高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第11節(jié) 第1課時(shí) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案 理 北師大版

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高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第11節(jié) 第1課時(shí) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案 理 北師大版_第1頁
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1、 第十一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 [考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次);2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件;會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次);會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次);3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值,并會(huì)解決與之有關(guān)的方程(不等式)問題;4.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡單的實(shí)際問題. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第34頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則:

2、 (1)如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是增加的; (2)如果f′(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是減少的; (3)如果f′(x)=0,那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù). 2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) (1)極值點(diǎn)與極值 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及附近有定義,且在x0兩側(cè)的單調(diào)性相反或?qū)?shù)值異號(hào),則x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),f(x0)為函數(shù)的極值. (2)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn) ①若先增后減(導(dǎo)數(shù)值先正后負(fù)),則x0為極大值點(diǎn); ②若先減后增(導(dǎo)數(shù)值先負(fù)后正),則x0為極小值點(diǎn). (3)可求導(dǎo)函數(shù)極值的步驟: ①求f′(x); ②解方程f′

3、(x)=0; ③檢查f′(x)在方程f′(x)=0的解x0的左右兩側(cè)的符號(hào).如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.如果f′(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)相同,則x0不是極值點(diǎn). 3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) (1)函數(shù)f(x)在[a,b]上有最值的條件 如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖像是連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值. (2)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟如下: ①求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; ②將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中

4、最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值. [知識(shí)拓展] 1.在某區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件. 2.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是:對(duì)任意x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零. 3.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),f′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x=x0處有極值的必要不充分條件. [基本能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”) (1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增,那么在區(qū)間(a,b)上

5、一定有f′(x)>0.(  ) (2)如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0,則函數(shù)f(x)在此區(qū)間上沒有單調(diào)性.(  ) (3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.(  ) (4)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x),f′(x0)=0是x0為極值點(diǎn)的充要條件.(  ) (5)函數(shù)的最大值不一定是極大值,函數(shù)的最小值也不一定是極小值.(  ) (6)若實(shí)際問題中函數(shù)定義域是開區(qū)間,則不存在最優(yōu)解.(  ) [答案] (1) (2)√ (3)√ (4) (5)√ (6) 2.(教材改編)f(x)=x3-6x2的單調(diào)遞減區(qū)間為(  ) A.(0,4)       B.(0,2) C.(4,+∞) D.(

6、-∞,0) A [f′(x)=3x2-12x=3x(x-4),由f′(x)<0,得0<x<4, 所以單調(diào)遞減區(qū)間為(0,4).] 3.如圖2111所示是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像,則下列判斷中正確的是(  ) 圖2111 A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,0)上是減函數(shù) B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù) C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù) D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,4)上是增函數(shù) A [當(dāng)x∈(-3,0)時(shí),f′(x)<0,則f(x)在(-3,0)上是減函數(shù).其他判斷均不正確.] 4.函數(shù)y=2x3-2x2在區(qū)間[-1,2]上的最大值是____

7、____. 8 [y′=6x2-4x,令y′=0, 得x=0或x=. ∵f(-1)=-4,f(0)=0,f=-, f(2)=8,∴最大值為8.] 5.函數(shù)f(x)=x-aln x(a>0)的極小值為________. a-aln a [f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), 易知f′(x)=1-. 由f′(x)=0,解得x=a(a>0). 又當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0, 所以函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-aln a.] 第1課時(shí) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第35頁) 利用用導(dǎo)數(shù)

8、法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性  (20xx全國卷Ⅰ節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.討論f(x)的單調(diào)性. [解] 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞), f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). ①若a=0,則f(x)=e2x在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增. ②若a>0,則由f′(x)=0得x=ln a. 當(dāng)x∈(-∞,ln a)時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x∈(ln a,+∞)時(shí),f′(x)>0. 故f(x)在(-∞,ln a)上單調(diào)遞減, 在(ln a,+∞)上單調(diào)遞增. ③若a<0,則由f′(x)=0得x=ln. 當(dāng)x∈時(shí),f′(x

9、)<0; 當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0. 故f(x)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增. [規(guī)律方法] 用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟 一求:求f′(x); 二定:確定f′(x)在(a,b)內(nèi)的符號(hào); 三結(jié)論:作出結(jié)論:f′(x)>0時(shí)為增函數(shù);f′(x)<0時(shí)為減函數(shù). 易錯(cuò)警示:研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí),需注意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論. (1)討論分以下四個(gè)方面 ①二次項(xiàng)系數(shù)討論,②根的有無討論,③根的大小討論,④根在不在定義域內(nèi)討論. (2)討論時(shí)要根據(jù)上面四種情況,找準(zhǔn)參數(shù)討論的分點(diǎn). (3)討論完必須寫綜述. [跟蹤訓(xùn)練] (20

10、xx四川高考節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-ln x,g(x)=-,其中a∈R,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)證明:當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0. [解] (1)由題意得f′(x)=2ax-=(x>0). 當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減. 當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0有x=, 當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增. (2)證明:令s(x)=ex-1-x,則s′(x)=ex-1-1. 當(dāng)x>1時(shí),s′(x)>0,又s(1)=0,有s(x)>0, 所以ex-

11、1>x, 從而g(x)=->0. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間  設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140076】 [解] (1)因?yàn)閒(x)=xea-x+bx, 所以f′(x)=(1-x)ea-x+b. 依題設(shè),即 解得 (2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f′(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f′(x)與1-x+ex-1同號(hào). 令g(x)=1-x+ex-1,則g′(x)=-1+ex-1

