. 4分 (2)設(shè)f (θ)=+,θ∈. 由f ′(θ)=-+=, 6分 令f ′(θ)=0,得tan θ0=. 8分 且當(dāng)θ∈(0,θ0),f ′(θ)<0;當(dāng)θ∈,f ′(θ)>0, 所以,f (θ)在(0,θ0)上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增, 所以,當(dāng)θ=θ0時,f (θ)取得極小

3、值,即為最小值. 當(dāng)tan θ0=時,sin θ0=,cos θ0=, 所以f (θ)的最小值為3, 12分 即這根竹竿能通過拐角處的長度的最大值為3 m. 因?yàn)?>7,所以這根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠.14分 2.(本小題滿分14分)(20xx江蘇省宿遷市三模)某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑,其窗戶設(shè)計如圖5所示.圓O的圓心與矩形ABCD對角線的交點(diǎn)重合,且圓與矩形上下兩邊相切(E為上切點(diǎn)),與左右兩邊相交(F,G為其中兩個交點(diǎn)),圖中陰影部分為不透光區(qū)域,其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1 m且≥,設(shè)∠EOF=θ,透光區(qū)域的面積為S. 圖5 (1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系

4、式,并求出定義域; (2)根據(jù)設(shè)計要求,透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好.當(dāng)該比值最大時,求邊AB的長度. [解] (1)過點(diǎn)O作OH⊥FG于H,∴∠OFH=∠EOF=θ; 又OH=OFsin θ=sin θ, FH=OFcos θ=cos θ,∴S=4S△OFH+4S扇形OEF=2sin θcos θ+4 θ=sin 2θ+2θ; ∵≥,∴sin θ≥,∴θ∈; ∴S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為S=sin 2θ+2θ,θ∈; 6分 (2)由S矩形=ADAB=22sin θ=4sin θ, 則透光區(qū)域與矩形窗面積比值為=+, 設(shè)f (θ)=+,θ∈, 則f ′(θ)=-si

5、n θ+ = = =; 10分 ∵≤θ<,∴sin 2θ≤, ∴sin 2θ-θ<0, ∴f ′(θ)<0, ∴f (θ)在θ∈上是單調(diào)減函數(shù); ∴當(dāng)θ=時f (θ)取得最大值為+, 此時AB=2sin θ=1(m); ∴當(dāng)透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時,所求AB的長度為1 m. 14分 3.(本小題滿分14分)(揚(yáng)州市高三上學(xué)期期中)如圖6,某市在海島A上建了一水產(chǎn)養(yǎng)殖中心.在海岸線l上有相距70公里的B、C兩個小鎮(zhèn),并且AB=30公里,AC=80公里,已知B鎮(zhèn)在養(yǎng)殖中心工作的員工有3百人,C鎮(zhèn)在養(yǎng)殖中心工作的員工有5百人.現(xiàn)欲在BC之間建一個碼頭D,運(yùn)送來自兩

6、鎮(zhèn)的員工到養(yǎng)殖中心工作,又知水路運(yùn)輸與陸路運(yùn)輸每百人每公里運(yùn)輸成本之比為1∶2. 圖6 (1)求sin∠ABC的大??; (2)設(shè)∠ADB=θ,試確定θ的大小,使得運(yùn)輸總成本最少. [解] (1)在△ABC中,cos∠ABC===-, 所以sin∠ABC=. 4分 (2)在△ABD中,由==得:==. 所以AD=,BD==-. 6分 設(shè)水路運(yùn)輸?shù)拿堪偃嗣抗锏馁M(fèi)用為k元,陸路運(yùn)輸?shù)拿堪偃嗣抗锏馁M(fèi)用為2k元, 則運(yùn)輸總費(fèi)用y=(5CD+3BD)2k+8kAD=2k[5(70-BD)+3BD+4AD] =20k=20k. 令H(θ)=,則H′(θ)=,令H′(θ)=0,解

7、得:cos θ=,θ=. 10分 當(dāng)0<θ<時,H′(θ)<0,H(θ)單調(diào)遞減; 當(dāng)<θ<時,H′(θ)>0,H(θ)單調(diào)遞增, ∴θ=時,H(θ)取最小值,同時y也取得最小值. 此時BD=-=,滿足0<<70,所以點(diǎn)D落在BC之間. 所以θ=時,運(yùn)輸總成本最小. 14分 4.(本小題滿分16分) 如圖7所示,在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD,為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ,在山坡的A處測得∠DAC=15,沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處,又測得∠DBC=45,根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算cos θ的值. 圖7 [解] 由∠DAC=15,∠DBC=45可

8、得∠BDA=30,∠DBA=135,∠BDC=90-(15+θ)-30=45-θ, 4分 由內(nèi)角和定理可得∠DCB=180-(45-θ)-45=90+θ,根據(jù)正弦定理可得=,即DB=100sin 15=100sin(45-30)=25(-1), 10分 又=,即=,得到cos θ=-1. 16分 5.(本小題滿分16分)(鎮(zhèn)江市高三上學(xué)期期末)如圖8,某公園有三條觀光大道AB,BC,AC圍成直角三角形,其中直角邊BC=200 m,斜邊AB=400 m.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB,BC,AC大道上嬉戲,所在位置分別記為點(diǎn)D,E,F(xiàn). 圖8 (1)若甲、乙都以每分鐘1

9、00 m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走,到大道的另一端時即停,乙比甲遲2分鐘出發(fā),當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后,求此時甲、乙兩人之間的距離; (2)設(shè)∠CEF=θ,乙丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍,且∠DEF=,請將甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù),并求甲乙之間的最小距離. [解] (1)依題意得BD=300,BE=100, 在△ABC中,cos B==,∴B=, 2分 在△BDE中,由余弦定理得: DE2=BD2+BE2-2BDBEcos B=3002+1002-2300100=70 000, ∴DE=100. 6分 即甲、乙兩人之間的距離為100 m. 7分 (2)由題意得EF=

10、2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ, 在直角三角形CEF中,CE=EFcos∠CEF=2ycos θ, 9分 在△BDE中,由正弦定理得=,即=, ∴y==,0<θ<, 12分 所以當(dāng)θ=時,y有最小值50. 14分 故甲、乙之間的最小距離為50 m. 16分 6.(本小題滿分16分)(20xx江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)三模)一兒童游樂場擬建造一個“蛋筒”型游樂設(shè)施,其軸截面如圖9中實(shí)線所示.ABCD是等腰梯形,AB=20米,∠CBF=α(F在AB的延長線上,α為銳角).圓E與AD,BC都相切,且其半徑長為100-80 sin α米.EO是垂直于AB的一個立柱,則當(dāng)sin α的值設(shè)計為

11、多少時,立柱EO最矮? 【導(dǎo)學(xué)號:56394097】 圖9 [解] 如圖所示,以AB所在直線為x軸,以線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系. 因?yàn)锽(10,0),kBC=tan α,所以直線BC的方程為:y=tan α(x-10),即xtan α-y-10tan α=0, 4分 設(shè)圓心E(0,t)(t>0),由圓E與直線BC相切,得100-80sin α==, 所以EO=t=, 8分 令f (α)=,α∈, 則f ′(α)=, 設(shè)sin α0=,α0∈.列表如下: α (0,α0) α0 f ′(α) - 0 + f (α) 減 極小值 增 所以當(dāng)α=α0,即sin α=時,f (α)取最小值. 15分 所以當(dāng)sin α=時,立柱EO最矮. 16分

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