專題40 賦值法求部分項系數或二項式系數(解析版)

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1、 專題40 賦值法求部分項系數或二項式系數 一、多選題 1．已知的展開式中第3項的二項式系數為45，且展開式中各項系數和為1024，則下列說法正確的是（ ） A． B．展開式中偶數項的二項式系數和為512 C．展開式中第6項的系數最大 D．展開式中的常數項為45 【答案】BCD 【分析】 由二項式定理及二項式系數的性質逐項判斷即可得解. 【詳解】 由題意，，所以（負值舍去）， 又展開式中各項系數之和為1024，所以，所以，故A錯誤； 偶數項的二項式系數和為，故B正確； 展開式的二項式系數與對應項的系數相同， 所以展開式中第6項的系數最大，故C正確； 的展開

2、式的通項， 令，解得，所以常數項為，故D正確. 故選：BCD. 2．若的展開式中的系數是，則（ ） A． B．所有項系數之和為1 C．二項式系數之和為 D．常數項為 【答案】ABC 【分析】 首先根據展開式中的系數是得到，從而判斷A正確，令得到所有項系數之和為，從而判斷B正確，根據二項式系數之和為，從而判斷C正確，根據的常數項為，從而判斷D錯誤. 【詳解】 對選項A，的展開式中項為， 所以，解得，故A正確； 由A知：， 令，所有項系數之和為，故B正確； 對選項C，二項式系數之和為，故C正確； 對選項D，的常數項為，故D錯誤. 故選：ABC 【點睛】 本

3、題主要考查二項式的定理的各項系數之和，項的系數之和，常數項，屬于中檔題. 二、單選題 3．如果的展開式中各項系數之和為，則展開式中的系數是（ ） A．90 B．80 C．-90 D．-92 【答案】C 【分析】 根據條件求出，然后寫出其通項公式，然后可算出答案. 【詳解】 令，得展開式中各項系數之和為.由，得， 通項公式為， 令，得，所以的系數是 故選：C 4．若，則（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】 令可得：， 令可得：，相加即可得解. 【詳解】 令可得：， 令可得：， 兩式相加可得：， 所以， 故選：B

4、 5．已知二項式的展開式中所有項的系數和為512，函數，且，則函數取最大值時的取值為（ ） A．4 B．5 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】 令，可得展開式中所有項的系數和，即可求出的值，從而可得出再利用二項式系數最值性即可求解. 【詳解】 因為二項式的展開式中所有項的系數和為512， 令，得 所以，二項式展開式有10項， 則由二項式系數最值性可知第5項和第6項的二項式系數最大， 所以當或5時，最大， 故選：C 【點睛】 本題主要考查了二項式展開式所有項的系數之和，以及展開式中二項式系數最大的項，屬于基礎題. 6．展開式中各項系數之和為（ ）

5、 A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】 令即可求得展開式中各項系數之和. 【詳解】 解：令，得展開式中各項系數之和為. 故選：A. 【點睛】 本題考查二項式定理展開式各項系數之和，解題的關鍵在于賦值法，是基礎題. 7．的展開式中常數項為（ ） A． B．160 C．80 D． 【答案】A 【分析】 在二項展開式的通項公式中，令的指數等于0，求出的值，即可求得常數項. 【詳解】 展開式的通項公式為， 令，可得，故展開式的常數項為. 故選：A. 【點睛】 本題考查了利用二項式定理求常數項，關鍵在于寫出二項展開式的通項，屬于基礎題. 8．在的展

6、開式中，常數項為（ ） A．60 B．30 C．20 D．15 【答案】A 【分析】 根據二項式定理，得出展開式的通項，進而可得出結果. 【詳解】 因為展開式的第項為， 令，則， 所以常數項為. 故選：A. 【點睛】 本題主要考查求二項展開式中的常數項，屬于基礎題型. 9．展開式中各項的系數和為（ ） A． B．1 C． D．12 【答案】B 【分析】 利用賦值法求出答案即可. 【詳解】 由題意，不妨設. 令得：，即展開式中各項系數和為1. 故選：B 【點睛】 本題考查的是二項式展開式的系數和問題，較簡單. 10．若，則的值為（

