河北省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2章方程組與不等式組第2節(jié)一元二次方程及應(yīng)用精講試題
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1、▼▼▼2019屆數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)資料▼▼▼ 第二節(jié) 一元二次方程及應(yīng)用 河北五年中考命題規(guī)律 年份 題號 考查點 考查內(nèi)容 分值 總分 2017 19 一元二次方程的解法 綜合題,在新定義的背景下用直接開平方法解一元二次方程 3 7 26(2) 一元二次方程及根的判別式 利用題中已知條件列出方程,并用判別式判斷根的情況 4 2016 14 一元二次方程根的判別式 利用已知條件判斷含字母系數(shù)的一元二次方程的根的情況 2 2 2015 12 一元二次方程根的判別式 考一元二次方程無實數(shù)根求參數(shù)的取值范圍 2 2 2014 21 解一
2、元二次方程 (1)從推導(dǎo)一元二次方程的求根公式的步驟中找錯誤,并寫出正確的求根公式; (2)用配方法解一元二次方程 10 10 2013年未考查 命題規(guī)律 縱觀河北近五年中考,2014、2015、2016、2017年考查了一元二次方程,分值2~10分,涉及的題型有選擇、填空、解答,題目難度一般,其中一元二次方程的配方法在選擇和解答題中各考查了1次,一元二次方程的應(yīng)用在選擇、填空中各考過1次,一元二次方程根的判別式考查了3次,屬基礎(chǔ)題. 河北五年中考真題及模擬 一元二次方程的解法 1.(2014河北中考
3、)嘉淇同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式時,對于b2-4ac>0的情況,她是這樣做的: 由于a≠0,方程ax2+bx+c=0變形為: x2+x=-,第一步 x2+x+=-+,第二步 =,第三步 x+=(b2-4ac>0),第四步 x=.第五步 (1)嘉淇的解法從第__四__步開始出現(xiàn)錯誤;事實上,當(dāng)b2-4ac>0時,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為__x=__. (2)用配方法解方程:x2-2x-24=0. 解:x1=6,x2=-4. 2.(2017滄州中考模擬)在解方程(x+2)(x-2)=5時,甲同學(xué)說:由于
4、5=1×5,可令x+2=1,x-2=5,得方程的根x1=-1,x2=7;乙同學(xué)說:應(yīng)把方程右邊化為0,得x2-9=0,再分解因式,即(x+3)(x-3)=0,得方程的根x1=-3,x2=3.對于甲、乙兩名同學(xué)的說法,下列判斷正確的是( A ) A.甲錯誤,乙正確 B.甲正確,乙錯誤 C.甲、乙都正確 D.甲、乙都錯誤 3.(2016石家莊二十八中一模)現(xiàn)定義運算“★”,對于任意實數(shù)a,b,都有a★b=a2-3a+b,如3★5=32-3×3+5,若x★2=6,則實數(shù)x的值是( B ) A.-4或-1 B.4或-1 C.4或-2 D.-4或2 一元二次方程
5、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系 4.(2015河北中考)若關(guān)于x的方程x2+2x+a=0不存在實數(shù)根,則a的取值范圍是( B ) A.a(chǎn)<1 B.a(chǎn)>1 C.a(chǎn)≤1 D.a(chǎn)≥1 5.(2016河北中考)a,b,c為常數(shù),且(a-c)2>a2+c2,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0根的情況是( B ) A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根 C.無實數(shù)根 D.有一根為0 6.(2016唐山十三中三模)已知關(guān)于x的方程2x2-mx-6=0的一個根是2,則m=__1__,另一個根為__-__. 7.(2017唐山二模)對于實數(shù)a,b,定義新運算“
6、*”:a*b=例如:4*2,因為4>2,所以4*2=42-4×2=8. (1)求(-5)*(-3)的值; (2)若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根,求x1*x2的值. 解:(1)∵-5<-3, ∴(-5)*(-3)=(-5)×(-3)-(-3)2=6; (2)方程x2-5x+6=0的兩根為2或3; ①2*3=2×3-9=-3;②3*2=32-2×3=3. 一元二次方程的應(yīng)用 8.(2016邯鄲25中模擬)某超市一月份的營業(yè)額為36萬元,三月份的營業(yè)額為48萬元,設(shè)每月的平均增長率為x,則可列方程為( D )
