高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第10篇 第2節(jié) 計數(shù)原理、排列與組合的綜合應(yīng)用

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第十篇　第2節(jié) 一、選擇題 1.如圖所示，使電路接通，開關(guān)不同的開閉方式有(　　) A．11種　　　　　　 B．20種 C．21種 D．12種 解析：左邊兩個開關(guān)的開閉方式有閉合2個、1個即有1＋2＝3(種)，右邊三個開關(guān)的開閉方式有閉合1個、2個、3個，即有3＋3＋1＝7(種)，故使電路接通的情況有37＝21(種)．故選C. 答案：C 2．現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色，每部分涂一種顏色，有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，

2、則不同的著色方法共有(　　) A．24種 B．30種 C．36種 D．48種 解析：按使用顏色種數(shù)可分為兩類．①使用4種顏色有A＝24種不同的著色方法，②使用3種顏色有A＝24種不同著色方法．由分類加法原理知共有24＋24＝48種不同的著色方法． 故選D. 答案：D 3．將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有(　　) A．12種 B．10種 C．9種 D．8種 解析：法一　先分組后分配，不同的安排方案共有 AA＝12(種)．故選A. 法二　由位置選元素，先安排甲地，其余去乙地，不

3、同的安排方案共有CCCC＝12(種)．選A. 答案：A 4．(20xx山西省太原市第五中學(xué)高三模擬)第12屆全國運動會舉行期間，某校4名大學(xué)生申請當(dāng)A，B，C三個比賽項目的志愿者，組委會接受了他們的申請，每個比賽項目至少分配一人，每人只能服務(wù)一個比賽項目，若甲要求不去服務(wù)A比賽項目，則不同的安排方案共有(　　) A．20種 B．24種 C．30種 D．36種 解析：①甲自己服務(wù)一個比賽項目，則先讓甲從B、C中選取一個項目，然后其余三人分成2組(2＋1)服務(wù)兩個不同的比賽項目，故不同的安排方案共有CCA＝12種； ②甲和另一名大學(xué)生兩人一組服務(wù)一個比賽項目，則先從其余三人中選取一

4、個與甲組成一組，再從B、C中選取一個項目，最后剩余兩人與兩個項目進(jìn)行全排列即可，所以不同的安排方案共有CCA＝12種． 由分類計數(shù)原理可得，不同的安排方案為12＋12＝24種． 故選B. 答案：B 5．(20xx山西省山大附中高三模擬)如圖所示是某個區(qū)域的街道示意圖(每個小矩形的邊表示街道)，那么從A到B的最短線路有________條．(　　) A．100 B．400 C．200 D．250 解析：從A到B的最短線路有兩條：A－M－B；A－N－B. ①若線路為A－M－B，則從A到M只需走5條街道，則需要從這五條街道中走3條向右，剩余2條街道則需要向北走，不同的走法為C＝

5、10種；從M到B只需走5條街道，則需要從這五條街道中走2條向右，剩余3條街道則需要向北走，不同的走法為C＝10種． 由分步計數(shù)原理可得，不同的走法為1010＝100種． ②若線路為A－N－B，則從A到N只需走5條街道，則需要從這五條街道中走2條向右，剩余3條街道則需要向北走，不同的走法為C＝10種；從N到B只需走5條街道，則需要從這五條街道中走3條向右，剩余2條街道則需要向北走，不同的走法為C＝10種． 由分步計數(shù)原理可得，不同的走法為1010＝100種． 由分類計數(shù)原理可得，不同的走法共有100＋100＝200種． 故選C. 答案：C 6．(20xx長春市高中畢業(yè)班第四次調(diào)研)

6、若數(shù)列{an}滿足規(guī)律：a1>a2…a2n<…，則稱數(shù)列{an}為余弦數(shù)列，現(xiàn)將1,2,3,4,5排列成一個余弦數(shù)列的排法種數(shù)為(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 解析：①a1，a3，a5從3,4,5中取值時，a2，a4從1,2中取值． 共AA＝12種． ②a1，a3，a5依次取2,4,5時，a2，a4依次取1,3， a1，a3，a5依次取2,5,4時，a2，a4依次取1,3， a1，a3，a5依次取4,5,2時，a2，a4依次取3,1， a1，a3，a5依次取5,4,2時，a2，a4依次取3,1. 由分類加法計數(shù)原理得，不同的排法為1

