高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科: 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第7節(jié) 離散型隨機變量及其分布列學案 理 北師大版

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1、 第七節(jié) 離散型隨機變量及其分布列 [考綱傳真] (教師用書獨具)1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導出過程,并能進行簡單的應用. (對應學生用書第183頁) [基礎知識填充] 1.隨機變量的有關概念 (1)將隨機現(xiàn)象中試驗(或觀測)的每一個可能的結(jié)果都對應于一個數(shù),這種對應稱為一個隨機變量. (2)離散型隨機變量:隨機變量的取值能夠一一列舉出來,這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量. 2.離散型隨機變量分布列的概念及性質(zhì) (1)概念:若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,

2、xn,X取每一個值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表稱為離散型隨機變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列.有時也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列. (2)分布列的性質(zhì) ①pi≥0,i=1,2,3,…,n; ②pi=1. 3.超幾何分布 一般地,設有N件產(chǎn)品,其中有M(M≤N)件次品.從中任取n(n∈N)件產(chǎn)品,用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù),那么P(X=k)=(其中k為非負整數(shù)). 如果一個隨機變量的分布

3、列由上式確定,則稱X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)離散型隨機變量的分布列中,各個概率之和可以小于1.(  ) (2)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.(  ) (3)如果隨機變量X的分布列由下表給出,則它服從兩點分布.(  ) X 2 5 P 0.3 0.7 (4)從4名男演員和3名女演員中選出4人,其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(  ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.袋中有3個白球,5個黑

4、球,從中任取2個,可以作為隨機變量的是(  ) A.至少取到1個白球  B.至多取到1個白球 C.取到白球的個數(shù) D.取到的球的個數(shù) C [選項A、B是隨機事件,選項D是確定的值,為2,并不隨機;選項C是隨機變量,可能取值為0,1,2.] 3.(教材改編)設隨機變量X的分布列如下表所示,則p4的值是(  ) X 1 2 3 4 P p4 A.1 B. C. D. D [由分布列的性質(zhì),得+++p4=1,所以p4=.] 4.設隨機變量X等可能取值1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.3,那么n=________. 10 [由于隨機變量X等可能取1,

5、2,3,…,n,∴取到每個數(shù)的概率均為,∴P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3,∴n=10.] 5.在含有3件次品的10件產(chǎn)品中任取4件,則取到次品數(shù)X的分布列為________. P(X=k)=,k=0,1,2,3 [由題意知,X服從超幾何分布,其中N=10,M=3,n=4,所以分布列為P(X=k)=,k=0,1,2,3.] (對應學生用書第184頁) 離散型隨機變量分布列的性質(zhì)  設離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求:(1)2X+1的分布列; (2)

6、|X-1|的分布列. [解] 由分布列的性質(zhì)知: 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,所以m=0.3. 首先列表為 X 0 1 2 3 4 2X+1 1 3 5 7 9 |X-1| 1 0 1 2 3 從而由上表得兩個分布列為 (1)2X+1的分布列 2X+1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X-1|的分布列 |X-1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 [規(guī)律方法] 離散型隨機變量分布列性質(zhì)的應用 (1)利用分布列中各事件概率之和為1可

7、求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性. (2)隨機變量X所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的,利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率. (3)若X是隨機變量,則η=2X+1、η=|X-1|仍然是隨機變量,求它的分布列可先求出相應隨機變量的值,再根據(jù)互斥事件概率加法求對應的事件概率,進而寫出分布列. [跟蹤訓練] 隨機變量X的分布列如下: X -1 0 1 P a b c 其中a,b,c成等差數(shù)列,則P(|X|=1)=________.  [由題意知 所以2b+b=1,則b=,因此a+c=. 所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=.] 離

8、散型隨機變量分布列的求法  (20xx·山東高考節(jié)選)在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列. [解] (1)記接受甲種心理

9、暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M, 則P(M)==. (2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則 P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, P(X=4)==. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P [規(guī)律方法] 求離散型隨機變量X的分布列的步驟: (1)找出隨機變量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n); (2)求出各個取值的概率P(X=xi)=pi; (3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確. 易錯警示:1.求離散型隨機變量的分布列的

10、關鍵是求隨機變量所有取值對應的概率,在求解時,要注意計數(shù)原理、古典概型等知識的應用. 2.離散型隨機變量ξ要找全找對,并理解ξ取每一個值的含義. 3.在求離散型隨機變量ξ對應概率時,先求簡單易求的復雜的最后用間接法. [跟蹤訓練] (20xx·青島質(zhì)檢節(jié)選)某科技博覽會展出的智能機器人有A,B,C,D四種型號,每種型號至少有4臺.要求每位購買者只能購買1臺某種型號的機器人,且購買其中任意一種型號的機器人是等可能的.現(xiàn)在有4個人要購買機器人. (1)在會場展覽臺上,展出方已放好了A,B,C,D四種型號的機器人各一臺,現(xiàn)把他們排成一排表演節(jié)目,求A型與B型相鄰且C型與D型不相鄰的

11、概率; (2)設這4個人購買的機器人的型號種數(shù)為ξ,求ξ的分布列. [解] (1)4臺機器人排成一排的情況有A種, A型與B型相鄰且C型與D型不相鄰的情況有AA, 故所求的概率為P==. (2)由題意知ξ的所有可能取值為1,2,3,4, P(ξ=1)==, P(ξ=2)==, P(ξ=3)==, P(ξ=4)==, 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 P 超幾何分布  為推動乒乓球運動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動

12、員中隨機選擇4人參加比賽. (1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機變量X的分布列. 【導學號:79140367】 [解] (1)由已知,有P(A)==. 所以,事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X=k)=(k=1,2,3,4). 則P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==,P(X=4)==. 所以隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P [規(guī)律方法] 1.超幾何分布描述的是不

13、放回抽樣問題,超幾何分布的特征: (1)考察對象分兩類; (2)已知各類對象中個體的個數(shù); (3)從中抽取若干個個體,考察抽取到的某類個體個數(shù)X的概率分布. 2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質(zhì)是古典概型. [跟蹤訓練] (20xx·天津十二區(qū)縣聯(lián)考節(jié)選(一))某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測,每件一等品都能通過檢測,每件二等品通過檢測的概率為.現(xiàn)有10件產(chǎn)品,其中6件是一等品,4件是二等品. (1)隨機選取3件產(chǎn)品,設至少有一件通過檢測為事件A,求事件A的概率; (2)隨機選取3件產(chǎn)品,其中一等品的件數(shù)記為X,求X的分布列. 【導學號:79140368】 [解] (1)P(A)=1-·=, 所以隨機選取3件產(chǎn)品,至少有一件通過檢測的概率為. (2)由題可知X可能取值為0,1,2,3. P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==. 則隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P

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