7、 A.48(1-x)2=36 B.48(1+x)2=36 C.36(1-x)2=48 D.36(1+x)2=48 9.(2016石家莊十八縣重點中學(xué)一模)為落實“兩免一補”政策,某市2014年投入教育經(jīng)費2 500萬元,預(yù)計2016年要投入教育經(jīng)費3 600萬元.已知2014年至2016年的教育經(jīng)費投入以相同的百分率逐年增長,則2015年該市要投入的教育經(jīng)費為__3__000__萬元. 10.(2017河北中考)某廠按用戶的月需求量x(件)完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn),其中x>0.每件的售價為18萬元,每件的成本y(萬元)是基礎(chǔ)價與浮動價的和,其中基礎(chǔ)價保持不變,浮動價與月需求量x(件)成反
8、比.經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),月需求量x與月份n(n為整數(shù),1≤n≤12)符合關(guān)系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k為常數(shù)),且得到了表中的數(shù)據(jù). 月份n(月) 1 2 成本y(萬元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100 (1)求y與x滿足的關(guān)系式,請說明一件產(chǎn)品的利潤能否是12萬元; (2)求k,并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損; (3)在這一年12個月中,若第m個月和第(m+1)個月的利潤相差最大,求m. 解:(1)由題意,設(shè)y=a+, 由表中數(shù)據(jù)得 解得 ∴y=6+, 由題意,若12=18-,則=0, ∵x>0, ∴>0, ∴
9、不可能; (2)將n=1,x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3),得120=2-2k+9k+27, 解得k=13, ∴x=2n2-26n+144, 將n=2,x=100代入x=2n2-26n+144也符合, ∴k=13; 由題意,得18=6+, 解得x=50, ∴50=2n2-26n+144,即n2-13n+47=0, ∵Δ=(-13)2-4×1×47<0, ∴方程無實數(shù)根, ∴不存在; (3)設(shè)第m個月的利潤為W, W=x(18-y)=18x-x =12(x-50) =24(m2-13m+47), ∴第(m+1)個月的利潤為W′=2
10、4[(m+1)2-13(m+1)+47]=24(m2-11m+35), 若W≥W′,W-W′=48(6-m),m取最小值1時,W-W′取得最大值240; 若W<W′,W′-W=48(m-6),由m+1≤12知m取最大值11時,W′-W取得最大值240; ∴m=1或11. ,中考考點清單 一元二次方程的概念 1.只含有__1__個未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是__2__,像這樣的__整式__方程叫一元二次方程.其一般形式是__ax2+
11、bx+c=0(a≠0)__. 【易錯警示】判斷一個方程是一元二次方程的條件:①是整式方程;②二次項系數(shù)不為零;③未知數(shù)的最高次數(shù)是2,且只含有一個未知數(shù). 一元二次方程的解法 2. 直接開 平方法 這種方法適合于左邊是一個完全平方式,而右邊是一個非負數(shù)的一元二次方程,即形如(x+m)2=n(n≥0)的方程. 配方法 配方法一般適用于解二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為偶數(shù)的這類一元二次方程,配方的關(guān)鍵是把方程左邊化為含有未知數(shù)的__完全平方__式,右邊是一個非負常數(shù). 公式法 求根公式為__x=(b2-4ac≥0)__,適用于所有的一元二次方程. 因式分 解法
12、 因式分解法的步驟:(1)將方程右邊化為__0__;(2)將方程左邊分解為一次因式的乘積;(3)令每個因式等于0,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程,它們的解就是一元二次方程的解. 【溫馨提示】關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解法: (1)當(dāng)b=0,c≠0時,x2=-,考慮用直接開平方法解; (2)當(dāng)c=0,b≠0時,用因式分解法解; (3)當(dāng)a=1,b為偶數(shù)時,用配方法解簡便. 一元二次方程根的判別式 3.根的判別式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況可由__b2-4ac__來判定,我們將__b2-4ac__稱為根的判別式.
