《誤差理論與數(shù)據(jù)處理》習(xí)題3及解答》

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1、第三章誤差的合成與分配 習(xí)題及參考答案 3-1相對(duì)測(cè)武時(shí)盂用54.255mm的吊塊紐做標(biāo)準(zhǔn)件，杲塊組由四塊鳳塊研介而成，它們的甚木尺 寸為：= 40mmJz = \2mmJ3 = 1.25/n/n,/4 = 1.005/wn d經(jīng)測(cè)最，它們的尺寸偏差及其測(cè)彊 極限誤差分別為:A/, = -0.7//rn,A/2 = +0.5“”,= -0.3pm , A/4 = +0.1“〃i , = ±0.35“"，= ±0.25/11)1^^13 = ±0.20///z?, <5hm/4 = ±0.20///n。試求吊「塊組按 基本尺寸便用時(shí)的

2、修正值及給相對(duì)測(cè)量帶來的測(cè)量誤差。 【解】盲塊組的關(guān)系為：顯然本題是一個(gè)關(guān)于函數(shù)系統(tǒng)誤差和函數(shù)隨機(jī)誤差 的計(jì)算問題。匕知個(gè)組成塊的尺寸偏差(屬系統(tǒng)誤差)，則町計(jì)算磺塊組的系統(tǒng)誤差。 AL = A/] + A/, + A/, + △仃=-0.7 + 0.5- 0.3 + 0.1 = -0.4 (/An) 所以，最塊組按基本尺寸使用時(shí)的修正值E為：£ = -AL = -(-0.4) = 0.4 (“m) 鼠塊組按基本尺寸使用時(shí)的測(cè)杲誤差(系統(tǒng)極限誤差)為： 3=±低?喬石可贏?喬瓦丸=±j0.352 +0.25, +0.20, +0.2— ±0.

3、515 (/m) 3-2為求長(zhǎng)方體體枳V. W接測(cè)杲其并邊K為:a = 161.6加加,b = 44.5/w/n, c = 11.2/n/n, \_L矢II測(cè) 的系統(tǒng)誤差為= 1.2mm9^b = -0.8mm,Ac = 0.5/nm ,測(cè)杲的極限誤差為 8a = ±0.8加加，氐=±0.5加加© = ±Q.5mm?試求工方體的體積及此體積的極限誤差。 【解】立方體體枳：V = abc.若不考慮測(cè)得值的系統(tǒng)謀差，則計(jì)算體枳為： V0=fl/?c = 161.6 x 44.5x11.2 = 80541.44 (mm3) M Lb Ac] ——+——

4、+—— a b c」 體積V的系統(tǒng)誤差為： da db de AV = = 80541.44 J-A. +121 +-221 =2745.744 (mm3) .161.6 44.5 11.2J 考渥測(cè)缸系統(tǒng)謀差后的立方體體積： V = V0-AV = 80541.44 - 2745.744 = 77795.696 « 77795.70 (mm5) 又玄接測(cè)彊值存在極限謀崔 則間接測(cè)彊體積存在的極限謀簽為: dV e , dV c s=土 Jib© r r = ±J[44.5xll.2x(±0.8)『 +[161.6x11.2

5、x(±0.5)『 +[161.6 x44.5x(±0.5)]' =±a/398.722 + 904.962 + 3595.61 = 3729.1 (mm5) 故測(cè)航結(jié)果為：v± 77795.70±37291 (mm') 3-3長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)分別為q，C，測(cè)磺時(shí)：①標(biāo)準(zhǔn)差均為6 ②標(biāo)準(zhǔn)差各為》込，6。試求體 積的標(biāo)準(zhǔn)差。 【解】長(zhǎng)方體體積計(jì)算式：V = abc = ala1ai,則體積的標(biāo)準(zhǔn)差為： =Jawm)2 +(666)，=“ig J(—)2 + (T‘ +(―)2 ① 標(biāo)準(zhǔn)差均為o?時(shí).則體積的標(biāo)準(zhǔn)差為:

6、 ②標(biāo)準(zhǔn)差各為5込、6時(shí)，則體積的標(biāo)準(zhǔn)差為: 34測(cè)靈菜電路的電流1 = 22.5mA ,電壓U二12.6V ,測(cè)就的標(biāo)準(zhǔn)差分別為“ =0.5〃人巾= 0.1V> 求所耗功率P = UI及其標(biāo)準(zhǔn)差6, o 【解】若不考慮測(cè)得值的誤差，則計(jì)算所耗功率為： P = t// = 22.5xlQ-3 xl2.6 = 0.2835 (W) 所耗功率標(biāo)準(zhǔn)簽6 rdP dP T rr: ; r op =彳(藥 5) + (麗 W = d(Uo[) +(/%' =7(12.6x0.5x10-3)2 +(22.5xl0-3 xO.l)2 =、/39.69+5.0625

