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第八節(jié) 圓錐曲線的綜合問題
[全盤鞏固]
1.如圖，中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點，M，N是雙曲線的兩頂點．若M，O，N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是( )
A．3 B．2 C. D.
解析：選B 設橢圓長半軸長為a(a>0)，則雙曲線半實軸的長為，由于雙曲線與橢圓共焦點，設焦距為2c，所以雙曲線的離心率e1＝＝，橢圓的離心率e2＝，所以＝＝2.
2．(2013新課標全國卷Ⅰ)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦
2、點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：選D 由題意知kAB＝，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
＋＝0.
由AB的中點是(1，－1)知
則＝＝，聯(lián)立a2－b2＝9，
解得a2＝18，b2＝9，
故橢圓E的方程為＋＝1.
3．(2014長春模擬)已知實數(shù)4，m,9構成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為( )
A. B.
C.或
3、 D.或7
解析：選C 因為4，m,9成等比數(shù)列，所以m＝6，當m＝6時，＋y2＝1為橢圓a2＝6，b2＝1，c2＝5.
所以離心率e＝＝＝；當m＝－6時，y2－＝1為雙曲線，a2＝1，b2＝6，c2＝7，所以離心率e＝＝.
4．(2014湖州模擬)在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，M是拋物線C上的點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓面積為9π，則p＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：選B 依題意得，△OFM的外接圓半徑為3，△OFM的外接圓圓心應位于線段OF的垂直平分線x＝上，圓心到準線x＝
4、－的距離等于3，即有＋＝3，由此解得p＝4.
5．(2013全國高考)已知拋物線C：y2＝8x與點M(－2,2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點．若＝0，則k＝ ( )
A. B. C. D．2
解析：
選D 如圖所示，設F為焦點，取AB中點P，過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為G，H，連接MF，MP，由＝0，知MA⊥MB，則|MP|＝|AB|＝(|AG|＋|BH|)，所以MP為直角梯形BHGA的中位線，所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM為公共邊，所以△AMG≌△AMF，
5、所以∠AFM＝∠AGM＝90，則MF⊥AB，所以k＝－＝2.
6. 如圖，已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線x－my＋m＝0與拋物線交于A、B兩點，且△OAB(O為坐標原點)的面積為2，則m6＋m4的值是( )
A．1 B. C．2 D．4
解析：選C 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知，＝－m，將x＝my－m代入拋物線方程y2＝2px(p>0)中，整理得y2－2pmy＋2pm＝0，由根與系數(shù)的關系，得y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，則(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝(2pm)2－8pm＝
6、16m4＋16m2，又△OAB的面積S＝|y1－y2|＝(－m)4＝2，兩邊平方即可得m6＋m4＝2.
7．(2013安徽高考)已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點．若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________．
解析：法一：設直線y＝a與y軸交于點M，拋物線y＝x2上要存在點C，只要以|AB|為直徑的圓與拋物線y＝x2有除A、B外的交點即可，也就是使|AM|≤|MO|，即≤a(a>0)，所以a≥1.
法二：易知a>0，設C(m，m2)，由已知可令A(，a)，B(－，a)，則＝(m－，m2－a)，＝(m＋，m2－a)，因為⊥，所以m2－a＋m4－2am
7、2＋a2＝0，可得(m2－a)(m2＋1－a)＝0.因為由題易知m2≠a，所以m2＝a－1≥0，故a∈[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
8．若C(－，0)，D(，0)，M是橢圓＋y2＝1上的動點，則＋的最小值為________．
解析：由橢圓＋y2＝1知c2＝4－1＝3，∴c＝，
∴C，D是該橢圓的兩焦點，令|MC|＝r1，|MD|＝r2，
則r1＋r2＝2a＝4，
∴＋＝＋＝＝，
又∵r1r2≤＝＝4，[來源:]
∴＋＝≥1.
當且僅當r1＝r2時，上式等號成立．
故＋的最小值為1.
答案：1
9．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(－1,0)和F2(1,0)的距離的積等
8、于常數(shù)a2(a>1)的點的軌跡．給出下列三個結(jié)論：
①曲線C過坐標原點；
②曲線C關于坐標原點對稱；
③若點P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2.
其中，所有正確結(jié)論的序號是________．
解析：因為原點O到兩個定點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)的距離的積是1，而a>1，所以曲線C不過原點，即①錯誤；因為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1,0)關于原點對稱，所以|PF1||PF2|＝a2對應的軌跡關于原點對稱，即②正確；因為S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即△F1PF2的面積不大于a2，所以③正確．
答案：②③
10．已知
9、橢圓C的中心為坐標原點O，一個長軸頂點為(0,2)，它的兩個短軸頂點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于異于橢圓頂點的兩點A，B，且＝2.
