《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第8節(jié) 解三角形實(shí)際應(yīng)用舉例學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第8節(jié) 解三角形實(shí)際應(yīng)用舉例學(xué)案 理 北師大版(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第八節(jié) 解三角形實(shí)際應(yīng)用舉例
[考綱傳真] (教師用書(shū)獨(dú)具)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第64頁(yè))
[基礎(chǔ)知識(shí)填充]
1.仰角和俯角
在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角.(如圖381(1)).
(1) (2)
圖381
2.方位角和方向角
(1)方位角:從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點(diǎn)的方位角為α(如圖381(2)).
2、
(2)方向角:相對(duì)于某正方向的水平角,如南偏東30°等.
3.坡度
坡面與水平面所成二面角的正切值.
[基本能力自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系為α+β=180°.( )
(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角,其范圍為.( )
(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系.( )
(4)方位角大小的范圍是[0,2π),方向角大小的范圍一般是.( )
[答案] (1)× (2)×
3、(3)√ (4)√
2.(教材改編)海面上有A,B,C三個(gè)燈塔,AB=10 n mile,從A望C和B成60°視角,從B望C和A成75°視角,則BC等于( )
A.10 n mile B. n mile
C.5 n mile D.5 n mile
D [如圖,在△ABC中,
AB=10,∠A=60°,
∠B=75°,∠C=45°,
∴=,
∴BC=5.]
3.若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°,點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°,且AC=BC,則點(diǎn)A在點(diǎn)B的( )
A.北偏東15° B.北偏西1
4、5°
C.北偏東10° D.北偏西10°
B [如圖所示,∠ACB=90°,
又AC=BC,
∴∠CBA=45°,而β=30°,∴α=90°-45°-30°=15°,
∴點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.]
4.如圖382,已知A,B兩點(diǎn)分別在河的兩岸,某測(cè)量者在點(diǎn)A所在的河岸邊另選定一點(diǎn)C,測(cè)得AC=50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,則A,B兩點(diǎn)的距離為( )
圖382
A.50 m
5、
B.25 m
C.25 m
D.50 m
D [因?yàn)椤螦CB=45°,∠CAB=105°,所以∠B=30°.由正弦定理可知=,即=,解得AB=50 m.]
5.輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開(kāi)海港C,兩船航行方向的夾角為120°,兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15 n mile/h,則下午2時(shí)兩船之間的距離是________ n mile.
70 [設(shè)兩船之間的距離為d,
則d2=502+302-2×50×30×cos 120°=4 900,
所以d=70,即兩船相距70 n mil
6、e.]
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第64頁(yè))
測(cè)量距離問(wèn)題
如圖383,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為67°,30°,此時(shí)氣球的高是46 m,則河流的寬度BC約等于________m.(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù):sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73)
【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140136】
圖383
60 [如圖所示,過(guò)A作AD⊥CB且交CB的延長(zhǎng)線于D.
7、在Rt△ADC中,由AD=46 m,∠ACB=30°得AC=92 m.
在△ABC中,∠BAC=67°-30°=37°,
∠ABC=180°-67°=113°,AC=92 m,
由正弦定理=,得
=,即=,
解得BC=≈60(m).]
[規(guī)律方法] 求解距離問(wèn)題的一般步驟
(1)畫(huà)出示意圖,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題;
(2)明確所求的距離在哪個(gè)三角形中,有幾個(gè)已知元素;
(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(對(duì)于解答題,應(yīng)作答).
[跟蹤訓(xùn)練] 如圖384所示,要測(cè)量一水塘兩側(cè)
8、A,B兩點(diǎn)間的距離,其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅,用經(jīng)緯儀測(cè)出角α,再分別測(cè)出AC,BC的長(zhǎng)b,a,則可求出A,B兩點(diǎn)間的距離,即AB=.若測(cè)得CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,試計(jì)算AB的長(zhǎng).
圖384
[解] 在△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,
∴AB2=4002+6002-2×400×600cos 60°=280 000,
∴AB=200(m),即A,B兩點(diǎn)間的距離為200 m.
測(cè)量高度問(wèn)題
如圖38
9、3;5,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=______m.
圖385
100 [由題意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.
又AB=600 m,故由正弦定理得=,
解得BC=300 m.
在Rt△BCD中,CD=BC·tan 30°=300×
=
10、100(m).]
[規(guī)律方法] 解決高度問(wèn)題的注意事項(xiàng)
(1)在測(cè)量高度時(shí),要準(zhǔn)確理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi),視線與水平線的夾角.
(2)在實(shí)際問(wèn)題中,可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題,這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形,一個(gè)空間圖形,一個(gè)平面圖形,這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò).
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.
[跟蹤訓(xùn)練] 如圖386,從某電視塔CO的正東方向的A處,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°,在電視塔的南偏西60°的B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°,AB間的距離為35米,則這個(gè)電視塔的
11、高度為_(kāi)_______米.
圖386
5 [如圖,
可知∠CAO=60°,∠AOB=150°,
∠OBC=45°,AB=35米.
設(shè)OC=x米,則OA=x米,OB=x米.
在△ABO中,由余弦定理,
得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos ∠AOB,
即352=+x2-x2·cos 150°,
整理得x=5,
所以此電視塔的高度是5米.]
測(cè)量角度問(wèn)題
某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出呼救信號(hào),我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測(cè)出該漁船在方位角為45
12、76;,距離A為10海里的C處,并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向,以10海里/時(shí)的速度向小島B靠攏,我海軍艦艇立即以10海里/時(shí)的速度前去營(yíng)救,求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間.
[解] 如圖所示,設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí),
則AB=10t,CB=10t,
在△ABC中,根據(jù)余弦定理,則有AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 120°,
可得(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120°.
整理得2t2-t-1=0,
解得t=1或t=-(舍去),
∴艦艇需1小時(shí)靠近漁船,
此時(shí)
13、AB=10,BC=10.
在△ABC中,由正弦定理得=,
∴sin∠CAB===.
∴∠CAB=30°.
所以艦艇航向?yàn)楸逼珫|75°.
[規(guī)律方法] 解決測(cè)量角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)
(1)應(yīng)明確方位角或方向角的含義.
(2)分析題意,分清已知與所求,再根據(jù)題意畫(huà)出正確的示意圖,這是最關(guān)鍵、最重要的一步.
(3)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題后,注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.
[跟蹤訓(xùn)練] 如圖387,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°
14、、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,求cos θ的值.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140137】
圖387
[解] 在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800?BC=20.
由正弦定理,得=?sin∠ACB=·sin∠BAC=.
由∠BAC=120°,知∠ACB為銳角,則cos∠ACB=.
由θ=∠ACB+30°,得cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACB cos 30°-sin∠ACB sin 30°=.