7、xlO-3 = 6.69x 10-3 (W) 3-5已知x±6 = 2.0±0.1,y±bv = 3.0±0.2，相關(guān)系數(shù)pn=0,試求(p= 還的值及其標(biāo)準(zhǔn)差。 【解】若不考慮測(cè)得值兀和y的誤差，計(jì)算其值: (p= x\[y = 2.0 x V^O = 2.885 己知o; = 0丄Q、= 0.2,則卩的標(biāo)準(zhǔn)差: 2 3-6已知x與y的相關(guān)系數(shù)久=-1»試求"=x2 + ay的方差。 【解】屬r函數(shù)隨機(jī)謀差合成問題。由教材式(3-13)有: 2 z du 2 、 z du、2 ■ r Ou 6 二

8、(〒)P；+(R 牙+2 ox dy ={2x)2a； + aza}. + 2x 2x X a x(_l,Q0 = {1X0x - aa.)1 9 9 3?7通過電流衷的電流/與指針偏轉(zhuǎn)角0服從卜?列關(guān)系：I = C^(p.式中C為決定J：儀表結(jié) 構(gòu)的常數(shù)，C=5.031x10_7A.兩次測(cè)得諂=6°17'±1,倫=43°32±1。試求兩種情況 卜的人，厶及具極限誤差，并分析最佳測(cè)鼠方案。 【解】因/ = Ctan^ - tan(p=I/C,曲三角函數(shù)隨機(jī)謀差(極限謀差)計(jì)算公式(3?21),仃: J = COS2 ^J(—)2 O-

9、；=辛cos，0，5/ = cos：(P 惰心=等& 9 (1) COS (P 當(dāng)(P=(P\時(shí)，把^ = 6°1T代入關(guān)系式，仃： 人= Ctan® = 5.031 x 1 O'7 tan6°17 = 5.54 x 10"8 (A) 相應(yīng)的極限誤差為: 酩人=Cdg® = 5.031xl(r x[±lx刃(180x60)] = ±J 4gJ * 10_lo COS2 (p\ cos2 6°17* (A) 當(dāng)0=込時(shí)，把烏=43?32代入關(guān)系式,有: I2 = C(au% =

10、5.031X10-7 tan43*32* =4.780xlQ-7 (A) 相應(yīng)的極限誤差為: 片 j =血笑=5.031xl(Tx[±lx;r/(180x60)] = ±2 ?84xlo-10 cos'佟 cos2 4332 根據(jù)求得測(cè)乗電流的誤差傳遞式(l)，欲使極限謀差％變小，必須滿足—^―=0或?yàn)樽钚? COS"(P 因c為常數(shù)，這意味著只能是cos'0最人。乂I大1電流表指針偏轉(zhuǎn)角在0“<兀范闈內(nèi)變化， 當(dāng)O<0V”/2時(shí)，cos2 (p單調(diào)卜?降，為使C/cos2 (p趨小，卩應(yīng)該愈小愈好，即測(cè)小電流誤差 小。上述

11、計(jì)算結(jié)杲驗(yàn)證了該方案的正確性。 4 當(dāng)z/2 <(p<7t時(shí)，cos2 (p單調(diào)増加，為使C/cos‘0趨小，0應(yīng)該愈人愈好。 3-8如圖3?6所示，用雙球法測(cè)吊汛的直徑DJ]鋼球直徑分別為d”d一測(cè)出距離分別為 試求被測(cè)孔徑D與各克接測(cè)杲杲的函數(shù)關(guān)系D=f(drdzyHrH1)及其誤差傳遞系數(shù)。 【解】由兒

12、何關(guān)系易求被測(cè)孔徑D 圖3?6 r I H / "詁+扣2 +掙+押-申+ (払十HJ =*91 + 如)+ J(d] + H1 - H 2 )(d $ - H] + 比) 各苴接測(cè)鼠量的誤差傳遞系數(shù)如下: dD 1 dD _ 1 &T~2 心+比-H2 4-0 + 比 ~dd[~2 &D _ 1 / - 仏 + 20 - 2比 dD 冠 __勺風(fēng) +比_比燉_比+比） dD dL-d2 + 2Ht - 2H2 麗；二曲 + 0 - HJd-H嚴(yán) HJ ■ OH, 3-9按公式V = nrh求闘柱體體積，若己知r約為2沁，h約為20