7、） A．1 B．0 C．-1 D．2 【答案】C 【分析】 利用賦值法可得：令可得；令可得：，即可得出結果. 【詳解】 因為， 令可得； 令可得：； 故． 故選：C. 【點睛】 本題主要考查利用賦值法求值，考查計算能力，屬于較易題. 11．將多項式分解因式得，則（ ） A．16 B．14 C． D． 【答案】C 【分析】 將展開，觀察 的系數，對應的展開相乘，相加得到答案. 【詳解】 解析：由題意，，，所以， 故選：C. 【點睛】 本題考查了二項式定理,考查計算能力，屬于基礎題. 12．設(1+x)n=a0+a1x+…+anxn,若a1+a2

8、+…+an=63,則展開式中系數最大的項是( ) A．15x2 B．20x3 C．21x3 D．35x3 【答案】B 【解析】 令x=1,則(1+1)n=++…+=64.∴n=6. 故(1+x)6的展開式中系數最大的項為T4=x3=20x3. 13．若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用二項式定理可知、、、為負數，、、、、為正數，可得出，然后令可求得所求代數式的值，可以求得，從而求得結果. 【詳解】 二項式的展開式通項為， 所以，的奇數次冪的系數均為負數，偶數次冪的系數均為正數， 即、、、為負數，、、、、為正數， 所以. 所以，

9、 故選：D. 【點睛】 本題考查利用賦值法求解各項系數絕對值之和，要結合二項式定理確定各項系數的正負，考查計算能力，屬于中檔題目. 14．已知，則下列命題正確的是（ ） A．當時，不存在，使得 B．當時，對任意，都有 C．當時，必存在，使得 D．當時，對任意，都有 【答案】C 【分析】 通過舉反例的方法判斷出A B D錯誤，對于C：當時，寫出的展開式即可判斷. 【詳解】 當時，，，A錯； ，B錯； 當時，，，C對； ，D錯； 故選：C. 【點睛】 本題主要考查了二項式定理.屬于較易題. 15．已知，則的值為（ ） A．1 B． C． D．81

10、 【答案】C 【分析】 根據題意，令，即可求得的值，得到答案. 【詳解】 由， 令，可得. 故選：C. 【點睛】 本題主要考查了二項展開式的系數的和問題，其中合理賦值求解是解答的關鍵，著重考查賦值思想，以及運算能力. 16．若，則( ) A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【答案】A 【分析】 令求得，再令即可求解結論． 【詳解】 解：因為：， 令可得：； 令可得：； 故. 故選：A. 【點睛】 本題主要考查二項式定理的應用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的賦值，求展開式的系數和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題． 三、填空題

11、 17．若，，則_____. 【答案】 【分析】 令，利用賦值法可得，即可得解. 【詳解】 令，則， ， 因此，. 故答案為：. 18．二項式的展開式中的系數為______________ 【答案】 【分析】 根據二項式定理，寫出二項展開式的通項，再由賦值法，即可得出結果. 【詳解】 因為展開式的第項為 ， 令，則， 因此二項式的展開式中的系數為. 故答案為：. 19．若的展開式關于x的系數和為64，則展開式中含項的系數為______. 【答案】18 【分析】 令，由系數和求得，再利用二項式定理得的系數． 【詳解】 由題意，解得，展開式中系數是，

12、的系數是， ∴所求系數為． 故答案為：18． 20．已知，求_______ 【答案】 【分析】 在展開式中令可得系數和． 【詳解】 令得. 故答案為：． 【點睛】 本題考查二項式定理，在二項展開式中求系數和或部分項的系數項的常用方法是賦值法， 設二項展開式為，則有： ， 奇數項系數和為， 偶數項系數和為． 21．記，則______. 【答案】126 【分析】 分別令、，可求得各項系數和與常數項；利用，得到展開式通項公式，求得，進而求得結果. 【詳解】 令得：；令得：； ，展開式通項為，令，則， . 故答案為：. 【點睛】 本題考查二項式定理中

