河北省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第4章圖形的初步認(rèn)識與三角形四邊形第3節(jié)等腰三角形與直角三角形精講試題

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河北省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第4章圖形的初步認(rèn)識與三角形四邊形第3節(jié)等腰三角形與直角三角形精講試題_第1頁
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1、▼▼▼2019屆數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)資料▼▼▼ 第三節(jié) 等腰三角形與直角三角形 河北五年中考命題規(guī)律 年份 題號 考查點(diǎn) 考查內(nèi)容 分值 總分 2017 25 (1) (2) 直角三角形的性質(zhì) 以動點(diǎn)、平行四邊形為背景,考查勾股定理 8 8 2016 16 等邊三角形的判定 已知特殊角平分線上一定點(diǎn),在角兩邊找兩點(diǎn)與定點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形 2 2 2015 20 等腰三角形的性質(zhì) 以等腰三角形為背景,求角度 3 3 2014年未考查 2013 13 等邊三角形的性質(zhì) 以兩個等邊三角形與正方形結(jié)合為背景,求兩角度之和 3 3 命題規(guī)律 對

2、于本課時內(nèi)容,中考中一般設(shè)置1道題,分值為2~8分,題型涉及選擇和解答題.縱觀近五年河北中考試題,本課時的??碱愋陀校?1)等邊三角形的相關(guān)計(jì)算;(2)直角三角形的相關(guān)計(jì)算;(3)找符合條件的等邊三角形. 河北五年中考真題及模擬                    等腰三角形的性質(zhì)和相關(guān)計(jì)算 1.(2016河北中考)如圖,∠AOB=120,OP平分∠AOB,且OP=2.若點(diǎn)M,N分別在OA,OB上,且△PMN為等邊三角形,則滿足上述條件的△PMN有( D ) A.1個 B.2個 C.3個 D.3個以上 (第1題圖)    (第2題圖) 2.(2013河

3、北中考)一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示,若∠3=50,則∠1+∠2=( B )                    A.90 B.100 C.130 D.180 3.(2016秦皇島二模)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=120,BC=6 cm,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N,交AC于點(diǎn)F,則MN的長為( C ) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm (第3題圖)    (第4題圖)  直角三角形的性質(zhì)、判定及相關(guān)計(jì)算 4.(2017保定中考模擬)已知:如圖,△ABC是等邊三角形

4、,四邊形BDEF是菱形,其中線段DF的長與DB相等.將菱形BDEF繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn). 甲、乙兩位同學(xué)發(fā)現(xiàn)在此旋轉(zhuǎn)過程中,有如下結(jié)論. 甲:線段AF與線段CD的長度總相等; 乙:直線AF和直線CD所夾的銳角的度數(shù)不變; 那么,你認(rèn)為( A ) A.甲、乙都對 B.乙對甲不對 C.甲對乙不對 D.甲、乙都不對 5.(2016廊坊二模)下列四組線段中,可以構(gòu)成直角三角形的是( B ) A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.2,3,4 D.1,,3 6.(2017唐山模擬)如圖,△ABC中,D為AB中點(diǎn),E在AC上,且BE⊥AC.若DE=10,AE=16,則

5、BE的長度為( C ) A.10 B.11 C.12 D.13 (第6題圖)    (第7題圖) 7.(2017石家莊中考模擬)如圖,在△ABC中,∠B=45,∠C=60,且AB=,M是邊BC上的一個動點(diǎn),連接AM,P為AM的中點(diǎn),當(dāng)M點(diǎn)從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中,P點(diǎn)的運(yùn)動路線長( D ) A.1+ B.1- C.+ D. 8.(2016保定育德中學(xué)二模)一直角三角形的兩邊長分別為3和4,則第三邊的長為( D ) A.5 B. C. D.5或 9.(2017石家莊中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠BAC=30,AB=4,點(diǎn)M是直角邊A