12、. 所以,當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增. 故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上的最小值, 從而g(x)>0,x∈(-∞,+∞). 綜上可知,f′(x)>0,x∈(-∞,+∞),故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞). [規(guī)律方法] 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 (1)確定函數(shù)f(x)的定義域. (2)求f′(x). (3)在定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0,得單調(diào)遞增區(qū)間. (4)在定義域內(nèi)解不等式f′(x)<0,得單調(diào)遞減區(qū)間. 易錯(cuò)警示

13、:解不等式f′(x)>0(<0)時(shí)不加“=”號(hào). [跟蹤訓(xùn)練] (20xx合肥第二次質(zhì)檢節(jié)選)已知f(x)=ln(x+m)-mx.求f(x)的單調(diào)區(qū)間. [解] 由已知可得函數(shù)定義域?yàn)?-m,+∞). ∵f(x)=ln(x+m)-mx,∴f′(x)=-m. 當(dāng)m≤0時(shí),f′(x)=-m>0, 即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-m,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間; 當(dāng)m>0時(shí),f′(x)=-m=, 由f′(x)=0,得x=-m∈(-m,+∞), 當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0, 當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0, ∴當(dāng)m>0時(shí),易知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為. 已知函數(shù)單調(diào)性求

14、參數(shù)的取值范圍  已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a≠0). (1)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍; (2)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍. [解] (1)h(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞), 所以h′(x)=-ax-2,由于h(x)在(0,+∞)上存在單調(diào)遞減區(qū)間, 所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),-ax-2<0有解, 即a>-有解. 設(shè)G(x)=-,所以只要a>G(x)min即可. 而G(x)=-1,所以G(x)min=-1. 所以a>-1,即a的取值范圍為(

15、-1,+∞). (2)由h(x)在[1,4]上單調(diào)遞減得, 當(dāng)x∈[1,4]時(shí),h′(x)=-ax-2≤0恒成立, 即a≥-恒成立. 所以a≥G(x)max,而G(x)=2-1, 因?yàn)閤∈[1,4],所以∈, 所以G(x)max=-(此時(shí)x=4), 所以a≥-,即a的取值范圍是. 1.本例(2)中,若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上單調(diào)遞增,求a的取值范圍. [解] 由h(x)在[1,4]上單調(diào)遞增得, 當(dāng)x∈[1,4]時(shí),h′(x)≥0恒成立, ∴當(dāng)x∈[1,4]時(shí),a≤-恒成立, 又當(dāng)x∈[1,4]時(shí),min=-1(此時(shí)x=1), ∴a≤-1,即

16、a的取值范圍是(-∞,-1]. 2.本例(2)中,若h(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍. [解] h(x)在[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間, 則h′(x)<0在[1,4]上有解, ∴當(dāng)x∈[1,4]時(shí),a>-有解, 又當(dāng)x∈[1,4]時(shí),min=-1, ∴a>-1,即a的取值范圍是(-1,+∞). [規(guī)律方法] 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般方法 (1)利用集合間的包含關(guān)系處理:y=f(x)在(a,b)上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集. (2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題,即“若函數(shù)單調(diào)遞增,則f′(x)≥0;若函數(shù)單調(diào)遞減,則f′(x)≤0”來求解.

17、 易錯(cuò)警示:f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0,且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略,否則漏解. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx四川樂山一中期末)f(x)=x2-aln x在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(  ) A.a(chǎn)<1 B.a(chǎn)≤1 C.a(chǎn)<2 D.a(chǎn)≤2 (2)函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-5在區(qū)間[-1,2]上不單調(diào),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140077】 A.(-∞,-3] B.(-3,1) C.[1,+∞) D.(-∞,-3]∪[1,+∞) (1)

18、D (2)B (1)由f(x)=x2-aln x,得f′(x)=2x-,∵f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增, ∴2x-≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤2x2在(1,+∞)上恒成立, ∵x∈(1,+∞)時(shí),2x2>2,∴a≤2.故選D. (2)因?yàn)閒(x)=x3-x2+ax-5, 所以f′(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1, 如果函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-5在區(qū)間[-1,2]上單調(diào),那么a-1≥0或解得a≥1或a≤-3,于是滿足條件的a∈(-3,1). 函數(shù)不單調(diào)問題求參數(shù)的取值范圍  f(x)=x3-3ax2+3x+1在(2,3)上不單調(diào),求a的取值

19、范圍. [解] f′(x)=3x2-6ax+3,∵f(x)在(2,3)上不單調(diào). ∴3x2-6ax+3=0在(2,3)上有解. ∴a=+,當(dāng)2<x<3時(shí),<a<. [規(guī)律方法] f(x)在(a,b)上不單調(diào)?f(x)在(a,b)上有極值?f′(x)=0在(a,b)上有解且無重根. [跟蹤訓(xùn)練] f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b在(-1,1)上不單調(diào),求a的取值范圍. [解] f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=(3x+a+2)(x-a), ∵f(x)在(-1,1)上不單調(diào),∴f′(x)=0在(-1,1)上有解. ∴a=-3x-2或a=x,有-1<x<1得-5<a<1, 又Δ=4(1-a)2+12a(a+2)=(2a+1)2>0,∴a≠-, ∴a的取值范圍為-5<a<-或-<a<1.

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