(1)求橢圓的方程；
(2)求m的取值范圍．
解：(1)由題意，知橢圓的焦點在y軸上，[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，
由題意，知a＝2，b＝c，
又a2＝b2＋c2，則b＝，
所以橢圓方程為＋＝1.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意，知直線l的斜率存在，
設其方程為y＝kx＋m，與橢圓方程聯(lián)立，
即消去y，
得(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
10、Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，
由根與系數(shù)的關系，知
又＝2，
即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
所以－x1＝2x2.
則
所以＝－22.
整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0時等式不成立，
所以k2＝>0，得0.
所以m的取值范圍為∪.
11．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F1(－1,0)，長軸長與短軸長的比是2∶.
(1)求橢圓的方程；
(2)過F1作兩直線m，n交橢圓于A，B，C，D四點，若m⊥n，求證：＋為定值．
解：(1)由已知得
解得a＝2，b＝.
故所求橢圓方程
11、為＋＝1.
(2)證明：由已知F1(－1,0)，當直線m不垂直于坐標軸時，可設直線m的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)．
由
得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
由于Δ>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有
x1＋x2＝－，x1x2＝，
|AB|＝
＝
＝.
同理|CD|＝.
所以＋＝＋
＝＝.
當直線m垂直于坐標軸時，此時|AB|＝3，|CD|＝4；或|AB|＝4，|CD|＝3，＋＝＋＝.
綜上，＋為定值.
12．(2013江西高考)如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點P，離心率e＝，直線l的方程為x＝4.[來源:]
(1)求
12、橢圓C的方程；
(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P)，設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.
問：是否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．
解：(1)由P在橢圓上，得＋＝1.①
依題設知a＝2c，則b2＝3c2.②
②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)法一：由題意可設直線AB的斜率為k，
則直線AB的方程為y＝k(x－1)．③
代入橢圓方程3x2＋4y2＝12，
并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
設A(x1，y1)，B
13、(x2，y2)，則有
x1＋x2＝，x1x2＝.④
在方程③中令x＝4，得M的坐標為(4,3k)．
從而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
由于A，F(xiàn)，B三點共線，則有k＝kAF＝kBF，
即有＝＝k.
所以k1＋k2＝＋
＝＋－
＝2k－.⑤
④代入⑤得
k1＋k2＝2k－＝2k－1，
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.故存在常數(shù)λ＝2符合題意．
法二：設B(x0，y0)(x0≠1)，則直線FB的方程為y＝(x－1)，
令x＝4，求得M，
從而直線PM的斜率為k3＝，
聯(lián)立得A，[來源:]
則直線PA的斜率為k1＝，
直線PB的斜率為k2＝，
所以k1＋k
14、2＝＋＝
＝2k3，
故存在常數(shù)λ＝2符合題意．
[沖擊名校]
如圖，已知橢圓＋＝1的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點．
(1)若點G的橫坐標為－，求直線AB的斜率；
(2)記△GFD的面積為S1，△OED(O為原點)的面積為S2.試問：是否存在直線AB，使得S1＝S2？說明理由．
解：(1)依題意可知，直線AB的斜率存在，設其方程為y＝k(x＋1)．
將其代入＋＝1，
整理得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝.
故
15、點G的橫坐標為＝＝－.
解得k＝.
(2)假設存在直線AB，使得S1＝S2，顯然直線AB不能與x，y軸垂直．
由(1)可得G.
設D點坐標為(xD,0)．
因為DG⊥AB，
所以k＝－1，
解得xD＝，即D.
因為△GFD∽△OED，
所以S1＝S2?|GD|＝|OD|.
所以 ＝，
整理得8k2＋9＝0.
因為此方程無解，
所以不存在直線AB，使得S1＝S2.
[高頻滾動]
(2013北京高考)已知A，B，C是橢圓W：＋y2＝1上的三個點，O是坐標原點．
(1)當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
(2)當點B不是W的頂點時，判斷四
16、邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．
解：(1)橢圓W：＋y2＝1的右頂點B的坐標為(2,0)．
因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分．
所以可設A(1，m)，代入橢圓方程得＋m2＝1，即m＝.
所以菱形OABC的面積是|OB||AC|＝22|m|＝.
(2)四邊形OABC不可能為菱形，理由如下：
假設四邊形OABC為菱形．
因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，所以可設AC的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由消去y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
設A(x1，y1)，C(x2，y2)，則＝－，＝k＋m＝.
所以AC的中點為M.
因為M為AC和OB的交點，所以直線OB的斜率為－.
因為k≠－1，所以AC與OB不垂直．
所以四邊形OABC不是菱形，與假設矛盾．
所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形．[來源:]
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