《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》2014屆高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)【配套word版文檔】：第二篇 第8講 函數(shù)與方程

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1、 第8講 函數(shù)與方程 A級　基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．函數(shù)f(x)＝sin x－x零點(diǎn)的個數(shù)是 (　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　f′(x)＝cos x－1≤0，∴f(x)單調(diào)遞減，又f(0)＝0，∴則f(x)＝sin x－x的零點(diǎn)是唯一的． 答案　B 2．(2013·泰州模擬)設(shè)f(x)＝ex＋x－4，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間 (　　)． A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 解析　∵f(x)＝e

2、x＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0，∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增．對于A項(xiàng)，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A不正確，同理可驗(yàn)證B、D不正確．對于C項(xiàng)，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故選C. 答案　C 3．(2013·石家莊期末)函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　)． A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3)

3、 D．(0,2) 解析　由條件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0<a<3. 2 / 9 答案　C 4．(2011·山東)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)為 (　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 解析　當(dāng)0≤x<2時(shí)，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1. 根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，由f(x)的最小正周期為2，可知y＝f(x)在[0

4、,6)上有6個零點(diǎn)， 又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0， ∴f(x)在[0,6]上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為7. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a，若函數(shù)g(x)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 解析　設(shè)n為自然數(shù)，則當(dāng)n<x≤n＋1時(shí)，f(x)＝(x－n－1)2，則當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象是以1為周期重復(fù)出現(xiàn)．而函數(shù)y＝x＋a是一族平行直線，當(dāng)它過點(diǎn)(0,1)(此時(shí)a＝1)時(shí)與函數(shù)f(x)的圖象交于一點(diǎn)，向左移總是一個交點(diǎn)，向右移總是兩個交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<1

5、. 答案　(－∞，1) 6．函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f[f(x)]＋1的所有零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為________． 解析　本題即求方程f[f(x)]＝－1的所有根的集合，先解方程f(t)＝－1，即或得t＝－2或t＝.再解方程f(x)＝－2和f(x)＝. 即或和或 得x＝－3或x＝和x＝－或x＝. 答案　 三、解答題(共25分) 7．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)． (1)作出函數(shù)f(x)的圖象； (2)當(dāng)0<a<b，且f(a)＝f(b)時(shí)，求＋的值； (3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍． 解　(1)如圖所示．

6、 (2)∵f(x)＝ ＝ 故f(x)在(0,1]上是減函數(shù)，而在(1，＋∞)上是增函數(shù)， 由0<a<b且f(a)＝f(b)， 得0<a<1<b，且－1＝1－，∴＋＝2. (3)由函數(shù)f(x)的圖象可知，當(dāng)0<m<1時(shí)，方程f(x)＝m有兩個不相等的正根． 8．(13分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－ax＋1. (1)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為4，求實(shí)數(shù)a的值； (2)若函數(shù)g(x)＝f′(x)在區(qū)間(－1,1)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　由題意得g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a. (1)f′

7、(1)＝3＋4－a＝4，∴a＝3. (2)法一?、佼?dāng)g(－1)＝－a－1＝0，a＝－1時(shí)，g(x)＝f′(x)的零點(diǎn)x＝－∈(－1,1)； ②當(dāng)g(1)＝7－a＝0，a＝7時(shí)，f′(x)的零點(diǎn)x＝－?(－1,1)，不合題意； ③當(dāng)g(1)g(－1)<0時(shí)，－1<a<7； ④當(dāng)時(shí)，－≤a<－1. 綜上所述，a∈. 法二　g(x)＝f′(x)在區(qū)間(－1,1)上存在零點(diǎn)，等價(jià)于3x2＋4x＝a在區(qū)間(－1,1)上有解，也等價(jià)于直線y＝a與曲線y＝3x2＋4x在(－1,1)有公共點(diǎn)．作圖可得a∈. 或者又等價(jià)于當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，求值域． a＝3x2

8、＋4x＝32－∈. B級　能力突破(時(shí)間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2011·陜西)函數(shù)f(x)＝－cos x在[0，＋∞)內(nèi) (　　)． A．沒有零點(diǎn) B．有且僅有一個零點(diǎn) C．有且僅有兩個零點(diǎn) D．有無窮多個零點(diǎn) 解析　令f(x)＝0，得＝cos x，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個函數(shù)y＝與y＝cos x的圖象如圖所示，由圖象知，兩個函數(shù)只有一個交點(diǎn)，從而方程＝cos x只有一個解． ∴函數(shù)f(x)只有一個零點(diǎn)． 答案　B 2．(2012·遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x