6、C上的一個動點(diǎn),連接BM,并將線段BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到線段BN,連接CN.則在點(diǎn)M運(yùn)動過程中,線段CN長度的最大值是__4__,最小值是__2__. ,中考考點(diǎn)清單  等腰三角形的性質(zhì)與判定 1.等腰三角形 定義 有兩邊相等的三角形是等腰三角形,相等的兩邊叫腰,第三邊為底 性質(zhì) (1)等腰三角形兩腰相等(即AB=AC); (2)等腰三角形的兩底角__相等__(即∠B=__∠C__); (3)等腰(不是等邊)三角形是軸對稱圖形,有一條對稱軸; (4)等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高和底邊的中線互相重合; (5)面積:

7、 S△ABC=BCAD 判定 如果一個三角形有兩個角相等,那么這個三角形是等腰三角形,其中,兩個相等的角所對的邊相等(簡稱“__等角對等邊__”) 2.等邊三角形 定義 三邊相等的三角形是等邊三角形 性質(zhì) (1)等邊三角形三邊相等(即AB=BC=AC); (2)等邊三角形三角相等,且每一個角都等于__60__(即∠A=∠B=∠C=__60__); (3)等邊三角形內(nèi)、外心重合; (4)等邊三角形是軸對稱圖形,有三條對稱軸; (5)面積:S△ABC=BCAD 判定 (1)三邊都相等的三角形是等邊三角形; (2)三個角相等的三角形是等邊三角形; (3)有一個角是6

8、0的等腰三角形是等邊三角形  直角三角形的性質(zhì)與判定 3.直角三角形 定義 有一個角等于90的三角形叫做直角三角形 性質(zhì) (1)直角三角形的兩個銳角之和等于__90__; (2)直角三角形斜邊上的__中線__等于斜邊的一半(即BD=AC); (3)直角三角形中__30__角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半(即AB=AC); (4)勾股定理:如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2; (5)在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等于30 判定 (1)有一個角為90的三角形是直角三角形; (2)一條邊的中線等于這條

9、邊的一半的三角形是直角三角形; (3)有兩個角互余的三角形是直角三角形 4.等腰直角三角形 定義 頂角為90的等腰三角形是等腰直角三角形 性質(zhì) 等腰直角三角形的頂角是直角,兩底角為45 判定 (1)用定義判定; (2)有兩個角為45的三角形是等腰直角三角形 ,中考重難點(diǎn)突破                    等腰三角形的相關(guān)計(jì)算 【例1】在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為50,則底角∠B=________. 【解析】由垂直平分線可得∠AED=90,在Rt△ADE中由兩銳角互余可求∠A,在等腰三角形中由兩底角

10、相等,即可求得.在等腰三角形中,只要知道其中一個內(nèi)角的度數(shù),就能算出其他兩個內(nèi)角的度數(shù),如果題中沒有確定這個內(nèi)角是頂角還是底角,必須分成兩種情況來討論.此題的兩種情況如圖所示: 【答案】70或20 1.(2017天津中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線,P是AD上一個動點(diǎn),則下列線段的長度等于BP+EP最小值的是( B ) A.BC B.CE C.AD D.AC (第1題圖)   (第2題圖) 2.(2017濱州中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC上一點(diǎn),且DA=DC,BD=BA,則∠B的大小為( B ) A.40

11、 B.36 C.80 D.25  等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)與判定 【例2】如圖,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn),AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60,若BE=6 cm,DE=2 cm,則BC=________cm. 【解析】如圖,延長AD交BC于點(diǎn)M,由AB=AC,AD是∠BAC的平分線可得AM⊥BC,BM=MC=BC,延長ED交BC于點(diǎn)N,則△BEN是等邊三角形,從而求出DN的長,利用在直角三角形中,30的角所對的直角邊等于斜邊的一半,求出MN的長,進(jìn)而求BM,BC的值. 【答案】8 3.(2017臺州中考)如圖,已知等腰三角形ABC,AB=A