13、與各項系數和、指定項系數有關的問題的求解；在求解與各項系數和有關的問題時，通常采用賦值法來快速求得結果. 22．若，則_________. 【答案】 【分析】 根據二項式定理知、、為正數，、、為負數，然后令可得出所求代數式的值. 【詳解】 展開式通項為， 當為偶數時，，即、、為正數；當為奇數時，，即、、為負數. . 故答案為：. 【點睛】 本題考查利用賦值法求各項系數絕對值的和差計算，解題時要結合二項展開式通項確定各系數的正負，便于去絕對值，考查計算能力，屬于中等題. 23．二項式的展開式中常數項為______. 【答案】10 【分析】 根據二項式定理，得到二項展

14、開式的通項，再由賦值法，即可得出結果. 【詳解】 的展開式的第項為 ， 令可得， 所以二項式的展開式中常數項為. 故答案為：10. 24．若，則的值為__________. 【答案】242 【分析】 觀察所求代數式與已知條件的聯系，令，即可求出的值，進而求出答案. 【詳解】 由題設 令可得，，所以. 故答案為：242 【點睛】 本題考查二項式定理，特殊賦值法是解題的關鍵，屬于基礎題. 25．的展開式中，不含x的各項系數之和為______. 【答案】256 【分析】 對式子進行變形得，利用二項式定理的展開式可得通項公式可得當時不含有x，再利用賦值法，即可得

15、答案； 【詳解】 的展開式的通項為， 可知當時不含有x，此時， 令可得到各項系數之和為256. 故答案為：256. 【點睛】 本題考查二項式定理的展開式及賦值法，考查邏輯推理能力、運算求解能力. 26．在展開式中，的偶數次冪項的系數之和為8，則______. 【答案】 【分析】 設的偶數次冪項的系數之和為，奇數次冪項的系數之和為，則，解得，得到答案. 【詳解】 設展開式的偶數次冪項的系數之和為，奇數次冪項的系數之和為， 則，得，由得. 故答案為：. 【點睛】 本題考查了二項式定理的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力. 27．的展開式中的系數是______

16、__.（用數字填寫答案） 【答案】 【分析】 根據二項展開式的通項公式，得出展開式的通項，根據賦值法，即可求出結果. 【詳解】 因為的展開式的第項為， 令得， 則的展開式中的系數是. 故答案為：. 【點睛】 本題主要考查求指定項的系數，熟記二項式定理即可，屬于基礎題型. 28．已知，若，則的值為__. 【答案】. 【分析】 根據題意，由定積分公式求出的值，進而在中，分別令和，分析可得答案. 【詳解】 解：根據題意，， 則， 令可得：，即， 令可得：， 又由，則； 故答案為： 【點睛】 本題考查二項式定理的應用，涉及特殊值的應用，關鍵是求出的值，屬于

17、基礎題. 29．的展開式中，各項系數之和為1，則實數____________.（用數字填寫答案） 【答案】-1 【分析】 令，即可得各項系數之和為，直接求解即可 【詳解】 令，得各項系數之和為，解得. 故答案為：-1 【點睛】 本題考查二項式的系數和，屬于基礎題 30．若，則________. 【答案】 【分析】 在所給的等式中，令，可得．再令，可得，從而求得的值． 【詳解】 解：在中，令，可得． 令，可得，， 故答案為：． 【點睛】 本題主要考查二項式定理的應用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的賦值，求展開式的系數和，可以簡便的求出答案

18、，屬于基礎題． 31．若，則______. 【答案】 【分析】 令，利用賦值法可得，即可得解. 【詳解】 令，則，， 因此，. 故答案為：. 【點睛】 本題考查利用賦值法計算項的系數和，考查計算能力，屬于基礎題. 32．已知的展開式的所有項系數之和為27，則展開式中含的項的系數是_________. 【答案】23 【分析】 令計算可得展開式中所有項的系數和，求得，然后求出中常數項和的系數，利用多項式乘法法則得結論． 【詳解】 已知的展開式的所有項系數之和為27，將代入表達式得到. 展開式中含的項的系數是. 故答案為：23. 【點睛】 本題考查二項式定理，

