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1、
第2章 2.2.2 第2課時
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．點A(a,1)在橢圓＋＝1的內(nèi)部，則a的取值范圍是( )
A．－
C．－2
2、知以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為( )
A．3 B．2
C．2 D．4
解析： 設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)．
由
得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，
由題意得Δ＝(8b2)2－4(a2＋3b2)(16b2－a2b2)＝0
且a2－b2＝4，可得a2＝7，∴2a＝2.
答案： C
4．過橢圓＋＝1的右焦點且傾斜角為45的弦AB的長為( )
A．5 B．6
- 1 - / 6
C. D．7
解析： 橢圓的右焦點為(4,0)，直線的斜率為k＝1，
∴
3、直線AB的方程為y＝x－4，
由得9x2＋25(x－4)2＝225，
由弦長公式易求|AB|＝.
答案： C
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．過橢圓＋＝1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為________．
解析： 橢圓的右焦點為F(1,0)，
∴l(xiāng)AB：y＝2x－2.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得3x2－5x＝0，
∴x＝0或x＝，
∴A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)＝1＝.
答案：
6．若傾斜角為的直線交橢圓＋y2＝1于A，B兩點，則線段AB的中點的軌
4、跡方程是________________．
解析： 設中點坐標為(x，y)，直線方程為y＝x＋b，代入橢圓方程得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，
則得x＋4y＝0.
由Δ>0得－b>0)的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為2.
(1)求該橢圓的標準方程；
(2)若P是該橢圓上的一個動點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，求的最大值與最小值．
解析： (1)＋y2＝1.
(2)設P(x，y)，由(1)知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
則＝(－－x，－
5、y)(－x，－y)＝x2＋y2－3
＝x2＋(1－)－3＝x2－2，
∵x∈[－2,2]，
∴當x＝0時，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值－2；
當x＝2，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值1.
8．設F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60，F(xiàn)1到直線l的距離為2.
(1)求橢圓C的焦距；
(2)如果＝2，求橢圓C的方程．
解析： (1)設橢圓C的焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離c＝2，故c＝2.
所以橢圓C的焦距為4.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由題意知y1<0，y
6、2>0，
直線l的方程為y＝(x－2)．
聯(lián)立，得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因為＝2，所以－y1＝2y2.
即＝2，得a＝3.
而a2－b2＝4，所以b＝.
故橢圓C的方程為＋＝1.
尖子生題庫☆☆☆
9．(10分)如圖，橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的離心率為，x軸
被曲線C2：y＝x2－b截得的線段長等于C1的長半軸長．
(1)求C1，C2的方程．
(2)設C2與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C2相交于點A，B，直線MA，MB分別與C1相交于點D，E.
證明：MD⊥ME.
解析： 由題意知e＝＝，從而a＝2b.
又2＝a，所以a＝2，b＝1.
故C1，C2的方程分別為＋y2＝1，y＝x2－1.
(2)證明：由題意知，直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為y＝kx.
由得x2－kx－1＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個實根，于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1.
又點M的坐標為(0，－1)，
所以kMAkMB＝＝
＝＝＝－1.
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
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