7、2＋4＝16種， 故選C. 答案：C 二、填空題 7．(20xx河南省商丘市高三第三次模擬)將標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張卡片，其中標(biāo)號為1,2的卡片放入同一信封，則不同的方法總數(shù)為________． 解析：先將標(biāo)號為3,4,5,6的卡片平均分成兩組，不同的分法有＝3種． 再將3組分別裝入3個信封中，不同的裝法有A＝6種． 由分步計數(shù)原理得不同方法的總數(shù)為36＝18. 答案：18 8．(20xx山西省四校聯(lián)考)某鐵路貨運站對6列貨運列車進(jìn)行編組調(diào)度，決定將這6列列車編成兩組，每組3列，且甲與乙兩列列車不在同一小組，如果甲所在小組

8、3列列車先開出，那么這6列列車先后不同的發(fā)車順序共有________種． 解析：先進(jìn)行分組，從其余4列火車中任取2列與甲一組，不同的分法為C＝6種． 由分步計數(shù)原理得不同的發(fā)車順序為CAA＝216種． 答案：216 9．用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號為1,2，…，9的9個小正方形，使得任意相鄰(有公共邊的)小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號為“1、5、9”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有________種. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：第一步，從紅、黃、藍(lán)三種顏色中任選一種去涂標(biāo)號為“1、5、9”的小正方形，涂法有3種； 第二步，涂標(biāo)

9、號為“2、3、6”的小正方形，若“2、6”同色，涂法有22種，若“2、6”不同色，涂法有21種； 第三步，涂標(biāo)號為“4、7、8”的小正方形，涂法同涂標(biāo)號為“2、3、6”的小正方形的方法一樣． 所以符合條件的所有涂法共有 3(22＋21)(22＋21)＝108(種)． 答案：108 10．某國家代表隊要從6名短跑運動員中選4人參加亞運會4100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有______種參賽方法． 解析：分情況討論：①若甲、乙均不參賽，則有A＝24(種)參賽方法；②若甲、乙有且只有一人參賽，則有CC(A－A)＝144(種)；③若甲、乙兩人均參賽，則有C(A－2

10、A＋A)＝84(種)，故一共有24＋144＋84＝252(種)參賽方法． 答案：252 三、解答題 11．將紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入圖中的五個區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同，則有多少種不同的涂色方法？ 解：給區(qū)域標(biāo)記號A、B、C、D、E(如圖所示)，則A區(qū)域有4種不同的涂色方法，B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，D區(qū)域有2種，但E區(qū)域的涂色依賴于B與D涂色的顏色，如果B與D顏色相同有2種涂色方法，不相同，則只有一種．因此應(yīng)先分類后分步． (1)當(dāng)B與D同色時，有43212＝48種． (2)當(dāng)B與D不同色時，有43211＝24種． 故共有48＋24＝72種不同的涂色

11、方法． 12．用0、1、2、3、4這五個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？ 12．用0、1、2、3、4這五個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？ (1)比21034大的偶數(shù)； (2)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)． 解：(1)法一　可分五類，當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是2時，有6個； 當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時，有AA＝12(個)； 當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時，有AA＝12(個)； 當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時，有3個； 當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3時，有A＝6(個)； 故有39個． 法二　不大于21034的偶數(shù)可分為三類：萬位數(shù)字是1的偶數(shù)，有AA＝18(個)；萬位數(shù)字是2，而千位數(shù)字是0的偶數(shù)，有A個； 還有一個為21034本身． 而由0、1、2、3、4組成的五位偶數(shù)有， A＋AAA＝60(個)，故滿足條件的五位偶數(shù)共有 60－AA－A－1＝39(個)． (2)法一　可分為兩類： 末位數(shù)是0，有AA＝4(個)； 末位數(shù)是2或4，有AA＝4(個)； 故共有AA＋AA＝8(個)． 法二　第二、四位從奇數(shù)1、3中取，有A個，首位從2、4中取，有A個；余下的排在剩下的兩位，有A個，故共有AAA＝8(個)．