13、 4.判別式與根的關(guān)系: (1)b2-4ac>0?方程有__兩個不相等__的實數(shù)根; (2)b2-4ac<0?方程沒有實數(shù)根; (3)b2-4ac=0?方程有__兩個相等__的實數(shù)根. 【易錯警示】(1)一元二次方程有實數(shù)根的前提是b2-4ac≥0;(2)當(dāng)a,c異號時,Δ>0. 一元二次方程的應(yīng)用 5.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟: (1)審題;(2)設(shè)未知數(shù);(3)列方程;(4)解方程;(5)檢驗;(6)做結(jié)論. 6.一元二次方程應(yīng)用問題常見的等量關(guān)系: (1)增長率中的等量關(guān)系:增長率=增量÷基礎(chǔ)量; (2)利率中的等量關(guān)系:本息和
14、=本金+利息,利息=本金×利率×時間; (3)利潤中的等量關(guān)系:毛利潤=售出價-進貨價,純利潤=售出價-進貨價-其他費用, 利潤率=利潤÷進貨價. ,中考重難點突破 一元二次方程的解法 【例1】(2016保定十七中二月調(diào)研)解下列方程: (1)(x-2)2=;(2)x2-4x+1=0;(3)x2-3x+1=0;(4)x2=2x. 【解析】(1)可以用直接開平方法解;(2)因為b=-4是偶數(shù),可以用配方法解;(3)因為b=-3是奇數(shù),配方法解較復(fù)雜,可用公式法;(4)直接因式分解. 【
15、答案】解:(1)直接開平方,得x-2=±,即x1=2+,x2=2-; (2)配方,得(x-2)2=3,直接開平方,得x-2=±,即x1=2+,x2=2-; (3)∵a=1,b=-3,c=1,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0,∴x=,即x1=,x2=; (4)分解因式,得x(x-2)=0.即x1=2,x2=0. 1.方程(x-3)(x+1)=0的解是( C ) A.x=3 B.x=-1 C.x1=3,x2=-1 D.x1=-3,x2=1 2.(2016唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0,此方
16、程可變形為( A ) A.(x+2)2=9 B.(x-2)2=9 C.(x+2)2=1 D.(x-2)2=1 3.用公式法解方程: (1)(廣東中考)x2-3x+2=0; 解:x1=1,x2=2; (2)(蘭州中考)x2-1=2(x+1). 解:x1=-1,x2=3. 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系 【例2】(2017包頭中考)若關(guān)于x的不等式x-<1的解集為x<1,則關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情況是( A ) A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根 C.無實數(shù)根 D.無法確定 【解析】解不等式x-<1
17、得x<1+,而不等式x-<1的解集為x<1,所以1+=1,解得a=0,又因為Δ=a2-4=-4,所以關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+1=0沒有實數(shù)根.故選C. 【答案】C 4.(2016唐山豐潤二模)方程x2-x+3=0根的情況是( D ) A.只有一個實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根 C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根 5.(2016保定博野模擬)已知關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則a的取值范圍是( C ) A.a(chǎn)>2 B.a(chǎn)<2 C.a(chǎn)<2且a≠1 D.a(chǎn)<-2 6.(2017咸寧中考)已知a,
18、b,c為常數(shù),點P(a,c)在第二象限,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的根的情況是( B ) A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根 C.沒有實數(shù)根 D.無法判斷 一元二次方程的應(yīng)用 【例3】(2017達州中考)某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本,其中固定成本每年均為4萬元,可變成本逐年增長,已知該養(yǎng)殖戶第1年的可變成本為2.6萬元,設(shè)可變成本平均每年增長的百分率為x. (1)用含x的代數(shù)式表示第3年的可變成本為________萬元; (2)如果該養(yǎng)殖戶第3年的養(yǎng)殖成本為7.146萬元,求可變成本平均每年增長的百分率. 【解析】(1)根據(jù)增長率問題由