12、C,若以點(diǎn)B為圓心,BC長為半徑畫弧,交腰AC于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一定正確的是( C ) A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE (第3題圖)   (第4題圖) 4.(2017南充中考)如圖,等邊△OAB的邊長為2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為( D ) A.(1,1) B.(,1) C.(,) D.(1,) 5.(2017張家口中考模擬)如圖所示,在△ABC中,∠BAC=106,EF,MN分別是AB,AC的垂直平分線,E,M在BC上,則∠EAM等于( B ) A.58 B.32 C.36 D.34 (第5題圖)   (第6題

13、圖) 6.已知:如圖,在△ABC中,∠BCD=12,∠B=63,AD平分∠BAC,CD⊥AD,則∠ACD=__75__. 【例3】已知:如圖,在△ABC中,AD既是△ABC的中線,又是角平分線,求證:△ABC是等腰三角形. 【解析】由已知條件入手,添加輔助線,構(gòu)造全等三角形,依據(jù)三角形全等的判定之一“邊角邊”證明兩個三角形全等,從而得出結(jié)論. 【答案】證明:延長AD到A′,使A′D=AD,連接A′B. ∵AD是△ABC的中線和角平分線, ∴AD平分∠BAC,BD=CD, ∴∠BAD=∠CAD. 在△ADC和△A′DB中, ∴△ADC≌△A′DB, ∴AC=A

14、′B,∠DAC=∠DA′B. ∵∠DAB=∠DAC, ∴∠DAB=∠DA′B, ∴BA=BA′. ∵AC=A′B, ∴AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形. 7.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB與DC不平行,∠C=90,E為CD中點(diǎn),∠FAE=∠DAE,點(diǎn)F在直線BC上,求∠AEF的度數(shù). 解:延長AE交BC的延長線于點(diǎn)G. ∵AD∥BC, ∴∠D=∠ECG, △DAE=∠G. ∵E為DC中點(diǎn), ∴DE=CE, ∴∠ADE≌△GCE, ∴AE=GE. ∵∠FAE=∠DAE, ∴∠FAE=∠G, ∴FA=FG, ∴∠AEF=90.  直角

15、三角形的性質(zhì)、判定和勾股定理 【例4】如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90,D為BC上任意一點(diǎn),DF⊥AB于點(diǎn)F,DE⊥AC于點(diǎn)E,M為BC的中點(diǎn),連接EM,F(xiàn)M,給出以下五個結(jié)論:①AF=CE;②AE=BF;③△EFM是等腰直角三角形;④S四邊形AEMF=S△ABC;⑤EF=BM=MC.當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動時(點(diǎn)D不與B,C重合),上述結(jié)論中始終正確的有(   ) A.2個 B.3個 C.4個 D.5個 【解析】連接AM,易證AE=DF=BF,AF=DE=CE,△AME≌△BMF,∴ME=MF,∠AME=∠BMF,∴△EMF是等腰直角三角形.S四邊形AEMF=S△AF

16、M+S△AEM=S△AFM+S△BFM=S△ABM=S△ABC,但是EF與BM不一定相等,只有四邊形AFME為矩形時,EF=BM. 【答案】C 8.(株洲中考)如圖,以直角三角形a,b,c為邊,向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形,上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的圖形個數(shù)有( D ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 9.(2017蘇州中考)如圖,在一筆直的沿湖道路l上有A,B兩個游船碼頭,觀光島嶼C在碼頭A北偏東60的方向,在碼頭B北偏西45的方向,AC=4 km.游客小張準(zhǔn)備從觀光島嶼C乘船沿CA回到碼頭A或沿CB回到碼頭B,設(shè)開往碼頭A,B的游船速度分別為v1,v2,若回到A,B所用時間相等,則=____.(結(jié)果保留根號) 10.如圖,在四邊形ABCD中,AB⊥BC,AB=5,BC=12,AD=9,CD=5,求四邊形ABCD的面積. 解:連接AC. ∵AB⊥BC,∴∠B=90, ∴AC===13. ∵在△ACD中, AC2+AD2=132+92=169+81=250, CD2=(5)2=250, ∴AC2+AD2=CD2,∴∠DAC=90, ∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD =BCAB+ADAC =125+913 =.

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