高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理學(xué)案 文 北師大版

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1、 第六節(jié) 正弦定理和余弦定理 [考綱傳真] 掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第50頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ===2R.(R為△ABC外接圓半徑) a2=b2+c2-2bccos_A; b2=c2+a2-2cacos_B; c2=a2+b2-2abcos_C 公式 變形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (3)sin A=,sin B=,sin C= cos

2、 A=; cos B=; cos C= 2. 在△ABC中,已知a、b和A時(shí),解的情況如下: A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 3. 三角形常用面積公式 (1)S=aha(ha表示邊a上的高); (2)S=absin C=acsin B=bcsin A. (3)S=r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑). [知識(shí)拓展] 1.三角形內(nèi)角和定理 在△ABC中,A+B+C=π; 變形:=-. 2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系 (1)

3、sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; (2)sin=cos ;(4)cos=sin . 3.在△ABC中,sin A>sin B?A>B?a>b cosA>cos B?A<B?a<b [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”) (1)在△ABC中,若A>B,則必有sin A>sin B.(  ) (2)在△ABC中,若b2+c2>a2,則△ABC為銳角三角形.(  ) (3)在△ABC中,若A=60,a=4,b=4,則B=45或135.(  ) (4)在△ABC中,=.(  ) [解析

4、] (1)正確.A>B?a>b?sin A>sin B. (2)錯(cuò)誤.由cos A=>0知,A為銳角,但△ABC不一定是銳角三角形. (3)錯(cuò)誤.由b<a知,B<A. (4)正確.利用a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可知結(jié)論正確. [答案] (1)√ (2) (3) (4)√ 2.(教材改編)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC的形狀是(  ) A.銳角三角形   B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定 C [由正弦定理,得=sin A,=sin B,=sin C,代入得到a2+b2<c2,由余弦定理得c

5、os C=<0,所以C為鈍角,所以該三角形為鈍角三角形.] 3.(20xx全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,則b=(  ) A.      B. C.2      D.3 D [由余弦定理得5=b2+4-2b2, 解得b=3或b=-(舍去),故選D.] 4.(20xx全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C.已知C=60,b=,c=3,則A=________. 75 [如圖,由正弦定理,得=,∴sin B=. 又c>b,∴B=45, ∴A=180-60-45=75.] 5.在△AB

6、C中,A=60,AC=4,BC=2,則△ABC的面積等于________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090109】 2 [由題意及余弦定理得cos A===,解得c=2,所以S=bcsin A=42sin 60=2.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第51頁) 利用正、余弦定理解三角形  (1)(20xx全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,則C=(  ) A.      B. C. D. (2)在△ABC中,∠BAC=,AB=6,AC=3,點(diǎn)D在BC邊上,AD=BD,求AD的長. B [(

7、1)因?yàn)閍=2,c=, 所以由正弦定理可知,=, 故sin A=sin C. 又B=π-(A+C), 故sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C =sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C =(sin A+cos A)sin C =0. 又C為△ABC的內(nèi)角, 故sin C≠0, 則sin A+cos A=0,即tan A=-1. 又A∈(0,π),所以A=. 從而sin C=sin A==. 由A=知C為銳角,故C=.

8、 故選B. (2)設(shè)△ABC的內(nèi)角∠BAC,B,C所對(duì)邊的長分別是a,b,c, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC =(3)2+62-236cos =18+36-(-36)=90, 所以a=3. 又由正弦定理得sin B===, 由題設(shè)知0<B<, 所以cos B===. 在△ABD中,因?yàn)锳D=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B, 故由正弦定理得 AD====.] [規(guī)律方法] 1.正弦定理是一個(gè)連比等式,只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過約分達(dá)到解決問題的目的. 2.(1)運(yùn)用余弦定理時(shí),要

9、注意整體思想的運(yùn)用. (2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角,求該三角形的其它邊角的問題時(shí),首先必須判斷是否有解,如果有解,是一解還是兩解,注意“大邊對(duì)大角”在判定中的應(yīng)用. [變式訓(xùn)練1] (1)(20xx鄭州模擬)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊, 且(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A,則角B的大小為(  ) A.30     B.45     C.60     D.120 (2)(20xx全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=________. (1)A (2

10、) [(1)由正弦定理==及(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A得(b-c)(b+c)=(a-c)a,即b2-c2=a2-ac,∴a2+c2-b2=aC.又∵cos B=,∴cos B=,∴B=30. (2)在△ABC中,∵cos A=,cos C=, ∴sin A=,sin C=,∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=. 又∵=,∴b===.] 判斷三角形的形狀  (1)(20xx東北三省四市二聯(lián))在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,滿足acos A=bcos B,則△ABC的形狀為(  )

11、 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090110】 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 (2)(20xx廣州模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且b2+c2=a2+bc,若sin Bsin C=sin2A,則△ABC的形狀是(  ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形 (1)D (2)C [(1)因?yàn)閍cos A=bcos B,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以△ABC為等腰三角

12、形或直角三角形,故選D. (2)由b2+c2=a2+bc得cos A===. ∵A∈(0,π),∴A=. 由sin Bsin C=sin2A得bc=a2,代入b2+c2=a2+bc得(b-c)2=0,即b=c,從而△ABC是等邊三角形.] [規(guī)律方法] 1.判定三角形形狀的途徑:(1)化邊為角,通過三角變換找出角之間的關(guān)系.(2)化角為邊,通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系,正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁. 2.無論使用哪種方法,都不要隨意約掉公因式;要移項(xiàng)提取公因式,否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能. [變式訓(xùn)練2] 設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若2sin Ac

13、os B=sin C,那么△ABC一定是(  ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形 B [法一:由已知得2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,即sin(A-B)=0,因?yàn)椋校糀-B<π,所以A=B. 法二:由正弦定理得2acos B=c,再由余弦定理得2a=c?a2=b2?a=B.] 與三角形面積有關(guān)的問題  (20xx全國卷Ⅰ)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,sin2B=2sin Asin C. (1)若a=b,求cos B; (2)設(shè)B=90,且

14、a=,求△ABC的面積. [解] (1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2aC. 2分 又a=b,可得b=2c,a=2C. 由余弦定理可得cos B==. 5分 (2)由(1)知b2=2aC. 7分 因?yàn)锽=90,由勾股定理得a2+c2=b2, 故a2+c2=2ac,進(jìn)而可得c=a=. 9分 所以△ABC的面積為=1. 12分 [規(guī)律方法] 三角形面積公式的應(yīng)用方法: (1)對(duì)于面積公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式. (2)與面積有關(guān)的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化. [變式

15、訓(xùn)練3] (20xx全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=C. (1)求C; (2)若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長. [解] (1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 即2cos Csin(A+B)=sin C, 3分 故2sin Ccos C=sin C. 可得cos C=,所以C=. 5分 (2)由已知得absin C=. 又C=,所以ab=6. 9分 由已知及余弦定理得a2+b2-2abcos C=7, 故a2+b2=13,從而(a+b)2=25. 所以△ABC的周長為5+. 12分

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