19、考查用賦值法求展開式中所有項的系數和，及求指定項的系數．掌握二項式通項公式是解題基礎． 33．如果的展開式中各項系數之和為，則展開式中的系數是______. 【答案】 【分析】 根據的展開式中各項系數之和為，令解得，得到其通項公式，再令x的指數為-2求解即可. 【詳解】 令，得展開式中各項系數之和為. 由，得， 通項公式為 令，得 所以的系數是. 故答案為： 【點睛】 本題主要考查二項展開式的系數以及通項公式的應用，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題. 四、雙空題 34．設，若，則_______，_______． 【答案】5 80 【分析】

20、 令，得，令，得，根據二項展開式的通項公式可得. 【詳解】 在中， 令，得， 令，得，所以，所以，所以. 所以. 故答案為：5；80 【點睛】 關鍵點點睛：通過兩次賦值求得是解題關鍵，屬于容易題. 35．在二項式的展開式中，常數項是___________，所有項的系數和為___________． 【答案】 【分析】 寫出二項展開式的通項，令的指數為，求出參數的值，代入展開式通項可求得展開式的常數項，再令代入二項式可求得展開式所有項的系數和. 【詳解】 二項式的展開式通項為， 令，可得，所以，展開式的常數項為， 在二項式中，令，可得所有項的系數和為

21、. 故答案為：；. 【點睛】 求解二項式中所有項的系數和，一般在二項式中，令所有的變量均為計算即可. 36．已知，若，則________，________. 【答案】 【分析】 根據二項式定理可得展開式通項，由此可得方程，代入驗證可求得；采用賦值法即可求得各項系數和與，作差得到的值. 【詳解】 ， 由可知：， 當時，無整數解， 當時，， ， 當時，， 當時，， . 故答案為：；. 【點睛】 方法點睛：二項式定理中與各項系數和有關的問題常采用賦值法來進行求解，形如的式子： （1）令，可求得各項系數和； （2）令，可求得常數項； （3）分

22、別令和，作差或作和可分別求得奇次項系數和與偶此項系數和. 37．二項展開式，則________；________． 【答案】 【分析】 根據二項展開式的通項公式，得到展開式的第項為，即可根據題意，求出. 【詳解】 因為展開式的第項為， 令，得； 令，得； 令，得 因此. 故答案為：；. 【點睛】 本題主要考查求指定項的系數，熟記二項式定理即可，屬于基礎題型. 38．在二項式的展開式中第3項與第7項的二項式系數相等，項的系數為________；各項系數之和為________.(用數字作答) 【答案】 【分析】 利用已知條件得到，利

23、用二項式展開式求出，令求出各項系數之和即可. 【詳解】 由題意得： ， ， 當； 可得項的系數為， 令，可得各項系數之和為：. 故答案為：；. 39．若，則_______，________． 【答案】0 【分析】 賦值法，令，得．換元：設，則．只有中含有項，展開式的通項得解 【詳解】 令，得． 設，則． 因為僅有中含有項，展開式的通項，所以當，即時，． 【點睛】 本題考查二項式定理，考查運算求解能力．屬于基礎題. 40．已知，那么___________，__________．（用數字作答） 【答案】 【分析】 采用“賦

24、值法”，令，即可求解出的值；再令即可求解出的值，結合的值，則的值可求. 【詳解】 令，所以，所以； 令，所以， 又因為，所以， 故答案為：；. 【點睛】 本題考查求解二項展開式中項的系數以及各項系數和，采用“賦值法”能高效解答此類問題，難度一般. 41．在的二項展開式中，二項式系數之和為___________；所有項的系數之和為_______. 【答案】 【分析】 二項展開式的性質，展開式的二項式系數之和為，令可得所有項的系數之和， 【詳解】 根據二項展開式的性質，展開式的二項式系數之和為， 令可得所有項的系數之和為， 故答案為：， 【點睛】

25、本題主要考查了二項式展開式的性質，考查了二項式系數之和、所有項的系數之和，屬于基礎題. 42．已知多項式，則_________；________. 【答案】33 90 【分析】 在所給的等式中，令，可得的值． 即展開式中，的系數，為，計算求得結果． 【詳解】 解：對于多項式， 令，可得，則． 即展開式，中的系數，為， 故答案為：33；90． 【點睛】 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于中檔題． 43．在二項式的展開式中各項系數和為_____；含項的系數為_______． 【答案】1 -40 【分析