13、cm,耍使體積的相對(duì)■誤差 等J： 1%,試問r和h測(cè)駅時(shí)謀差應(yīng)為多少？ 【解】已知圓柱體的半徑和禹度分別為：r = 2cmJi = 20cm ,則可計(jì)算出關(guān)柱體的體枳： Vo = nrh = 3.1416 x22 x20 = 251.328 {cm）3 而體積的絕對(duì)誤差為：Jv =Voxl% = 251.328xl% = 2.5V7n3） 測(cè)量項(xiàng)目有2項(xiàng),n=2,且按等作用原則分配誤差,則可得測(cè)量半徑尸與高度％的極限誤差: — %春噲錯(cuò)X 2匚3.141；頁20 = @00715） = 0?07如） 6 ==j=x-L=宰x ； = 0.141（期）=1.41（〃呦 yjn d

14、V dh yjn 加? J2 3.1416x2* 即：允許廠的測(cè)彊謀差為土0.071mm,高度力的測(cè)吊謀差為±l?41mim 3-10假定從支點(diǎn)到取心的長(zhǎng)度為L(zhǎng)的單擺振動(dòng)周期為T,耳力加速度可由公式7 = 2^7^77屮 給出。若耍求測(cè)啟g的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差q/gVO.l%,試問按等作用原則分配誤差時(shí)，測(cè)晟L和T的和對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)是多少? 【解】町直接測(cè)杲單擺長(zhǎng)度L和單擺振動(dòng)周期T,然后按卜式計(jì)算咆力加速度， gE% 影響重力加速度的因數(shù)有2個(gè)(n-2),按等作用原則分配誤差,則測(cè)量L和T的標(biāo)準(zhǔn)差分 別為： r _ 5 1 S T2 _^L_ S 「了麗一忑礦百一時(shí) 5 1

15、 長(zhǎng)切刃、 因耍求測(cè)磧g的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差q/gSO.l%， 則測(cè)最L的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為: 6 # 0.1%= 0.071% 屈V2 測(cè)最T的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為: (7 a 比=—< —= x0.1%= 0.035% T 2屈2邁 =#(428.6 + 429.2+426.5+ 430.8) = 428.775 3-11對(duì)某一質(zhì)駅進(jìn)行4次重復(fù)測(cè)品測(cè)得數(shù)據(jù)(單位g)為4286 429.2, 426.5, 430.8。已知測(cè) 鼠的已定系統(tǒng)謀差A(yù) = -2.6g ,測(cè)nt的備極限誤差分屆及其和應(yīng)的傳遞系數(shù)如卜裁所列。若 乞誤差均服從正態(tài)分布.試求該質(zhì)杲

16、的授可信賴值及比極限誤差。 序號(hào) 極限誤差/g 誤差傳遞隨數(shù) 隨機(jī)誤差 未定系統(tǒng)誤差 1 2.1 — 1 2 — 1.5 1 3 — 1.0 1 4 — 0.5 1 5 4.5 — 1 6 — 2.2 1.4 7 1.0 — 2.2 S — 1.8 ■ 【解】①4次巫復(fù)測(cè)就的丫均值: ②己知測(cè)吊仃C定系統(tǒng)謀羞A = -2.6g ,依此對(duì)測(cè)彊結(jié)果進(jìn)行修正?則測(cè)磺結(jié)果的赧可信賴值為’ x0 = x-A = 428.775-(一2.6)= 431.375 (g) ③肉測(cè)彊的極限謀差服從正態(tài)分布，其介成的極限浜差為

17、a、隨機(jī)謀差有三項(xiàng)，其合成極限謀差為： 5 = ±丄、士a®)2 = ±丄 J(lx 2.1)2 + (1x4.5)，+ (2.2x1)，= ±1.358 (g) N V i=i 4 故總的極限謀墾為: b、未定系統(tǒng)誤差冇五項(xiàng)，苴介成極限誤差為: =±^(lxl.5)2 + (lxl.O): +(1x0.5)2 + (1.4x2.2)2 + (lxl.8)2 = ±4.028 (g) $0 = ±5/尸 + 八 土 J1.358' + 4.028, = ±4.25 (g) ④ 測(cè)量最后結(jié)果表示為：x =兀土氏=431?375±4?25 (g) 7