浙江高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí):第2部分 必考補(bǔ)充專題 專題限時(shí)集訓(xùn)20 排列組合、二項(xiàng)式定理 Word版含答案
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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 專題限時(shí)集訓(xùn)(二十) 排列組合、二項(xiàng)式定理 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第157頁(yè)) [建議A、B組各用時(shí):45分鐘] [A組 高考題、模擬題重組練] 一、排列、組合 1.如圖201,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會(huì)合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng),則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 ( ) 圖201 A.24 B.18 C.12 D.9 B [從E到G需要分兩步完成:先從E到F,再?gòu)腇到G.從F到G的最短路徑,只要考慮縱向
2、路徑即可,一旦縱向路徑確定,橫向路徑即可確定,故從F到G的最短路徑共有3條.如圖, 從E到F的最短路徑有兩類:先從E到A,再?gòu)腁到F,或先從E到B,再?gòu)腂到F.因?yàn)閺腁到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同,所以從A到F,從B到F最短路徑的條數(shù)都是3,所以從E到F的最短路徑有3+3=6(條).所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)為63=18.] 2.用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A.24 B.48 C.60 D.72 D [第一步,先排個(gè)位,有C種選擇; 第二步,排前4位,有A種選擇. 由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知有CA=
3、72(個(gè)).] 3.定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項(xiàng),其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有( ) A.18個(gè) B.16個(gè) C.14個(gè) D.12個(gè) C [由題意知:當(dāng)m=4時(shí),“規(guī)范01數(shù)列”共含有8項(xiàng),其中4項(xiàng)為0,4項(xiàng)為1,且必有a1=0,a8=1.不考慮限制條件“對(duì)任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)”,則中間6個(gè)數(shù)的情況共有C=20(種),其中存在k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)少于1的個(gè)數(shù)的情況有:①若a2=a3=1,則有C=4(種
4、);②若a2=1,a3=0,則a4=1,a5=1,只有1種;③若a2=0,則a3=a4=a5=1,只有1種.綜上,不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有20-6=14(種).故共有14個(gè).故選C.] 4.(20xx浙江高考)若從1,2,3,…,9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有( ) A.60種 B.63種 C.65種 D.66種 D [滿足題設(shè)的取法可分為三類:一是四個(gè)奇數(shù)相加,其和為偶數(shù),在5個(gè)奇數(shù)1,3,5,7,9中,任意取4個(gè),有C=5(種);二是兩個(gè)奇數(shù)加兩個(gè)偶數(shù)其和為偶數(shù),在5個(gè)奇數(shù)中任取2個(gè),再在4個(gè)偶數(shù)2,4,6,8中任取2個(gè),有CC=60(種)
5、;三是四個(gè)偶數(shù)相加,其和為偶數(shù),4個(gè)偶數(shù)的取法有1種,所以滿足條件的取法共有5+60+1=66(種).] 5.某中學(xué)高三學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,現(xiàn)在從中任選3人,要求這三人不能是同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生,且在三班至多選1人,不同的選取法的種數(shù)為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334160】 A.484 B.472 C.252 D.232 B [分兩類,不選三班的同學(xué),利用間接法,沒(méi)有條件得選擇3人,再排除3個(gè)同學(xué)來(lái)自同一班,有C-3C=208種; 選三班的一位同學(xué),剩下的兩位同學(xué)從剩下的12人中任選2人,有CC=264種. 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,
6、得208+264=472,故選B.] 6.下列各式的展開式中x8的系數(shù)恰能表示從重量分別為1,2,3,4,…,10克的砝碼(每種砝碼各一個(gè))中選出若干個(gè),使其總重量恰為8克的方法總數(shù)的選項(xiàng)是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334161】 A.(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x10) B.(1+x)(1+2x)(1+3x)…(1+10x) C.(1+x)(1+2x2)(1+3x3)…(1+10x10) D.(1+x)(1+x+x2)(1+x+x2+x3)…(1+x+x2+…+x10) A [從重量分別為1,2,3,4,…,10克的砝碼(每種砝碼各一個(gè))中選出若干個(gè),使
7、其總重量恰為8克的方法是選一個(gè),8克,一種方法,選兩個(gè),1+7,2+6,3+5,共3種方法,選三個(gè),1+2+5,只有一種方法,其他不含1的三個(gè)的和至少是2+3+4>8.四個(gè)以上的和都大于8,因此共有方法數(shù)為5.A中,x8的系數(shù)是1+3+1=5(x8,xx7,x2x6,x3x5,xx2x5),B中,x8的系數(shù)大于12345678,C中,x8的系數(shù)大于8(8x8的系數(shù)就是8),D中,x8的系數(shù)大于C>8(有四個(gè)括號(hào)里取x2,其余取1時(shí)系數(shù)為C).因此只有A是正確的,故選A.] 7.(20xx浙江高考)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1
8、名女生,共有________種不同的選法.(用數(shù)字作答) 660 [法一:只有1名女生時(shí),先選1名女生,有C種方法;再選3名男生,有C種方法;然后排隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)位置,有A種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有CCA=480(種)選法. 有2名女生時(shí),再選2名男生,有C種方法;然后排隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)位置,有A種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有CA=180(種)選法.所以依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有480+180=660(種)不同的選法. 法二:不考慮限制條件,共有AC種不同的選法, 而沒(méi)有女生的選法有AC種, 故至少有1名女生的選法有AC-AC=840-180=660(種).] 8.