19、第1年的可變成本為2.6萬元就可以表示出第二年的可變成本為2.6(1+x)萬元,則第三年的可變成本為2.6(1+x)2萬元;(2)根據(jù)養(yǎng)殖成本=固定成本+可變成本建立方程即可. 【答案】(1)2.6(1+x)2; (2)由題意,得4+2.6(1+x)2=7.146. 解得x1=0.1,x2=-2.1(不合題意,舍去). 答:可變成本平均每年增長的百分率為10%. 【例4】有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有256人患了流感,則每輪傳染中平均一個人傳染( A ) A.17人 B.16人 C.15人 D.10人 【解析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人,則第一輪傳染了x個人;患
20、流感的人把病毒傳染給別人,自己也包括在總數(shù)中,第二輪作為傳染源的是(x+1)人,每人傳染x個人,則傳染x(x+1)人.兩輪后得流感的總?cè)藬?shù)為:一開始的1人+第一輪傳染的x個人+第二輪傳染的x(x+1)人,列方程:1+x+x(1+x)=256,解得x1=15,x2=-17.因為x表示人數(shù),所以x=-17不合題意,應(yīng)舍去;取x=15,故選C. 【答案】C 【例5】商場某種商品平均每天可銷售30件,每件盈利50元.為了盡快減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件商品每降價1元,商場平均每天可多售出2件.設(shè)每件商品降價x元.據(jù)此規(guī)律,正常銷售情況下,每件商品降價多少元時,商場日盈利可
21、達到2 100元? 【解析】設(shè)降價x元,則每件盈利(50-x)元,數(shù)量增多2x件,再由單件利潤×數(shù)量=2 100即可. 【答案】解:設(shè)每件商品降價x元,則商場日銷售量增加2x件,每件商品盈利(50-x)元.由題意,得(50-x)(30+2x)=2 100. 整理,得x2-35x+300=0. 解得x1=15,x2=20. ∵要盡快減少庫存, ∴x=15不合題意,舍去,只取x=20. 答:每件商品降價20元時,商場日盈利可達到2 100元. 【例6】(2017南通中考)如圖,為美化校園環(huán)境,某校計劃在一塊長為60 m,寬為40 m的長方形空地上修建一個長方形花圃,并將花
22、圃四周余下的空地修建成同樣寬的甬道,設(shè)甬道寬為a m. (1)用含a的式子表示花圃的面積; (2)如果甬道所占面積是整個長方形空地面積的,求出此時甬道的寬. 【解析】(1)用含a的式子先表示出花圃的長和寬,再利用矩形面積公式列出式子即可;(2)甬道所占面積等于大長方形空地面積減去中間小花圃的面積,再根據(jù)甬道所占面積是整個長方形空地面積的,列出方程進行計算即可. 【答案】解:(1)(60-2a)(40-2a); (2)由題意,得 60×40-(60-2a)(40-2a)=×60×40, 解得a1=5,a2=45(舍去). 答:此時甬道的寬為5 m
23、. 7.(2017巴中中考)某地2014年外貿(mào)收入為2.5億元,2016年外貿(mào)收入達到了4億元,若平均每年的增長率為x,則可以列出方程為( A ) A.2.5(1+x)2=4 B.(2.5+x%)2=4 C.2.5(1+x)(1+2x)=4 D.2.5(1+x%)2=4 8.公園有一塊正方形的空地,后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花(如圖),原空地一邊減少了1 m,另一邊減少了2 m,剩余空地的面積為18 m2,求原正方形空地的邊長.設(shè)原正方形的空地的邊長為x m,則可列方程為( C ) A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0 C.(x-1)(x-
24、2)=18 D.x2+3x+16=0 9.(2017原創(chuàng))有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感,問每輪傳染中平均一個人傳染__7__個人.如果不及時控制,第三輪又將有__448__人被傳染. 10.為了綠化校園環(huán)境,學(xué)校向某園林公司購買了一批樹苗.園林公司規(guī)定;如果購買樹苗不超過60棵,每棵售價120元;如果購買樹苗超過60棵,每增加1棵,每棵所出售的這批樹苗售價均降低0.5元,但每棵樹苗最低售價不得少于100元.該校最終向園林公司支付樹苗款8 800元,那么該校共購買了多少棵樹苗? 解:設(shè)該校共買了x棵樹苗. 120×60=7 200(元). ∵7 200<8 800, ∴購買樹苗超過60棵; x[120-0.5(x-60)]=8 800, x1=220,x2=80, 當(dāng)x=220時,120-0.5×(220-60)=40<100, ∴x=220舍去.∴x=80. 答:該校共購買了80棵樹苗.
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