9、)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x3.又函數(shù)g(x)＝|xcos(πx)|，則函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)在上的零點(diǎn)個數(shù)為 (　　)． A．5 B．6 C．7 D．8 解析　由題意知函數(shù)y＝f(x)是周期為2的偶函數(shù)且0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x3，則當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos(πx)|，所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝g(x)．當(dāng)x≠0時(shí)，若0<x≤，則x3＝xcos(πx)，即x2＝|cos π x|.同理可以得到在區(qū)間，，上的關(guān)系式都是上式，在同一個坐標(biāo)系中作出所得關(guān)系

10、式等號兩邊函數(shù)的圖象，如圖所示，有5個根．所以總共有6個． 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x2.若在區(qū)間[－1,3]內(nèi)，函數(shù)g(x)＝f(x)－kx－k有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________． 解析　依題意得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)．g(x)＝f(x)－kx－k在區(qū)間[－1,3]內(nèi)有4個零點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)與y＝k(x＋1)的圖象在區(qū)間[－1,3]內(nèi)有4個不同的交點(diǎn)．在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象(

11、如圖所示)，注意到直線y＝k(x＋1)恒過點(diǎn)(－1,0)，由題及圖象可知，當(dāng)k∈時(shí)，相應(yīng)的直線與函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,3]內(nèi)有4個不同的交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是. 答案　 4．若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①P、Q都在函數(shù)f(x)的圖象上；②P、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)對(P、Q)是函數(shù)f(x)的一個“友好點(diǎn)對”(點(diǎn)對(P、Q)與點(diǎn)對(Q，P)看作同一個“友好點(diǎn)對”)．已知函數(shù)f(x)＝則f(x)的“友好點(diǎn)對”的個數(shù)是________． 解析　設(shè)P(x，y)、Q(－x，－y)(x>0)為函數(shù)f(x)的“友好點(diǎn)對”，則 y＝，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1

12、＝2x2－4x＋1，∴＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)y1＝、y2＝－2x2＋4x－1的圖象，y1、y2的圖象有兩個交點(diǎn)，所以f(x)有2個“友好點(diǎn)對”，故填2. 答案　2 三、解答題(共25分) 5．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a>0，a，c∈R)． (1)設(shè)a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a對x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范圍； (2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)是否有零點(diǎn)，有幾個零點(diǎn)？為什么？ 解　(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的圖象的對稱軸為x＝，由條件a>c>

13、0，得2a>a＋c，故<＝<1，即二次函數(shù)f(x)的對稱軸在區(qū)間[1，＋∞)的左邊，且拋物線開口向上，故f(x)在[1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)． 若f(x)>c2－2c＋a對x∈[1，＋∞)恒成立，則f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，即a－c>c2－2c＋a，得c2－c<0， 所以0<c<1. (2)①若f(0)·f(1)＝c·(a－c)<0， 則c<0，或a<c，二次函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)只有一個零點(diǎn)． ②若f(0)＝c>0，f(1)＝a－c>0，則a>c>0.

14、 因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的圖象的對稱軸是x＝.而f＝<0， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間和內(nèi)各有一個零點(diǎn)，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個零點(diǎn)． 6．(13分)已知二次函數(shù)f(x)＝x2－16x＋q＋3. (1)若函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍； (2)是否存在常數(shù)t(t≥0)，當(dāng)x∈[t,10]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D，且區(qū)間D的長度為12－t(視區(qū)間[a，b]的長度為b－a)． 解　(1)∵函數(shù)f(x)＝x2－16x＋q＋3的對稱軸是x＝8，∴f(x)在區(qū)間[－1,1]上是減函數(shù)． ∵函數(shù)在區(qū)間[－1,1]

15、上存在零點(diǎn)，則必有即∴－20≤q≤12. (2)∵0≤t<10，f(x)在區(qū)間[0,8]上是減函數(shù)，在區(qū)間[8,10]上是增函數(shù)，且對稱軸是x＝8. ①當(dāng)0≤t≤6時(shí)，在區(qū)間[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小， ∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0， 解得t＝，∴t＝； ②當(dāng)6<t≤8時(shí)，在區(qū)間[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小， ∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8； ③當(dāng)8<t<10時(shí)，在區(qū)間[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小， ∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9， ∴t＝9. 綜上可知，存在常數(shù)t＝，8,9滿足條件. 特別提醒：教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！