高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第5章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和學(xué)案 理 北師大版

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1、 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和 [考綱傳真] (教師用書獨具)1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. (對應(yīng)學(xué)生用書第84頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)(不為零),那么這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列.這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示,定義的表達式為=q(n∈N+,q為非零常數(shù)). (2)等比中項:如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使得a,

2、G,b成等比數(shù)列,那么根據(jù)等比數(shù)列的定義,=,G2=ab,G=,那么G叫作a與b的等比中項.即:G是a與b的等比中項?a,G,b成等比數(shù)列?G2=ab. 2.等比數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項公式:an=a1qn-1. (2)前n項和公式: Sn= 3.等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣:an=amqn-m(n,m∈N+). (2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N+),則aman=apaq=a; (3)若數(shù)列{an},{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan},,{a},{anbn},(λ≠0)仍然是等比數(shù)列; (4)在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項也

3、構(gòu)成一個等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列,公比為qk. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)滿足an+1=qan(n∈N+,q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(  ) (2)G為a,b的等比中項?G2=ab.(  ) (3)若{an}為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列.(  ) (4)數(shù)列{an}的通項公式是an=an,則其前n項和為Sn=.(  ) [答案] (1) (2) (3) (4) 2.已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則公比q=(  )

4、 A.-   B.-2    C.2    D. D [由通項公式及已知得a1q=2①,a1q4=,② 由②①得q3=,解得q=.故選D.] 3.(20xx北京高考)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則=________. 1 [設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q, 則由a4=a1+3d,得d===3, 由b4=b1q3得q3===-8,∴q=-2. ∴===1.] 4.(教材改編)在9與243中間插入兩個數(shù),使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列,則這兩個數(shù)為__________. 27,81 [設(shè)該數(shù)列的公比為q,由

5、題意知, 243=9q3,q3=27,∴q=3. ∴插入的兩個數(shù)分別為93=27,273=81.] 5.(20xx全國卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項和.若Sn=126,則n=__________. 6 [∵a1=2,an+1=2an, ∴數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列. 又∵Sn=126,∴=126,解得n=6.] (對應(yīng)學(xué)生用書第85頁) 等比數(shù)列的基本運算  (1)在等比數(shù)列{an}中,a3=7,前3項和S3=21,則公比q的值為(  ) A.1      B.- C.1或- D.-1或 (2)

6、已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項和等于__________. (1)C (2)2n-1 [(1)根據(jù)已知條件得 ②①得=3. 整理得2q2-q-1=0, 解得q=1或q=-. (2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則有 解得或 又{an}為遞增數(shù)列,∴∴Sn==2n-1.] [規(guī)律方法] 解決等比數(shù)列有關(guān)問題的兩種常用思想 (1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解. (2)分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,當(dāng)

7、q=1時,{an}的前n項和Sn=na1;當(dāng)q≠1時,{an}的前n項和Sn==. [跟蹤訓(xùn)練] (1)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈(  ) A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞 (2)(20xx廣州綜合測試(二))在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a+4a=4a,則數(shù)列{an}的通項公式an=________. 【導(dǎo)學(xué)號:79140176】 (3)(20xx洛陽統(tǒng)考)設(shè)等比數(shù)列{an}

8、的前n項和為Sn,若a1+8a4=0,則=(  ) A.- B. C. D. (1)B (2)2 (3)C [(1)設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1,七層塔的總燈數(shù)為S7,公比為q,則由題意知S7=381,q=2, 所以S7===381,解得a1=3. 故選B. (2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由a+4a=4a,an>0,得(anq2)2+4a=4(anq)2,整理得q4-4q2+4=0,解得q=或q=-(舍去),所以an=22=2. (3)在等比數(shù)列{an}中,因為a1+8a4=0,所以q=-,所以====.] 等比數(shù)列的判定與證明  (20xx全國卷Ⅲ)已知數(shù)

9、列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式; (2)若S5=,求λ. [解] (1)證明:由題意得a1=S1=1+λa1, 故λ≠1,a1=,故a1≠0. 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan, 即an+1(λ-1)=λan. 由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=. 因此{an}是首項為,公比為的等比數(shù)列, 于是an=. (2)由(1)得Sn=1-. 由S5=得1-=,即=. 解得λ=-1. [規(guī)律方法] 等比數(shù)列的三種常用判定方法 (1)定義法:若=q(q為非零常數(shù),n∈N

10、+),則{an}是等比數(shù)列. (2)等比中項法:若數(shù)列{an}中,an≠0,且a=anan+2(n∈N+),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (3)通項公式法:若數(shù)列通項公式可寫成an=cqn(c,q均是不為0的常數(shù),n∈N+),則{an}是等比數(shù)列. 易錯警示:(1)前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法,后者常用于選擇題、填空題中的判定. (2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可. [跟蹤訓(xùn)練] 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)設(shè)bn=an+1-2an,證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通

11、項公式. [解] (1)證明:由a1=1及Sn+1=4an+2, 有a1+a2=S2=4a1+2. ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3. 又 ①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2), ∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2). ∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2), 故{bn}是首項b1=3,公比為2的等比數(shù)列. (2)由(1)知bn=an+1-2an=32n-1, ∴-=, 故是首項為,公差為的等差數(shù)列. ∴=+(n-1)=, 故an=(3n-1)2n-2. 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用  (1)已知各項不為0的等差

12、數(shù)列{an}滿足a6-a+a8=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b2b8b11=(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)已知{an}為各項都是正數(shù)的等比數(shù)列,Sn為其前n項和,且S10=10,S30=70,那么S40=(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:79140177】 A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-50 (1)D (2)A [(1)由等差數(shù)列的性質(zhì),得a6+a8=2a7.由a6-a+a8=0,可得a7=2,所以b7=a7=2.由等比數(shù)列的性質(zhì)得b2b8b11=b2b7b12=b=23=8. (2)依題意,S10,S20-S10,S30-S

13、20,S40-S30成等比數(shù)列,因此(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30.又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,所以S40-S30=S10=80,S40=S30+(S40-S30)=70+80=150.] [規(guī)律方法] 1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若m+n=p+q,則aman=apaq”,可以減少運算量,提高解題速度. 2.等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類:一是通項公式的變形;二是等比中項的變形,三是前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件,認(rèn)真分析,發(fā)現(xiàn)

14、具體的變化特征即可找出解決問題的突破口. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx??谡{(diào)研)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若amam+2=2am+1(m∈N+),數(shù)列{an}的前n項積為Tn,且T2m+1=128,則m的值為(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)(20xx合肥二檢)等比數(shù)列{an}滿足an>0,且a2a8=4,則log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=________. (1)A (2)9 [(1)因為amam+2=2am+1,所以a=2am+1,即am+1=2,即{an}為常數(shù)列.又T2m+1=(am+1)2m+1,由22m+1=128,得m=3,故選A. (2)由題意可得a2a8=a=4,a5>0,所以a5=2,則原式=log2(a1a2……a9)=9log2a5=9.]

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