9、(20xx浙江高考)在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張,其余5張無(wú)獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人,每人2張,不同的獲獎(jiǎng)情況有________種(用數(shù)字作答). 60 [把8張獎(jiǎng)券分4組有兩種分法,一種是分(一等獎(jiǎng),無(wú)獎(jiǎng))、(二等獎(jiǎng),無(wú)獎(jiǎng))、(三等獎(jiǎng),無(wú)獎(jiǎng))、(無(wú)獎(jiǎng),無(wú)獎(jiǎng))四組,分給4人有A種分法;另一種是一組兩個(gè)獎(jiǎng),一組只有一個(gè)獎(jiǎng),另兩組無(wú)獎(jiǎng),共有C種分法,再分給4人有CA種分法,所以不同獲獎(jiǎng)情況種數(shù)為A+CA=24+36=60.] 二、二項(xiàng)式定理 9.(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為( ) A.10 B.20 C.30 D.60 C [法一:
10、(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5, 含y2的項(xiàng)為T3=C(x2+x)3y2. 其中(x2+x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4x=Cx5. 所以x5y2的系數(shù)為CC=30.故選C. 法二:(x2+x+y)5為5個(gè)x2+x+y之積,其中有兩個(gè)取y,兩個(gè)取x2,一個(gè)取x即可,所以x5y2的系數(shù)為CCC=30.故選C.] 10.(20xx浙江高考)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( ) A.45 B.60 C.120 D.210 C [因?yàn)閒(m,n)=CC, 所以f(3,
11、0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3) =CC+CC+CC+CC=120.] 11.已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 D [(1+x)5中含有x與x2的項(xiàng)為T2=Cx=5x,T3=Cx2=10x2,∴x2的系數(shù)為10+5a=5,∴a=-1,故選D.] 12.已知多項(xiàng)式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=________,a5=________. 16 4 [由題意知a4為含x的項(xiàng)的系數(shù),根據(jù)二項(xiàng)式定理得a4=C12C22+C13C2=1
12、6,a5是常數(shù)項(xiàng),所以a5=C13C22=4.] 13.(20xx全國(guó)乙卷)(2x+)5的展開式中,x3的系數(shù)是________.(用數(shù)字填寫答案) 10 [(2x+)5展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C(2x)5-r()r=25-rCx5-. 令5-=3,得r=4. 故x3的系數(shù)為25-4C=2C=10.] 14.5的展開式中x5的系數(shù)是-80,則實(shí)數(shù)a=________. -2 [Tr+1=C(ax2)5-rr=Ca5-rx10-r.令10-r=5,解得r=2.又展開式中x5的系數(shù)為-80,則有Ca3=-80,解得a=-2.] 15.(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次
13、冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=________. 3 [設(shè)(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. 令x=1,得(a+1)24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.① 令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=232,∴a=3.] 16.設(shè)二項(xiàng)式5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A,則A=________. -10 [Tr+1=C()5-rr=C(-1)rx-,令-=0,得r=3,所以A=-C=-10.] 17.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有(m+x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+
14、a7x7,若a1+a3+a5+a7=32,則m=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334162】 0 [設(shè)(1+x)6=b0+b1x+b2x2+…+b6x6,則a1=b0+mb1,a3=b2+mb3,a5=b4+mb5,a7=b6, 所以a1+a3+a5+a7=(b0+b2+b4+b6)+m(b1+b3+b5),又由二項(xiàng)式定理知 b0+b2+b4+b6=b1+b3+b5=(1+1)6=32,所以32+32m=32,m=0.] [B組 “8+7”模擬題提速練] 一、選擇題 1.某校開設(shè)10門課程供學(xué)生選修,其中A,B,C三門由于上課時(shí)間相同,至多選一門,學(xué)校規(guī)定:每位同學(xué)選修三
15、門,則每位同學(xué)不同的選修方案種數(shù)是 ( ) A.70 B.98 C.108 D.120 B [可分為兩類:選A,B,C中的一門,其它7科中選兩門,有CC=63;不選A,B,C中的一門,其它7科中選三門,有C=35;所以共有98種,故選B.] 2.在4的二項(xiàng)展開式中,如果x3的系數(shù)為20,那么ab3=( ) A.20 B.15 C.10 D.5 D [Tr+1=C(ax6)4-rr=Ca4-rbrx24-7r,令24-7r=3,得r=3,則4ab3=20,∴ab3=5.] 3.(20xx杭州二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員同時(shí)搶4
