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第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)
【考綱下載】
1．了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的圖象，了解它們的變化情況．
2．理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題．
1．冪函數(shù)的定義
形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．
2．五種冪函數(shù)的圖象
3．五種冪函數(shù)的性質(zhì)
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定義域
R
R
R[來(lái)源:]
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
2、
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
增[來(lái)源:]
x∈[0，＋∞) 時(shí)，增
增[來(lái)源:]
增
x∈(0，＋∞) 時(shí)，減
x∈(－∞，0] 時(shí)，減
x∈(－∞，0) 時(shí)，減
4.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
a>0
a<0
圖象
定義域
R
值域
單調(diào)性
在上遞減，在上遞增
在上遞增，在上遞減
奇偶性
b＝0時(shí)為偶函數(shù)，b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù)
圖象特點(diǎn)
①對(duì)稱(chēng)軸：x＝－；②頂點(diǎn)：
1．函數(shù)y＝(x＋1)3，y＝x3＋1，y＝都是冪函數(shù)嗎？
提示：y
3、＝(x＋1)3與y＝x3＋1不是冪函數(shù)；y＝是冪函數(shù)．
2．冪函數(shù)的圖象能出現(xiàn)在第四象限嗎？
提示：不能．因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，根據(jù)冪運(yùn)算，冪函數(shù)y＝xα＞0恒成立，所以?xún)绾瘮?shù)在第四象限沒(méi)有圖象．
3．a(chǎn)x2＋bx＋c>0(a≠0)與ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件分別是什么？
提示：(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是
1．已知點(diǎn)M在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達(dá)式為( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x－2 C．f(x)＝x
4、 D．f(x)＝x
解析：選B 設(shè)f(x)＝xα，則3＝α，∴α＝－2.即f(x)＝x－2.
2．(教材習(xí)題改編)如圖中曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象．已知n取±2，±四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
解析：選B 由冪函數(shù)圖象及其單調(diào)性之間的關(guān)系可知，曲線C1，C2，C3，C4所對(duì)應(yīng)的n依次為2，，－，－2.
3．函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(－5，－3)上( )
A．先減后增
5、 B．先增后減 C．單調(diào)遞減 D．單調(diào)遞增
解析：選D 因?yàn)閒(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3為偶函數(shù)，所以2m＝0，即m＝0.所以f(x)＝－x2＋3.
由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)＝－x2＋3在(－5，－3)上為增函數(shù)．
4．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝4x2－mx＋5的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以≤2，即m≤16.
答案：(－∞，16]
5．設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1，若f(x)＜0的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
解析：當(dāng)m＝0時(shí)，顯然成立；當(dāng)m≠0時(shí)
6、，解得－4＜m＜0.
綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－4,0]．
答案：(－4,0]
數(shù)學(xué)思想(二)
分類(lèi)討論在求二次函數(shù)最值中的應(yīng)用
二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，一定要根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系確定最值，當(dāng)函數(shù)解析式中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)參數(shù)的最值情況進(jìn)行分類(lèi)討論．
[典例] (2014·運(yùn)城模擬)已知x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2－ax＋＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(0,2) B．(2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(0,4)
[解題指導(dǎo)] f(x)＞0恒成立?f(x)min＞0.求函數(shù)f(x)＝x2－ax＋的
7、最小值應(yīng)抓住問(wèn)題中的區(qū)間兩端點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合圖象和函數(shù)的單調(diào)性及恒成立條件建立關(guān)于a的不等式求解．
[解析] 二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x＝，又x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2－ax＋＞0恒成立，即f(x)最小值＞0.
①當(dāng)≤－1，即a≤－2時(shí)，f(－1)＝1＋a＋＞0，解得a＞－，與a≤－2矛盾；
②當(dāng)≥1，即a≥2時(shí)，f(1)＝1－a＋＞0，解得a＜2，與a≥2矛盾；
③當(dāng)－1＜＜1，即－2＜a＜2時(shí)，Δ＝(－a)2－4·＜0，解得0＜a＜2.綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,2)．
[答案] A
[題后悟道] 二次函數(shù)求最值問(wèn)題，一般先用配方
8、法化為y＝a(x－m)2＋n的形式，得頂點(diǎn)(m，n)和對(duì)稱(chēng)軸方程x＝m，結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解．常見(jiàn)有三種類(lèi)型：
(1)頂點(diǎn)固定，區(qū)間也固定；
(2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn))，區(qū)間固定，這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時(shí)在區(qū)間之內(nèi)，何時(shí)在區(qū)間之外；
(3)頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)，這時(shí)要討論區(qū)間中的參數(shù)．
討論的目的是確定對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系，明確函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最值．
已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在區(qū)間[－1,2]上有最大值4，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．
解析：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；
(2)當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
(3)當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,2]上是減函數(shù)，最大值為f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
綜上可知，a的值為或－3.
答案：或－3
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