26、】 （1）利用賦值，求各項系數和；（2）先寫出二項展開式的通項公式，求的值，再代入求項的系數. 【詳解】 （1）求二項式展開式的各項系數和，令，則； （2）二項展開式的通項公式是， 當，解得：，代入通項公式得， 所以含項的系數為-40. 故答案為：1；-40 【點睛】 本題考查二項式定理，重點考查計算能力，屬于基礎題型. 44．已知多項式，則___________，___________. 【答案】63 -180 【分析】 分別令和，兩式作差可得的值；配湊法化簡已知等式，利用組合數計算出的值． 【詳解】 令，則； 令，則； 則 由 故

27、答案為： 【點睛】 本題考查二項式展開式的應用，考查系數和的求法，屬于中檔題． 45．設，則______；______. 【答案】40 242 【分析】 先根據二項展開式通項公式求第一空，再利用賦值法求第二空. 【詳解】 所以 令，則 令，則 所以 故答案為：40，242 【點睛】 本題考查二項展開式通項公式、賦值法求系數問題，考查基本分析求解能力，屬基礎題. 五、解答題 46．已知二項式的展開式中共有6項. （1）求展開式中所有二項式系數的和； （2）求展開式中含的項. 【答案】（1）32；（2）. 【分析】 （1）根據展開式的

28、項數為6得，進而得二項式系數的和為. （2）根據二項式展開式的通項公式求解即可得答案. 【詳解】 （1）由于二項展開式有6項，故. 所有二項式的系數和為. （2）二項式展開式的通項為， 令得. 故展開式中含的項為. 【點睛】 本題考查二項式定理，熟練的應用相關公式是解題的前提，是基礎題. 47．已知． （1）求； （2）求． 【答案】（1）0；（2）0． 【分析】 （1）賦值法，令即可求得答案； （2）利用平方差公式和（1）的結論即可得出答案． 【詳解】 解：（1）∵， 令，得； （2）由（1）及平方差公式得 ． 【點睛】 本題主要考查二項

29、式定理的應用，屬于基礎題． 48．已知二項式的二項展開式中所有奇數項的二項式系數之和為128. （1）求的展開式中的常數項； （2）在 (1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展開式中，求項的系數.(結果用數字作答) 【答案】（1）； （2）330 【分析】 二項展開式中所有項的系數和為，奇數項的二項式系數和應為所有項系數和的一半，即 ，可求得. （1）寫出該二項式展開式的通項，令的指數為零，即可求解； （2）由二項式定理知在，，，中均存在，故的系數為 . 【詳解】 解：所有奇數項的二項式系數之和為128， ，解得. （1）的第項為

30、 ， 令，得， 則常數項為； （2） 展開式中的系數為： . 【點睛】 本題考查了二項式定理及其應用，組合數的性質，屬于中檔題. 49．已知，其中． （1）當時，求的展開式中二項式系數最大的項和系數最大的項； （2）若n為偶數，求的值． 【答案】（1）二項式系數最大的項是第4項為，系數最大的項是第5項為；（2） ． 【分析】 （1）由二項式系數性質求解，由二項展開式通項公式得各項系數，由第項系數不小于前后兩項系數可得系數最大的項； （2）先求出，在展開式中令和后可得奇數項系數和然后可得結論． 【詳解】 （1）中 時，展開式中有7項，中間一項的二

31、項式系數最大，此項為， 又，設第項系數最大，則，解得，∴，即第5項系數最大，第5項為； 二項式系數最大的項是第4項為，系數最大的項是第5項為； （2）首先，記， 則， ， 所以， 所以． 【點睛】 本題考查二項式定理，考查二項式系數的性質，掌握二項式定理是解題關鍵．賦值法是求二項展開式中某些項系數和常用方法． 50．若，求 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）129（2）8256（3）-8128 【分析】 （1）利用賦值法令得，再令即可得到結果. （2）令和，將得到的兩個式子作差可得結果. （3）令和，將得到的兩個式子相加可得結果. 【詳解】 （1）令，則， 令，則． ∴． （2）令，則． 令，則, 兩式相減得：， 則. （3）令，則． 令，則, 兩式相加得：， 則 【點睛】 本題考查賦值法求二項展開式的各項系數和，考查計算能力，屬于基礎題.