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1、
第48練 不等式綜合練
訓(xùn)練目標(biāo)
鞏固不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，提高不等式在解決函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、向量、幾何等方面的應(yīng)用能力，訓(xùn)練解題步驟的規(guī)范性．
訓(xùn)練題型
(1)求函數(shù)值域、最值；(2)解決與數(shù)列有關(guān)的不等式問題、最值問題；(3)解決恒成立問題、求參數(shù)范圍問題；(4)不等式證明．
解題策略
將問題中的條件進(jìn)行綜合分析、變形轉(zhuǎn)化，形成不等式“模型”，從而利用不等式性質(zhì)或基本不等式解決.
一、選擇題
1．已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，則(?RP)∩Q等于( )
A．[2,3] B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
C．(2
2、,3] D．(－∞，－1]∪(3，＋∞)
2．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足||＝||＝·＝2，由點(diǎn)集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
3．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，則f(x)有( )
A．最大值0 B．最小值0
C．最大值－4 D．最小值－4
4．對于實(shí)數(shù)x，規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范圍是( )
A．(，) B．[2,8]
C．[2,8) D．[2,7)
5
3、．(20xx·濰坊聯(lián)考)已知不等式<0的解集為{x|a<x<b}，點(diǎn)A(a，b)在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，則＋的最小值為( )
A．4 B．8
C．9 D．12
二、填空題
6．(20xx·山西大學(xué)附中檢測)已知函數(shù)f(x)＝|lg x|，a>b>0，f(a)＝f(b)，則的最小值為________．
7．(20xx·寧德質(zhì)檢)設(shè)P是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，向量m＝(1,1)，n＝(2,1)．若＝λm＋μn(λ，μ∈R)，則μ的最大值為________．
8．(20xx·山
4、東)定義運(yùn)算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，當(dāng)x>0，y>0時(shí)，x?y＋(2y)?x的最小值為________．
三、解答題
9．(20xx·福建長樂二中等五校期中聯(lián)考)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)萬元，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C(x)＝x2＋10x(萬元)；當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時(shí)，C(x)＝51x＋－1 450(萬元)．通過市場分析，若每件售價(jià)為500元時(shí)，該廠一年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷售完．
(1)寫出年利潤L(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中
5、所獲利潤最大？
10．(20xx·海口一模)已知函數(shù)f(x)＝x＋＋2(m為實(shí)常數(shù))．
(1)若函數(shù)f(x)圖象上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)設(shè)m<0，若不等式f(x)≤kx在x∈[，1]時(shí)有解，求k的取值范圍．
答案精析
1．C [依題意，得P＝{x|－1≤x≤2}，Q＝{x|1<x≤3}，則(?RP)∩Q＝(2,3]，故選C.]
2．D [由||＝||＝·＝2知〈，〉
6、＝.
設(shè)＝(2,0)，＝(1，)，
＝(x，y)，則
解得
由|λ|＋|μ|≤1得|x－y|＋|2y|≤2.
作出可行域，如圖所示．
則所求面積S＝2××4×＝4.]
3．C [∵x<0，∴f(x)＝－[(－x)＋]－2≤－2－2＝－4，
當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時(shí)取等號．]
4．C [由4[x]2－36[x]＋45<0得<[x]<，又因?yàn)閇x]表示不大于x的最大整數(shù)，所以2≤x<8.故選C.]
5．C [易知不等式<0的解集為(－2，－1)，所以a＝－2，b＝－1,2m＋n＝1，＋＝(2m＋n)(＋)
7、＝5＋＋≥5＋4＝9(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時(shí)取等號)，所以＋的最小值為9.]
6．2
解析 由函數(shù)f(x)＝|lg x|，a>b>0，
f(a)＝f(b)，可知a>1>b>0，所以lg a＝－lg b，b＝，a－b＝a－>0，則＝
＝a－＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a－＝，即a＝時(shí)，等號成立)．
7．3
解析 設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)椋溅薽＋μn，
所以
解得μ＝x－y.題中不等式組表示的可行域是如圖所示的陰影部分，
由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)μ＝x－y過點(diǎn)G(3,0)時(shí)，μ取得最大值3－0＝3.
8.
解析 由題意，得x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝
8、，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號．
9．解 (1)當(dāng)0<x<80，x∈N*時(shí)，
L(x)＝－x2－10x－250＝－x2＋40x－250；
當(dāng)x≥80，x∈N*時(shí)，
L(x)＝－51x－＋1 450－250＝1 200－(x＋)，
∴L(x)＝
(2)當(dāng)0<x<80，x∈N*時(shí)，L(x)＝－(x－60)2＋950，
∴當(dāng)x＝60時(shí)，L(x)取得最大值L(60)＝950.
當(dāng)x≥80，x∈N*時(shí)，
L(x)＝1 200－(x＋)
≤1 200－2
＝1 200－200＝1 000，
∴當(dāng)x＝，即x＝100時(shí)，L(x)取得最大值L(100)＝1 000
9、>950.
綜上所述，當(dāng)x＝100時(shí)，L(x)取得最大值1 000，
即年產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大．
10．解 (1)設(shè)P(x，y)，則y＝x＋＋2，
PQ2＝x2＋(y－2)2＝x2＋(x＋)2
＝2x2＋＋2m≥2|m|＋2m＝2，
當(dāng)m>0時(shí)，解得m＝－1；
當(dāng)m<0時(shí)，解得m＝－－1.
所以m＝－1或m＝－－1.
(2)由題意知，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，
則f(x2)－f(x1)＝x2＋＋2－(x1＋＋2)＝(x2－x1)·>0.
因?yàn)閤2－x1>0，x1x2>0
10、，
所以x1x2－m>0，即m<x1x2.
由x2>x1≥2，得x1x2>4，所以m≤4.
所以m的取值范圍是(－∞，4]．
(3)由f(x)≤kx，得x＋＋2≤kx.
因?yàn)閤∈[，1]，所以k≥＋＋1.
令t＝，則t∈[1,2]，
所以k≥mt2＋2t＋1.
令g(t)＝mt2＋2t＋1，t∈[1,2]，
于是，要使原不等式在x∈[，1]時(shí)有解，當(dāng)且僅當(dāng)k≥[g(t)]min(t∈[1,2])．
因?yàn)閙<0，
所以g(t)＝m(t＋)2＋1－的圖象開口向下，
對稱軸為直線t＝－>0.
因?yàn)閠∈[1,2]，所以當(dāng)0<－≤，
即m≤－時(shí)，g(t)min＝g(2)＝4m＋5；
當(dāng)－>，即－<m<0時(shí)，
g(t)min＝g(1)＝m＋3.
綜上，當(dāng)m≤－時(shí)，k∈[4m＋5，＋∞)；
當(dāng)－<m<0時(shí)，k∈[m＋3，＋∞)．
高三數(shù)學(xué)第48練 不等式綜合練
