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第四節(jié) 數(shù) 列 求 和
【考綱下載】
1．熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式．
2．掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法．
1．公式法與分組求和法
(1)公式法
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和．
①等差數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝＝na1＋d.
②等比數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝
(2)分組求和法
若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
2．倒序相加法與并項求和法
(1)倒序相加法
如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端
2、等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導的．
(2)并項求和法
在一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．
形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
3．裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
4．錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等
3、差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的．
1．求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．你認為該說法正確嗎？為什么？
提示：不正確．當a≠0，且a≠1時，可用錯位相減法求解．
2．如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk.你認為該說法正確嗎？
提示：正確．
3．如果數(shù)列{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，則與相等嗎？
提示：相等．
1．數(shù)列{an}的通項公式是an＝，前n項和為9，則n＝(
4、 )
A．9 B．99 C．10 D．100
解析：選B ∵an＝＝－.
∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.
∴－1＝9，即＝10，∴n＝99.
2．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
解析：選C Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(21＋21－1)＋(22＋22－1)＋(23＋23－1)＋…＋(2n＋2n－1)
＝(2
5、＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n
＝＋2－n
＝2(2n－1)＋n2＋n－n
＝2n＋1＋n2－2.
3．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15 B．12 C．－12 D．－15
解析：選A ∵an＝(－1)n(3n－2)．
∴a1＋a2＋…＋a10
＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋(－25＋28)＝35＝15.
4．一個數(shù)列{an}，當n是奇數(shù)時，an＝5n＋1
6、；當n為偶數(shù)時，an＝2，則這個數(shù)列的前2m項的和是________．[來源:]
解析：當n為奇數(shù)時，{an}是以6為首項，以10為公差的等差數(shù)列；當n為偶數(shù)時，{an}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．所以，
S2m＝S奇＋S偶＝ma1＋10＋
＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1)
＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2
＝2m＋1＋5m2＋m－2.
答案：2m＋1＋5m2＋m－2
5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an＝n2n，則Sn＝________.
解析：∵an＝n2n，
∴Sn＝121＋222＋323＋…＋n2n.①
∴2Sn＝122＋223＋…＋(n
7、－1)2n＋n2n＋1.②
①－②，得
－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1
＝－n2n＋1＝2n＋1－2－n2n＋1
＝(1－n)2n＋1－2.
∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
答案：(n－1)2n＋1＋2
答題模板(四)
利用錯位相減法解決數(shù)列求和
[典例] (2013山東高考)(12分)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n項和Tn.
[快速規(guī)范審題][來源:]
第(1)問
1．審結(jié)論，明解題方向
8、
觀察所求結(jié)論：求{an}的通項公式應求a1和d.
2．審條件，挖解題信息
觀察條件：{an}為等差數(shù)列，S4＝4S2，a2n＝2an＋1
3．建聯(lián)系，找解題突破口
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1建立關(guān)于a1和d的方程組a1＝1，d＝2an＝2n－1.
3．建聯(lián)系，找解題突破口
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1建立關(guān)于a1和d的方程組a1＝1，d＝2an＝2n－1.
第(2)問
1．審結(jié)論，明解題方向
觀察所求結(jié)論：求{bn}的前n項和Tn―→應求{bn}的通項公式bn.
2．審條件，挖解題信息
觀察條件：＋＋…＋＝1－即的前n項和為利用＝An－An－1可求可求bn
9、.
3．建聯(lián)系，找解題突破口
由＋＋…＋＝1－求=An－An－1＝可求bn＝求Tn.,
.
,[準確規(guī)范答題]
(1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得[來源:]
?2分
解得a1＝1，d＝2.?4分
因此an＝2n－1，n∈N*.?5分
(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，
當n＝1時，＝；?6分
當n≥2時，＝1－－＝，?7分
所以＝，n∈N*.?8分
由(1)知an＝2n－1，n∈N*，
所以bn＝，n∈N*.?9分
又Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋，?10分
兩式相減，得[來源:]
Tn
10、＝＋－
＝－－，?11分
所以Tn＝3－.?12分
[答題模板速成]
用錯位相減法解決數(shù)列求和的步驟：
第一步 判斷結(jié)構(gòu)
若數(shù)列{anbn}是由等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}(公比q)的對應項之積構(gòu)成的，則可用此法求和
第二步 乘公比
設{anbn}的前n項和為Tn，然后兩邊同乘以q
第三步 錯位相減
乘以公比q后，向后錯開一位，使含有qk(k∈N*)的項對應，然后兩邊同時作差
第四步 求和
將作差后的結(jié)果求和，從而表示出Tn
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高考數(shù)學復習：第五章 ：第四節(jié) 數(shù)列求和回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