16、個(gè)紅包,每人最多搶一個(gè),且紅包被全部搶光,4個(gè)紅包中兩個(gè)2元,兩個(gè)3元(紅包金額相同視為相同的紅包),則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有( ) A.36種 B.24種 C.18種 D.9種 C [由題意可得丙、丁、戊中有1人沒(méi)有搶到紅包,且搶到紅包的4人中有2人搶到2元紅包,另2人搶到3元紅包,則甲、乙兩人都搶到紅包的情況有CC=18種,故選C.] 4.七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照,其中甲必須站在正中間,并且乙,丙兩位同學(xué)要站在一起,則不同的排法有( ) A.240種 B.192種 C.120種 D.96種 B [不妨令乙丙在甲左側(cè),先排乙丙兩人,有A種站法,
17、再取一人站左側(cè)有CA種站法,余下三人站右側(cè),有A種站法,考慮到乙丙在右側(cè)的站法,故總的站法總數(shù)是2ACAA=192,故選B.] 5.某學(xué)校開設(shè)“藍(lán)天工程博覽課程”,組織6個(gè)年級(jí)的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個(gè)博物館,每個(gè)年級(jí)任選一個(gè)博物館參觀,則有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有( ) A.AA種 B.A54種 C.CA種 D.C54種 D [有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館共有C種情況,其余四個(gè)年級(jí)每個(gè)年級(jí)各有5種選擇情況,故有且只有兩個(gè)年級(jí)選擇甲博物館的情況有C54種,故選D.] 6.在10的展開式中,含x2項(xiàng)的系數(shù)為( ) A.10 B.30 C.45 D.1
18、20 C [因?yàn)?0=10 =(1+x)10+C(1+x)9+…+C10,所以x2項(xiàng)只能在(1+x)10的展開式中,所以含x2的項(xiàng)為Cx2,系數(shù)為C=45,故選C.] 7.(x+2y)7的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334163】 A.68y7 B.112x3y4 C.672x2y5 D.1 344x2y5 C [設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大, 則有 即 即解得 又∵r∈Z,∴r=5,∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=Cx225y5=672x2y5.故選C.] 8.若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-
19、(a1+a3)2的值是( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 A [令x=1,則a0+a1+…+a4=(2+)4, 令x=-1,則a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4, ∴(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 =(a0+a1+…+a4)(a0-a1+a2-a3+a4) =(2+)4(-2+)4 =1.] 二、填空題 9.若9的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)是84,則實(shí)數(shù)a=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334164】 1 [∵9的二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為Tr+1=Carx9-3r, 令9-3r=0,即r=3,常數(shù)項(xiàng)為T4=Ca3=84a3, 依題意
20、,有84a3=84,∴a=1.] 10.如果n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128,則展開式中的系數(shù)是________. 21 [n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為n=2n=128,所以n=7,所以n=7,其展開式的通項(xiàng)為 Tr+1=C(3x)7-rr=C37-rx7-r(-x)r=(-1)rC37-rx,由7-r=-3,得r=6,所以的系數(shù)是C(-1)63=21.] 11.將A,B,C,D,E,F(xiàn)六個(gè)字母排成一排,且A,B均在C的同側(cè),則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答). 480 [①當(dāng)C在第一或第六位時(shí),有A=120(種)排法; ②當(dāng)C在第二或第五位時(shí),有AA=72(種)排
21、法; ③當(dāng)C在第三或第四位時(shí),有AA+AA=48(種)排法. 所以共有2(120+72+48)=480(種)排法.] 12.現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張,從中任取3張,要求取出的這些卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為________. 472 [由題意,不考慮特殊情況,共有C種取法,其中每一種卡片各取三張,有4C種取法,兩種紅色卡片,共有CC種取法,故所求的取法共有C-4C-CC=560-16-72=472.] 13.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,則a8等于________
22、. 180 [因?yàn)?1+x)10=(-2+1-x)10,所以a8等于C(-2)2=454=180.] 14.甲、乙等5人在9月3號(hào)參加了紀(jì)念抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利72周年閱兵慶典后,在天安門廣場(chǎng)排成一排拍照留念,甲和乙必須相鄰且都不站在兩端的排法有________種. 24 [甲乙相鄰,將甲乙捆綁在一起看作一個(gè)元素,共有AA種排法,甲乙相鄰且在兩端有CAA種排法,故甲乙相鄰且都不站在兩端的排法有AA-CAA=24(種).] 15.已知(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,則a2+a3+…+a9+a10的值為________. 20 [令x=1得a0+a1+a2+…+a9+a10=1,再令x=0,得a0=1,所以a1+a2+…+a9+a10=0,又易知a1=C21(-1)9=-20,所以a2+a3+…+a9+a10=20.]
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